funciones perturbadoras R y R', tienen en común la parte principal ∆1; la designamos como R1 (= ∆1), donde ∆ es la distancia mutua entre m y m'; ve...

funciones perturbadoras R y R', tienen en común la parte principal ∆1; la designamos como R1 (= ∆1), donde ∆ es la distancia mutua entre m y m'; ver Figura 33. Nos proponemos desarrollar la parte principal de la función perturbadora R1 en series de potencias, lo cual nos permitirá obtener posteriormente las derivadas parciales que están presentes en las ecuaciones diferenciales (7.3) de los elementos elípticos. El ejemplo más simple es el estudio del movimiento de los satélites naturales. Para ello, consideremos el sistema Tierra-Luna–Sol, ver Figura 34. Representamos el movimiento de la Luna y del Sol en un sistema geocéntrico (origen en el centro de la Tierra); la distancia mutua ∆ entre la Luna y el Sol es mucho mayor que la distancia Tierra-Luna igual a r; la distancia Tierra-Sol es r'. Entonces, podemos calcular ∆ en función de las distancias r y r', teniendo en cuenta la Figura 34, resulta: ∆2 = r2 + r'2 – 2 r r' cos v = 2´r. Si definimos la inversa de la distancia mutua como: R1 = ∆1 = vcos´r r2´r r1´r1 2−+ , y además, hacemos el cambio de variables: ´r r = z, cos v = µ ; entonces, el radicando de R1 admite el desarrollo, en serie de potencias de z, de la forma: ( ) 2 1 2 z2z1−µ−+ = ∑∞=ννν µ0z)(P , convergente para z < 1. Donde los )(P µν son los polinomios de Legendre. Los polinomios de Legendre tienen el siguiente desarrollo en series de potencias de µ: )(P 0 µ = 1, )(P1 µ = µ, )(P 2 µ = 22 3µ − 21, )(P 3 µ = 32 5µ − µ23, etc. Propiedades: El subíndice en cada polinomio indica el grado del mismo y además, son ortogonales entre si en el intervalo [-1,1]. En el estudio de la teoría del potencial relacionada con los cuerpos del Sistema Solar, los polinomios de Legendre tienen un rol importante, pues el potencial V(r) se puede expresar en función de estos polinomios y por tanto resolver la ecuación de Laplace. Como, cos v = µ ≤ 1 entonces, )(Pn µ ≤ 1; además, por ser ´r r << 1, ya que 4001´r r≅ ; luego, la función R1 admite la siguiente representación, en términos de los polinomios de Legendre: R1 = ∑∞=ννν 0´r r)vcos(P´r1= ´r1 + 2´r r)vcos(P1 + 32´r r)vcos(P2 + 43´r r)vcos(P3 + … En la práctica, como 23891´r r= , sólo se consideran los cuatro primeros términos del desarrollo. NOTA: La distancia media Tierra – Luna es: r = 384 400 Km. Distancia media Tierra – Sol: r´ = 149 597 887 Km. Luego, ´r r ≅ 0,002569… ≅ 23891. 1 Recomendamos: Brouwer, D., Clemence, G.; 1961, “Methods of Celestial Mechanics”, Academic Press. Plummer, H. C.; 1960, “An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy”, Dover Publications, Inc. Smart, W.M.; 1960, “Celestial Mechanics”, Ed. Longmans. Taff, L. G.; 1985, “Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practicioner”, John Wiley & Sons. § 7.2 Aplicación al Sistema Planetario. Nos proponemos estudiar un problema real considerando los cuerpos del Sistema Solar con inclina_ ciones pequeñas y órbitas con poca excentricidad. Por lo tanto, analizaremos el desarrollo de ∆1 en el caso planetario. Sea el origen de coordenadas el Sol, el plano {xy} coincide con la eclíptica, el eje x dirigido desde el Sol al equinoccio o punto vernal γ; sea i la inclinación del planeta m e i' la inclinación de m'; además, G representa nodo ascendente de m respecto de m′ y J la inclinación mutua entre las orbitas de ambos planetas. En un instante cualquiera t, el radio vector r del planeta m corta el circulo máximo del plano de su orbita en M y el radio vector r' del planeta m′ en M′ (proyección sobre la esfera celeste); ver Figura 35. Además suponemos que sus módulos satisfacen la desigualdad r < r' e indiquemos con v y v' las longitudes verdaderas de m y m' respectivamente. Representemos con: τ = γ Ω + ΩG, G M = v - τ τ' = γ Ω' + Ω' G, G M' = v' - τ' ⊕⊕⊕⊕ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ Sol m m' r r' ∆ M' V v v' J G γγγγ Ω Ω' (τ − Ω) (τ' − Ω') i' i Plano de la eclíptica Orbita del planeta m Orbita del planeta m' M Eje x § 7.2 Aplicación al Sistema Planetario. Entonces, la distancia mutua entre los planetas m y m' es: ∆2 = r2 + r'2 − 2 r r' cos