vitales para expresar la relevancia de lo abstracto como un tipo de entidad con existencia en sí misma. Es por ello que, en vistas a no abandonar un universo realista en Filosofía de la Matemática, proyecto que implica un compromiso ontológico fuerte, pero a la vez debilitando sus tesis para poder así dar cuenta de la realidad de la práctica matemática, proponemos una alternativa de realismo matemático, que tendría sus raíces en una confrontación de las tesis realistas y antirrealistas respecto de las entidades matemáticas, sostenidas por diversos autores, y que daría lugar a extender la misma hacia otras disciplinas científicas. Esto equivaldría a considerar a la Matemática como una actividad seudo-empírica. La Matemática en la actualidad posee un desarrollo multifacético, cubriendo dominios de interés para muchas otras disciplinas. Sin embargo, no siempre y no todo lo que los matemáticos produjeron o producen, fue hecho en función de brindar servicios a otras áreas temáticas, sino por el sólo placer de profundizar en el mundo de las entidades abstractas. Pero una pregunta que uno puede formularse es qué realidad poseen tales entidades. Esta es la pregunta filosófica por la ontología matemática. Diversas posiciones han surgido en la Historia de los fundamentos de la Matemática intentando dar respuesta a esta pregunta. Tal vez la salida más natural e intuitiva a este interrogante lo constituye la posición que suele denominarse “realismo platonista” o simplemente “platonismo (en Matemática)”. El platonismo, en una versión standard, postula la existencia real de un mundo de objetos independientes de la mente de cualquier individuo o grupo social que los imaginara o intuyera. Ellos yacen allí, y todo lo que el matemático debe hacer es descubrirlos. Hersh (1997), en su libro titulado What is Mathematics, really?” resume de manera muy clara en qué consiste esta posición, en líneas generales: El Platonismo afirma que los objetos matemáticos son reales e independientes de nuestro conocimiento. Las curvas de Peano, los conjuntos infinitos y las variedades infinito-dimensionales –todos miembros del zoológico matemático– son objetos definidos, con propiedades definidas, conocidas o desconocidas. Estos objetos existen fuera del tiempo y el espacio físico. Nunca fueron creados. Nunca cambian. Por la ley lógica del tercero excluido, una cuestión significativa acerca de cualquiera de ellos tiene una respuesta, aún si la sabemos o no. Según el Platonismo, un matemático es un científico empírico, como un botánico. Él no puede inventar, porque todo ya está allí. Él sólo puede descubrir. Nuestro conocimiento matemático es objetivo e inmodificable, porque es conocimiento de objetos externos a nosotros, independientes de nosotros, que son de hecho incambiables (p.11). El propósito de este capítulo es mostrar una posición realista alternativa a la platonista, en una búsqueda de dar sentido a la práctica matemática misma, más allá de teorizaciones demasiado ajenas a la realidad que vivencia un investigador matemático en el proceso de generar conocimiento en este dominio del discurso filosófico. Ello traería, como consecuencia, una visión más ampliada de la filosofía de la matemática, que permitiera acercarse hacia su enseñanza, relativizando así la fuerza teórica de cualquier posición filosófica, y contribuyendo así al trabajo docente propiamente dicho. Este beneficio se notará al nivel de ciertas temáticas concretas que mencionaremos, por ser ellas prolíficas a la hora de proveer de recursos didácticos a los docentes, pudiendo eventualmente generalizarse estas temáticas en el futuro a otras no tratadas aquí. Diversos filósofos e historiadores de la ciencia han presentado a la Matemática como una dama fiel con todas las garantías que los hombres necesitan para comprometerse con ella: una compañía segura en un cálido hogar donde todo queda pautado de entrada y corre por carriles seguros, sin traspiés, como si no pudieran surgir por ningún lado proposiciones indecidibles. Una dama que no molesta a la hora de averiguar qué es lo que pasa ahí afuera, en el mundo verdaderamente real, pero que a la vuelta de las andadas de su marido por el mundo de la experiencia, inseguro, riesgoso, le garantiza el único y auténtico refugio capaz de proporcionar el ansiado final feliz ya preconcebido. En este trabajo proponemos una imagen de la Matemática más realista. A la hora de buscar respuestas a todas las preguntas en el terreno de la Filosofía de la Matemática, ninguna teoría conforma enteramente. Una cuestión crucial que desde la década del 30 del siglo XX aproximadamente ha venido perturbando a aquellos interesados en buscar o refutar un fundamento para la Matemática, ha estado ligada al papel que juegan las oraciones indecidibles en un programa que intente dar cuenta con verdad, de todo cuanto enuncia. Las posturas realistas en Filosofía de la Matemática ven con buenos ojos la presencia de tales enunciados. Ellos permiten justificar la existencia de una verdad más allá de toda capacidad humana para reconocerla, condición suficiente para postular la existencia de objetos independientemente de todo conocimiento que los seres humanos podamos poseer. Con lo cual, las proposiciones indecidibles no deberían considerarse como limitaciones que excluyen la existencia de una realidad objetiva, sino como limitaciones lógicas en los modos de cómo llevar a cabo observaciones a tener en cuenta a la hora de entender los fenómenos en cuestión. Por ello conviene aquí detenernos un instante para recordar en qué consiste y sobre todo cómo se inició la discusión sobre la indecidibilidad en Matemática. La cuestión de la indecidibilidad en Matemática surgió como una consecuencia colateral a propósito de la resolución de un problema que en 1900 David Hilbert formulara en ocasión del Congreso Internacional de Matemática convocado en París. Allí Hilbert propuso resolver una serie de problemas matemáticos organizados en una prolija lista, entre los cuales, el décimo trataba acerca de ecuaciones diofánticas y de la posibilidad de “diseñar un proceso según el cual se pueda determinar en un número finito de operaciones, si la ecuación [diofántica en cuestión] es soluble para números racionales enteros” (Hilbert, 1902, pp.478-479). La respuesta ante este problema es que no existe un método para la obtención del conjunto total de soluciones del mismo, lo cual quiere decir que es “indecidible”. Esto implica que el problema de “decisión” al que se enfrentó Hilbert –y que se ha dado en llamar “el décimo problema de Hilbert”– consiste en encontrar un procedimiento efectivo que permita decidir en un número finito de pasos (es decir, un algoritmo) para cualquier ecuación polinomial con coeficientes enteros (es decir, ecuación diofántica) si ella posee o no soluciones enteras. La solución de este problema generó un conjunto de resultados a lo largo de varios años, comenzando por los trabajos de Julia Robinson, Martin Davis y Hilary Putnam, llegando a la instancia clave del resultado presentado por Juri Matiyasevich. Ninguno de estos pasos pudo haberse llevado a cabo sin los importantes avances introducidos por Kurt Gödel, Alonso Church y Alan Turing en torno a la noción de recursividad, apuntando a una formalización de la noción de computabilidad. Claramente, un problema de idiosincrasia numérica se convirtió en un problema de decidibilidad, un fenómeno extraño y novedoso para esa época. De este modo, se concluye la respuesta al problema cuando durante los años 70 del siglo XX, Matiyasevich (1993) respondió negativamente al mismo: no existe tal algoritmo. Ello equivale a demostrar que los conjuntos recursivos de enteros son diofantinos y, como consecuencia, la teoría positiva existencial de los enteros es indecidible en el lenguaje de los anillos {0,1,+,.}.43 Pero si bien todos los diferentes tipos de realismo en Matemática –uno de cuyos casos extremos es el platonismo– aceptan de buen modo la indecidibilidad en Matemática, como fuera planteado arriba, no todos ellos se manifiestan de la misma manera. Es el propósito de este capítulo presentar una versión realista alternativa al platonismo, que defendemos y que denominamos “realismo pluralista”. Esbozaremos cómo esta posición puede ofrecer una perspectiva diferente que aporte elementos para reforzar la actividad docente. Para avanzar en esa dirección debemos entonces precisar la noción de “platonismo” desde la cual discutimos y abordamos nuestra propuesta. Podemos caracterizar al platonismo como un realismo extremo en Matemática que presenta las siguientes características: P1. Hay una realidad matemática. P2. Esta realidad está conformada por elementos (llamados los objetos o entidades matemáticas, las proposiciones matemáticas y las relaciones matemáticas