estros que optan continuar con la tercera parte del programa de formación, elaboran durante ésta una propuesta de programa de Matemáticas para el curso en que trabajan y diseñan actividades de aprendizaje básicas. Esta propuesta de programa y las actividades diseñadas se someten a prueba por los mismos maestros durante un año escolar. Los investigadores acompañan este proceso asesorando en el estudio del programa, así como en el diseño de las actividades, la orientación del desarrollo de éstas en el aula, la evaluación y adecuación de las mismas y en la interpretación y análisis de lo que sucede en el aula y de lo que hacen y aprenden los estudiantes. En esta etapa los investigadores –durante la fase de estudio y elaboración teórica– además de continuar el análisis didáctico, analizan los temas a desarrollar por los maestros y la manera como podrían abordarlos desde una propuesta de orientación de aprendizaje; identifican los prerrequisitos de conocimiento que esos temas demandan de los estudiantes y las posibilidades de integrarlos a los temas a trabajar por los maestros en el aula; diseñan actividades de aprendizaje para los maestros y se estudian posibles diseños de las actividades de aprendizaje para el aula. La reflexión teórica en esta fase es de carácter didáctico y atiende a los aspectos pedagógicos, culturales, psico-genéticos, epistemológicos y matemáticos, que están en juego en el aula durante la orientación del desarrollo de las actividades de aprendizaje. La fase de exploración de esta etapa de acompañamiento al maestro se desarrolla en dos sentidos. Una exploración que hace el maestro mismo y que le aporta a su formación profesional, en la cual pone a prueba las actividades de aprendizaje que diseña, la forma como puede orientar el desarrollo de las mismas en el aula y de la observación y análisis de lo que pasa con su grupo de estudiantes y con él mismo en este nuevo rol de orientador. Y otra, la exploración que hacen los investigadores del tipo de orientación que hacen los maestros, los conocimientos matemáticos y didácticos que trascienden al aula y ponen de manifiesto en el diseño de las actividades, en la orientación del desarrollo de las mismas, en la interpretación y evaluación de lo que hacen los estudiantes y de lo sucedido en el aula. También se incluyen los mecanismos de seguimiento al trabajo del maestro en el aula; los instrumentos de recolección de la información, la organización y análisis de la misma. El análisis en esta fase se centra en los conocimientos matemáticos, didácticos y profesionales que los maestros ponen de manifiesto tanto en el diseño como en la orientación del desarrollo de las actividades en el aula. En la fase de experimentación se hace el seguimiento sistemático y análisis cualitativo del trabajo del maestro en el aula, atendiendo al manejo y comprensión de los conocimientos reelaborados, a las actividades que diseñan, a la forma como orienta el desarrollo de las mismas, interpreta y evalúa lo que hacen y aprenden los niños. Algunos resultados de la investigación acerca de la iniciación en la aritmética En el trabajo de indagación realizado acerca de la iniciación en la aritmética (Ortiz, 1999c) se obtuvo como resultado una propuesta de programa de formación para maestros de preescolar y primer grado de primaria. Se trata de un programa tendiente a posibilitar la reelaboración de las nociones de cantidad, conservación de cantidad, número cardinal, orden, serie numérica y conteo; y de los conocimientos que se relacionan con estas nociones los cuales, de acuerdo con Piaget, son prerrequisito de las mismas. Mencionamos aquí algunas observaciones y conclusiones obtenidas durante la indagación, al desarrollar con maestros el programa de formación, incluyendo acompañamiento para el diseño y orientación del desarrollo de sólo dos o tres actividades en el aula. El trabajo en forma de taller, a través del cual se desarrolla el programa de formación, enfrenta a los maestros a situaciones de aprendizaje totalmente nuevas y les genera al principio muchas inquietudes, dudas e interrogantes de los cuales se tuvo evidencia durante la experimentación. Con respecto a la forma de trabajo establecida y el proceso de aprendizaje de los maestros se observó: 1. La integración de los maestros a la nueva forma de trabajo es paulatina, algunos alcanzan un nivel aceptable de autonomía en el desarrollo de las actividades y de compromiso individual y de grupo con su proceso de formación, otros sin embargo no. 2. Al principio no identifican con facilidad lo que aprenden a partir de la reflexión y actividad individual y de grupo. Consideran la falta de precisión en las discusiones iniciales como improcedente para el aprendizaje. Reclaman con frecuencia que se les den indicios de si sus realizaciones y aportes son o no acertados. Asumen como necesario para su aprendizaje que el orientador (maestro para ellos), enuncie la conclusión o elaboración a que deben llegar. 3. En la medida que se avanza en el proceso logran mayor comprensión y se empiezan a identificar con la forma de trabajo utilizada, incluso consideran que puede ser apropiada para el trabajo con los niños. Logros de los maestros respecto de la reelaboración de las nociones, observados en la primera parte del desarrollo programa fueron: 1. Admitieron el entorno próximo como objeto de aprendizaje del maestro, y de los niños en su iniciación escolar y el énfasis que en la observación, caracterización y comparación de sus elementos exige este aprendizaje. Avanzaron en el conocimiento clasificatorio del entorno, diferenciaron entre rasgo y característica e identificaron características comparables. Se aproximaron a comprender la clasificación como la organización a partir de semejanzas y la ordenación como la organización a partir de la comparación de diferencias. Establecieron correspondencias por función e identificaron la justificación de éstas. 2. Identificaron la cantidad como diferente e independiente del número y el conteo, y a la correspondencia entre elementos, como una forma de comparación cuantitativa no numérica entre montones. Respecto de los intentos de los maestros de trabajar de manera diferente en el aula se observó: 1. La reelaboración de las nociones de iniciación de la aritmética que surgen en la primera parte del programa de formación no da a los maestros elementos suficientes para transformar de manera autónoma su actividad en el aula, es necesario prever formas de asesoría y apoyo para el trabajo con los niños. 2. Con respecto al programa escolar los maestros inicialmente tienen claro que los niños deben aprender los números y algo de las operaciones, tienen ideas vagas en cuanto a lo que se refiere a la clasificación, la ordenación y la correspondencia y dan poca importancia a la planeación y organización previa de los contenidos. Al final se advierte que han avanzado en cuanto al conocimiento, comprensión y organización de un programa para preescolar o primer grado de primaria desde la perspectiva del aprendizaje por construcción. Se refieren con mayor claridad a las posibles actividades, al conocimiento que pretenden que logren los niños a través de éstas y a las nociones con que se relacionan cada actividad y el conocimiento a lograr. Reconocen la necesidad que tienen de aprender acerca de los contenidos de la aritmética elemental y la importancia y necesidad de la planeación y el diseño previo de las actividades. 3. La revisión de los videos de las visitas de observación que se hicieron a la escuela y la evaluación de lo que pasó en el salón de clase, les permitió constatar lo mal que resultan las cosas cuando no se ha preparado suficientemente la actividad, no se ha pensado en cómo orientarla y en qué puede pasar. 4. En cuanto al diseño de actividades de aprendizaje por parte de los maestros se observó que no fue fácil atreverse a hacer cosas diferentes. El intento inicial les generó angustia. Por una parte sentían que estaban aprendiendo cosas y tenían conciencia de que el trabajo en el aula debería cambiar. Pero por otra, se sentían inseguros con respecto a sus propias posibilidades para hacer los cambios y mucho más inseguros con la manera como venían trabajando en el aula. Durante el estudio y revisión del programa y la asesoría para el trabajo en el aula, combinaron poco a poco actividades nuevas con su forma de trabajo tradicional. 5. En el desarrollo de las nuevas actividades se observó que les preocupaba la organización de los niños en grupos pequeños, por el número de niños y por la pérdida de control del curso. Reconocieron con preocupación que mientras atendían a un grupo, no podían estar pendientes de los demás y por lo tanto ya no controlaban totalmente la situación en el salón. Poco a poco fueron aceptando que la nueva forma de trabajo les obligaba a otro tipo de organización y a una relación diferente con los niños y el conocimiento. Les angustió lo difícil que es orientar la reflexión de los niños y el que con frecuencia no sabían qué hacer ni qué decirles. 6. Recurrentemente se mostraron preocupados por cómo hacer recapitulaciones y dar por concluido un tema y por la falta de profundidad con que suponían estaban trabajando. 7. Tomaron conciencia de que el trabajo en grupos les permite atender de manera más individual a los niños. Que los niños saben y pueden hacer muchas