Los vértices mayores de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus f...

Para encontrar la ecuación de la elipse, podemos usar la fórmula estándar: La ecuación de una elipse con centro en (h, k), semi-ejes a y b, y eje mayor horizontal es: \[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\] Dado que los vértices mayores son (1,1) y (7,1), podemos ver que el centro de la elipse está en el punto medio de estos dos puntos, es decir, (h, k) = ((1+7)/2, 1) = (4,1). La distancia entre los vértices mayores es 2a, por lo que a = 3. La excentricidad (e) está dada por la fórmula e = c/a, donde c es la distancia del centro a un foco. Dado que la excentricidad es 1/3, podemos encontrar c = ae = 3*(1/3) = 1. Entonces, los focos están en (4+1,1) = (5,1) y (4-1,1) = (3,1). Sustituyendo estos valores en la ecuación de la elipse, obtenemos: \[\frac{{(x-4)^2}}{{3^2}} + \frac{{(y-1)^2}}{{b^2}} = 1\] Para encontrar b, podemos usar la relación entre a, b y c: b = √(a^2 - c^2) = √(3^2 - 1^2) = √8. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: \[\frac{{(x-4)^2}}{{9}} + \frac{{(y-1)^2}}{{8}} = 1\] Las coordenadas de los focos son (5,1) y (3,1), y las longitudes de los ejes mayor y menor son 2a = 6 y 2b = 2√8.