Sin embargo, la solución en serie de potencias de la función perturbadora y en series trigonométricas con funciones lineales del tiempo como argume...

Sin embargo, la solución en serie de potencias de la función perturbadora y en series trigonométricas con funciones lineales del tiempo como argumento, utilizadas en la teoría de las perturbaciones ordinarias, no son uniformemente convergente y por lo tanto no representa la solución, aunque describen el comportamiento del movimiento para un intervalo de tiempo finito dentro del grado de exactitud de las observaciones realizadas, es decir, es “semi-convergente” en el sentido de Poincaré. Este método matemático es realmente eficiente para la predicción de las efemérides planetarias 1. Sin embargo, los astrónomos necesitan conocer la evolución dinámica de los cuerpos celestes para un intervalo de tiempo muy grande o predecir su posición en el futuro; entonces, puede ocurrir que dos o tres cuerpos colisionen entre sí o que los elementos orbitales varíen mucho con el tiempo y por tanto la configuración del sistema de tres cuerpos comienza a ser muy diferente; también puede suceder que uno o dos cuerpos se alejen indefinidamente o que estos cuerpos reproduzcan las mismas órbitas periódicamente o si ellos permanecen en un espacio acotado ocupando un volumen finito, limitando las dimensiones de las orbitas, este caso se conoce como estabilidad en el sentido de Poisson. Para resolver estos problemas los teoremas mencionados de Bruns y Poincaré no son aplicables y en cambio, los teoremas del “punto fijo” 2 y el “teorema ergódico” en topología de Poincaré 3 permiten obtener mejor información sobre el comportamiento dinámico del movimiento, para un intervalo de tiempo muy prolongado. Por esta razón es que aparece la aproximación topológica, propuesta por Poincaré, como un modo de resolver el problema de tres cuerpos. Regularización. Una función analítica y de x definida como f (x, y) = 0 no es, en general una función regular de x; supongamos entonces que x es función de otra variable t, de modo que y se transforma en una función regular de t. Este proceso es denominado regularización, método que ha sido estudiado por Poincaré, Klein, Koebe y otros en el estudio de las funciones analíticas. El problema consiste en regularizar la función definida por las EDs. En este caso aparecen, además de las singularidades en las funciones desconocidas, en función de la variable independiente (en general dependen de t), las singularidades en las funciones incógnitas en función de las constantes de integración. Las primeras son denominadas singularidades “permanentes” y las últimas singularidades “móviles”. Según el teorema de existencia de Cauchy respecto de la solución de una ED, si f (x, y) es una función regular en los puntos x = a, y = b, entonces existe una integral y(x), que es regular e igual a b en x = a, para la ED: dy/dx = f (x, y). En relación a las EDs de movimiento del problema de tres cuerpos, Poincaré obtuvo el siguiente resultado: Sean T y U la energía cinética y la energía potencial del sistema de tres cuerpos y C el vector momento angular. Supongamos que las singularidades están definidas por la expresión F (x, y, z, ξ, η, ζ ) = 0; donde x, y, z, ξ, η, ζ son las coordenadas de Jacobi de los puntos masa m1 y m2 y sea P el punto masa en movimiento. Entonces, ó bien P tiende a un punto definido por una distancia finita con una velocidad definida y finita, ó la menor de las cantidades 1/T, 1/C, y F tienden a cero cuando t tiende a un valor finito t0. § 9.5 El teorema de Weierstrass-Sundmann para n-cuerpos. 1 Bisconcini, G.; 1906, Acta Mathematica, pág. 49, Nº 30. 2 Sundman, K. F.; 1907, Acta Soc. Sci. Fennicae Nº 34; 1908 Nº 35 y 1912, “Memoire sur le probleme de tríos corps, Acta Matemática” 36, págs. 105–179. Si el punto masa P tiene sólo puntos singulares aislados y U es una función uniforme de P y además, U/C 2 es menor que un valor definido por los valores mas grandes de C 2, entonces P debe necesariamente tender a una posición limite definida cuando t tiende a t0. Asimismo, si las coordenadas son regulares entre dos líneas rectas paralelas a una distancia d sobre ambos lados del eje real en el plano complejo t, las coordenadas pueden ser desarrolladas dentro de un círculo de radio r en el plano complejo de U, tal que: x = ( 1 − e λ t ) ⁄ ( 1 + e λ t ). (a) Por el contrario, si las coordenadas son regulares para valores reales de t