Expresión que representa la ecuación de Hamilton-Jacobi correspondiente al problema de dos cuerpos en coordenadas esféricas, la cual nos permite in...

Expresión que representa la ecuación de Hamilton-Jacobi correspondiente al problema de dos cuerpos en coordenadas esféricas, la cual nos permite integrar las ecuaciones de movimiento. Como H no es una función explícita del tiempo, es posible efectuar una separación de variables; entonces, si recordamos que qiSipi∂∂=, podemos escribir: γγγγ ΩiπϖλLr•S•PX YZLP′104 § 5.2 Aplicación al problema de dos cuerpos. El concepto de “integral completa” se refiere a una integral primera del movimiento, expresión analítica que permanece constante durante el mismo es decir, para todo t. Fórmula que simboliza la ecuación de Hamilton-Jacobi, cuya integral “completa”1 deseamos hallar. Si suponemos que tS∂∂= α1 y además, como los coeficientes de las derivadas parciales no contienen la coordenada λ entonces, podemos escribir: S = − α1 t + α3 λ + S1 (r, L) reemplazando en la ecuación (5.16) las derivadas de S respecto de r, λ y L, resulta 2 1 ∂∂+α+2 ∂∂+α3 ∂∂−µrS = 0 separando las variables se tiene, 2 1 2 L ∂∂+α = 2 r2, 2 3 1 r ∂∂−µ+α = 2 r2. Además, si suponemos que S1 = S2 (L) + S3 (r), podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, 2 2 L ∂∂+α = 2α, 2 3 1 r ∂∂−µ+α = 2r2α (5.17) la última ecuación se puede escribir como: 2 3 1 r ∂∂−µ+α = 2r2α. De la primera ecuación de (5.17) se obtiene LS2∂∂ = Lcos 2322α−α e integrando en ambos miembros resulta: S2 = LdLcos 2322α−α∫0 Del mismo modo, de la segunda ecuación de (5.17) se tiene, rdSd = 2221rr22α−µ+α , integrando resulta ⇒⇒⇒⇒ S3 = ∫r1 2221rr22α−µ+α dr, por lo tanto, si el integrando: 2221rr22α−µ+α = 0, representa una ecuación algebraica de segundo grado en r, i.e., 2221r2r2α−µ+α = 0, la cual tiene dos raíces reales; luego, si r1 es la distancia del planeta al Sol cuando éste pasa por su perihelio, i.e., r1 = a ( 1 – e ) entonces, podemos aplicar las formulas (5.10) pág. 99, de la Teoría de Hamilton-Jacobi, obteniendo el siguiente sistema de EDP: β1 = 1Sα∂∂, β2 = 2Sα∂∂, β3 = 3Sα∂∂, donde la función S tiene el siguiente desarrollo: S = − α1 t + α3 λ + ∫α−αL02232Lcos dL + ∫r1r2221rr22α−µ+α dr (5.18) Evaluación de las variables αi. Consideremos la ecuación algebraica 2221r2r2α−µ+α = 0, donde las raíces r1 y r2 representan las distancias mínima y máxima del planeta al Sol, por lo tanto: r1 = a (1 – e) y r2 = a (1 + e); la ecuación algebraica se puede escribir de la forma, r2 + r2221αµ−1222αα = 0 donde los coeficientes satisfacen las relaciones entre las raíces r1 y r2, por lo tanto se cumple que: 21rr+ = 2 a = 122αµ− = 1αµ− 21r.r = a2 (1 – e2) = 1222αα 106 § 5.2 Aplicación al problema de dos cuerpos. López García, F.; 2004, “Dinámica del Sistema Solar”, pág. 58. Teniendo en cuenta estas dos igualdades es posible obtener α1 y α2, resulta: 1α = a2µ− 2α = )e1(a 2−µ Luego, sólo nos resta determinar el valor de α3. Si aplicamos la fórmula (5.10) y la definición de S, ver (5.18), podemos hallar β1, entonces se tiene: β1 = 1Sα∂∂ = − t + ∫r1α−µ+αα∂∂2221rr22 d r − 1d rdα1rr2222αα =α−µ+α El último término es nulo, ¿porque?; por lo tanto se deduce: β1 = − t + ∫r1drrr2222α−µ+α ecuación que permite obtener el valor de β1; entonces, si r = r1, resulta β1 = − [ t ], luego: β1 = − [ t ] , para (r = r1). NOTA. La elección de los elementos orbitales depende del gusto personal y del problema astronómico a considerar1. En particular cuando la excentricidad es pequeña (e → 0) el argumento del perihelio ω queda indetermin