Por muy bien intencionados que sean, los educadores de Matemática se ven forzados a una posición que tiene menos que ver con la exactitud histórica que con el enfoque histórico, siempre teniendo en cuenta que la objetividad histórica no debe ceder ante las necesidades pedagógicas37. Ejemplos para la discusión Los ejemplos que brindamos a continuación sólo deben tomarse como una guía ilustrativa de lo que podemos hacer en nuestras aulas. El problema de la división (reparto) Dividir, como operación inversa a la multiplicación, podría ser considerada una operación que no nos lleva a mayores complicaciones, más allá de las derivadas por su práctica. Sin embargo, una de las vías que el profesor puede utilizar para consolidar la misma, son problemas obtenidos del Papiro Rhind (ca. 1650 a.C). Son ejemplos de ello los siguientes. 1) Problema 25. Una cantidad con la mitad de ella añadida es 16. ¿Cuál es la cantidad? 2) Problema 34. 10 panes se reparten entre 3 hombres de manera que el segundo recibe la mitad que el primero y el tercero la cuarta parte que el primero. ¿Cuánto recibe cada uno? Analicemos el primero de ellos. El escriba utiliza el método de regula falsi, es decir, ensaya diversas “soluciones” para obtener la correcta. Así, supone que la cantidad es 2, luego: El análisis de varios casos más, todos enteros, nos llevará a la consideración que debe haber una proporcionalidad entre la cantidad real y la hipotética, respecto al resultado obtenido con la primera y con la segunda. Dicho de otra manera, hay que establecer una proporcionalidad como la siguiente: Para nosotros es fácil obtener la solución Sin embargo, el escriba no procedía así, lo primero que hacía era dividir por 16, utilizando el método de duplicación, de donde 1 3 2 6 4 12 Como 12+3=15, siendo la solución hipotética 3, su tercera parte es 1, lo que nos permite obtener 16, por tanto, teniendo en cuenta la columna izquierda y este último resultado, la mitad de la solución es entonces: Multiplicando por 2 se obtiene la cantidad buscada. Este tipo de problemas pueden ser abordados en los años subsiguientes a la enseñanza primaria, lo que coadyuvaría a la consolidación de la misma, sin hablar de que los estamos iniciando en la práctica matemática habitual. Hay un paralelismo entre lo que nos muestra la historia y el “modo de hacer” de nuestros estudiantes. La Matemática también debe ser experimentación, prueba y error, el método de regula falsi que hemos presentado puede ser aplicable a infinidad de problemas matemáticos, y más que posibilidad debería ser una realidad. Series infinitas, el infinito actual en el aula Cuando introducimos la noción de serie infinita, debemos tener en cuenta que una suma de infinitos sumandos es, con frecuencia, considerada por los alumnos como “infinitamente grande” (tal y como pensaban los griegos contemporáneos de Zenón) así que, primero de todo, debemos superar la idea errónea de “infinitos sumandos equivale a suma infinitamente grande”. Se pueden usar recursos geométricos para superar esta dificultad, por ejemplo, a partir de la figura, un cuadrado de área 1, de donde se obtiene: Si bien la utilización de recursos geométricos puede causar problemas en algunos alumnos con dificultades para coordinar la representación geométrica en términos simbólicos es, probablemente, la mejor vía para superar la primera dificultad “infinitos sumandos, suma infinitamente grande”. La utilización de este ejemplo, o el análisis de la Paradoja de Aquiles y la Tortuga, de Zenón, podría llevar a nuestros estudiantes a la idea de que una serie es una suma de infinitos términos en progresión geométrica (o aritmética), por lo que tenemos una nueva dificultad que superar y la historia volverá a brindarnos los recursos necesarios. En 1703 Guido Grandi (1671-1742) notó que de la suma infinita 1-1+1- 1+1-… es posible obtener tanto 0 como 1: (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +… = 0 + 0 + 0 + 0 +…= 0 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) +… = 1 Por lo que consideró (como muchos matemáticos del siglo XVIII) que su suma es ½. Es fácil ver esto haciendo S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -… por lo que S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -… = 1 - (1 – 1 + 1 – 1 + 1 -…) De donde: S = 1 - S y por lo tanto S = 1/2. La incorporación de las observaciones de diversos matemáticos respecto a la suma de Grandi nos lleva a dos cuestiones fundamentales: 1) La existencia de S asegura una cualidad importante en las sumas infinitas. 2) ¿Cómo obtener S en el caso general? Ambas cuestiones relacionadas directamente con la consolidación de nociones primordiales en la Educación Matemática, es decir, la introducción de las series infinitas en el aula no es simple y algunos aspectos deben ser considerados, por ejemplo, límite de una función, la manipulación del infinito y la generalización de las habituales operaciones de suma y multiplicación. Por supuesto que esta no es la única cuestión subyacente aquí, la distinción entre el infinito actual y potencial es otra de las cuestiones a las que los docentes debemos prestarle especial atención en nuestras aulas. La construcción en Matemática A pesar de la existencia de técnicas constructivas en varias ramas de la Matemática, utilizaremos dos ejemplos como punto de partida. Euclides demostró que se pueden construir, con regla y compás, polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, así como todos los deducidos de los anteriores por bisección reiterada de sus lados. Estos eran, sin embargo, todos los polígonos regulares que los griegos sabían construir; no conocían ningún método geométrico para construir polígonos regulares de 7, 9, 11, 13, 14 y 17 lados, por ejemplo. Durante los 2000 años siguientes parece que nadie llegó a sospechar que sería posible construir algunos de estos polígonos. La cuestión tuvo que esperar hasta el 30 de marzo de 1796, cuando un joven a punto de cumplir los 19 años, Carl Friedrich Gauss38, construía con las normas euclídeas el polígono regular de 17 lados. Ese mismo día empezó un diario en el que fue apuntando, durante los 18 años siguientes, algunos de sus más grandes descubrimientos; y el primer registro es, naturalmente, el de la construcción del polígono regular de 17 lados. Años más tarde, y como puede leerse en su diario, Gauss demostraba que con las herramientas euclídeas se puede construir un polígono regular de n lados cuando: a) , p = 2, 3, ... (se construye mediante bisectrices). b) n es un primo de Fermat . c) n es de la forma donde los son ciertos primos de Fermat, es decir, n es un producto de números distintos de las dos clases anteriores. Así, por ejemplo, el polígono regular de 9 lados no se puede construir con regla y compás, pues aunque n = 9 = 3.3 y 3 es un primo de Fermat, el factor 3 está repetido, de aquí que según el inciso c) no puede construirse euclidianamente el eneágono. Igualmente le sucede a los polígonos de 7, 11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25, ... que tampoco son construibles. De hecho hasta la fecha los únicos primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 57 y 65537 barajándose a posibilidad de que es compuesto para todo p > 4. El tema ha venido provocando tanto interés en la comunidad matemática que F. J. Richeliot en 1832 publicó una extensa investigación del polígono de 257 lados y el profesor Hames de Lingen dedicó 10 años de su vida a la construcción del polígono regular de 65337 lados. Johann Carl Friedrich Gauss. Nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick y murió el 23 de febrero de 1855, en Göttingen. Fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado “el príncipe de la Matemáticas” y “el matemático más grande desde la antig