los conocimientos iniciales, que los estudiantes y los maestros ponen en evidencia durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje. La elaboración de redes de complejidad. Todo lo anterior y lo observado durante la exploración es determinante para adecuar las actividades de aprendizaje, estructurar programas de formación, identificar probables secuencias de construcción y establecer propuestas curriculares de Matemáticas, así como para fijar las categorías de análisis que permiten dar cuenta de lo observable del proceso de aprendizaje de los maestros y los estudiantes y las posibilidades de incidir en la transformación de las formas de trabajo en el aula. 9.5.2. La formación de los maestros Por considerar que el aspecto central del programa de investigación es el de incidir en la formación de los maestros, hemos querido incorporar en este texto un apartado acerca de las características de los programas de formación que se obtienen como resultado de la investigación. Los programas de formación de maestros se diseñan a partir de identificar los conocimientos matemáticos que se quiere que aprendan los estudiantes y los conocimientos matemáticos, didácticos y profesionales que requieren los maestros. Con una aproximación inicial a estos conocimientos se inicia el proceso de diseño y exploración –con diferentes grupos de maestros y también de estudiantes– de actividades de aprendizaje de los conocimientos matemáticos escolares. Durante el trabajo con los diferentes grupos se evalúan y adecuan, una y otra vez, las actividades propuestas. A partir de los resultados con los diferentes grupos se identifican actividades básicas para la reelaboración o aprendizaje de dichos conocimientos y se integran en una propuesta de programa de formación. Un ejemplo de actividades básicas diseñadas en AprendEs, que constituyen un programa de formación en aritmética, dirigido a maestros, son las siguientes: Actividades relacionadas con los sistemas de numeración en diferentes bases, que comprenden tareas como: agrupar y reagrupar cantidades discretas, expresar reagrupamientos verbalmente, con gráficos y con los símbolos propios de cada base. Contar, enumerar y hacer cálculos a partir de diferentes reagrupamientos; 241 9. Epistemología Genética analizar la relación de los reagrupamientos, con los diferentes sistemas de numeración y las operaciones aritméticas; analizar los algoritmos de las operaciones y la justificación aritmética de los mismos y analizar la conveniencia o no de introducirlos como parte del aprendizaje escolar. Los programas de formación se desarrollan con una metodología que hemos denominado y fundamentado como el Taller de reelaboración de conocimientos (Ortiz, 1995c y 1999a y Torres, Moreno y Ortiz, 1995). Esta metodología le permite al maestro vivenciar en su rol de estudiante, procesos de aprendizaje de las Matemáticas escolares basados en su propia actividad y reflexión y en la confrontación con los demás. Los programas de formación derivados de la indagación se organizan en tres partes consecutivas. En el desarrollo de cada parte, los maestros reelaboran conocimientos didácticos y matemáticos que corresponden a aspectos fundamentales de su ejercicio profesional. En la primera parte, el trabajo de formación se centra en los conocimientos matemáticos de los maestros y en la reflexión acerca de su actividad docente y los resultados de la misma. En la segunda parte se privilegia el diseño, por parte de los maestros, de actividades de aprendizaje y la orientación en el aula del desarrollo de las mismas, así como el estudio y adecuación del programa escolar del curso a su cargo. En esta parte del programa de formación, los maestros estudian el programa de Matemáticas del curso a su cargo y adecuan algunos temas del mismo, de modo que sea posible desarrollarlos a través de actividades de aprendizaje, diseñadas por ellos. Diseñan actividades referidas a los temas escogidos y orientan el desarrollo de las mismas en el aula. Durante este período en que los maestros ponen a prueba sus aprendizajes y habilidades para hacer cosas diferentes en el aula, los investigadores hacen exploración acerca de los resultados del programa de formación. ¿Qué de lo reaprendido y discutido durante la formación de los maestros, trasciende inicialmente hasta el aula? es la pregunta que centra la mirada de los investigadores. A la par con la observación y el análisis del trabajo del maestro, los investigadores ponen a prueba los mecanismos de seguimiento a la actividad en el aula. La tercera parte del programa de formación se centra en la asesoría y acompañamiento al maestro en los procesos iniciales de transformación de sus formas de trabajo en el aula. 242 Myriam Ortiz Hurtado 9.6. Descripción de la etapa de indagación, centrada en el acompañamiento y asesoría al trabajo del maestro en el aula Si los maestros deciden iniciar de manera sistemática la transformación de su forma de trabajo en el aula, continúan vinculados al programa de formación recibiendo asesoría y acompañamiento hasta tanto consideren que tienen la formación necesaria para asumir de manera autónoma dicho proceso. Los maestros que optan continuar con la tercera parte del programa de formación, elaboran durante ésta una propuesta de programa de Matemáticas para el curso en que trabajan y diseñan actividades de aprendizaje básicas. Esta propuesta de programa y las actividades diseñadas se someten a prueba por los mismos maestros durante un año escolar. Los investigadores acompañan este proceso asesorando en el estudio del programa, así como en el diseño de las actividades, la orientación del desarrollo de éstas en el aula, la evaluación y adecuación de las mismas y en la interpretación y análisis de lo que sucede en el aula y de lo que hacen y aprenden los estudiantes. En esta etapa los investigadores –durante la fase de estudio y elaboración teórica– además de continuar el análisis didáctico, analizan los temas a desarrollar por los maestros y la manera como podrían abordarlos desde una propuesta de orientación de aprendizaje; identifican los prerrequisitos de conocimiento que esos temas demandan de los estudiantes y las posibilidades de integrarlos a los temas a trabajar por los maestros en el aula; diseñan actividades de aprendizaje para los maestros y se estudian posibles diseños de las actividades de aprendizaje para el aula. La reflexión teórica en esta fase es de carácter didáctico y atiende a los aspectos pedagógicos, culturales, psico-genéticos, epistemológicos y matemáticos, que están en juego en el aula durante la orientación del desarrollo de las actividades de aprendizaje. La fase de exploración de esta etapa de acompañamiento al maestro se desarrolla en dos sentidos. Una exploración que hace el maestro mismo y que le aporta a su formación profesional, en la cual pone a prueba las actividades de aprendizaje que diseña, la forma como puede orientar el desarrollo de las mismas en el aula y de la observación y análisis de lo que pasa con su grupo de estudiantes y con él mismo en este nuevo rol de orientador. Y otra, la exploración que hacen los investigadores del tipo de orientación que hacen los maestros, los conocimientos matemáticos y didácticos que trascienden al aula y ponen de manifiesto en el diseño de las actividades, en la orientación del desarrollo de las mismas, en la interpretación y evaluación de lo que hacen los estudiantes y de lo sucedido en el aula. También se incluyen los 243 9. Epistemología Genética mecanismos de seguimiento al trabajo del maestro en el aula; los instrumentos de recolección de la información, la organización y análisis de la misma. El análisis en esta fase se centra en los conocimientos matemáticos, didácticos y profesionales que los maestros ponen de manifiesto tanto en el diseño como en la orientación del desarrollo de las actividades en el aula. En la fase de experimentación se hace el seguimiento sistemático y análisis cualitativo del trabajo del maestro en el aula, atendiendo al manejo y comprensión de los conocimientos reelaborados, a las actividades que diseñan, a la forma como orienta el desarrollo de las mismas, interpreta y evalúa lo que hacen y aprenden los niños. 9.7. Algunos resultados de la investigación acerca de la iniciación en la aritmética En el trabajo de indagación realizado acerca de la iniciación en la aritmética (Ortiz, 1999c) se obtuvo como resultado una propuesta de programa de formación para maestros de preescolar y primer grado de primaria. Se trata de un programa tendiente a posibilitar la reelaboración de las nociones de cantidad, conservación de cantidad, número cardinal, orden, serie numérica y conteo; y de los conocimientos que se relacionan con estas nociones los cuales, de acuerdo con Piaget, son prerrequisito de las mismas. Mencionamos aquí algunas observaciones y conclusiones obtenidas durante la indagación, al desarrollar con maestros el programa de formación, incluyendo acompañamiento para el diseño y orientación del desarrollo de sólo dos o tres actividades en el aula. El trabajo en forma de taller, a través del cual se desarrolla el programa de formación, enfrenta a los maestros a situaciones de aprendizaje totalmente nuevas y les genera al principio muchas inquietudes, dudas e interrogantes de los cuales se tuvo evidencia durante la experimentación. Con respecto a la forma de trabajo establecida y el proceso de