Haciendo el cambio de variable x = 1− 2s, obtenemos la ecuación hipergeométrica s(1− s)y′′ + (γ1 − (α1 + β1)s)y′ − α1β1y = 0, con α1 = −n, β1 = n+α+ β +1, γ1 = α+1. Las soluciones polinómicas de esta ecuación son y(s) = F (α1, β1, γ1, s) = F (−n, n + α + β + 1, α + 1; s) Por lo tanto, encontramos que P (α,β) n (x) = CnF (−n, n+ α + β + 1, α+ 1; (1− x)/2), donde Cn es una constante de normalización que se determina evaluando en x = 1, dando Cn = Γ(n+α+1) n!Γ(α+1) . Para el caso α = 0 = β obtenemos los polinomios de Legendre.