(cos´x + ν + = ∑ ξ )´M(cosc 1n)´x1( )´yi(sen´x + ν + = ∑ ξ )´M(send 1n)´x1( )´yi(cos´x )´yi(sen´x + ν + = ∑ ξ )´M(sen´x 1n)´x1( )´yi(cos´x )´yi(sen...

(cos´x + ν + = ∑ ξ )´M(cosc 1n)´x1( )´yi(sen´x + ν + = ∑ ξ )´M(send 1n)´x1( )´yi(cos´x )´yi(sen´x + ν + = ∑ ξ )´M(sen´x 1n)´x1( )´yi(cos´x )´yi(sen´x donde los coeficientes: a, b, c, d, de las respectivas sumas dependen de los parámetros: j, n y ν así como también, de las excentricidades e y e´ de los planetas m y m´. El producto de dos coeficientes cualesquiera, uno del primer desarrollo por otro el segundo, se puede escribir de la siguiente forma: ba × = )e(e 22 ϕρ+µ y análogamente con los coeficientes de las dos últimas sumas, dc × = )´e(´e 2´2 ϕρ+ξ donde ρ y ρ´ son números enteros positivos, i.e., ρ ≥ 0 y ρ´ ≥ 0. Con estas hipótesis y reemplazando todos los factores que aparecen entre llaves por sus desarrollos respectivos, ver Ec. (7.9), el corchete se puede escribir de la siguiente forma: luego, al desarrollar cada corchete tendremos ciertas sumas de productos de uno de los factores por el otro, es decir: Factor = [∑ ξµ )´M(cos)M(cosca + ])´M(sen)M(sendb ξµ cos D − − [∑ ξµ )´M(sen)M(cosda − ])́M(cos)M(sencb ξµ sen D Entonces, podemos expresar cada suma del siguiente modo, Factor = [∑ ξµ )´M(cosca)´M(cosca ξ−µ+ξ+µ + −ξ−µ )´M(cosdb − Dcos)]´M(cosdb ξ+µ − [a d sen (µ M + ξ M´) − a d sen (µ M - ξ M´) − − b c sen (µ M + ξ M´) − b c sen (µ M − ξ M´)] sen D Multiplicamos cada término por cos D y sen D respectivamente y luego, agrupamos según argumentos comunes, entonces resulta: Factor = 4 ∑ { a c cos (D + µ M + ξ M´) + a c cos (D − µ M − ξ M´) + + a c cos (D + µ M − ξ M´) + a c cos (D − µ M + ξ M´) + + b d cos (D + µ M − ξ M´) + b d cos (D − µ M + ξ M´) − − b d cos (D + µ M + ξ M´) − b d cos (D − µ M − ξ M´) + + a d cos (D − µ M − ξ M´) − a d cos (D + µ M + ξ M´) − − a d cos (D − µ M + ξ M´) + a d cos (D + µ M − ξ M´) − − b c cos (D − µ M − ξ M´) + b c cos (D + µ M + ξ M´) − − b c cos (D − µ M + ξ M´) + b c cos (D + µ M − ξ M´) } El siguiente paso consiste en factorear coseno con argumentos iguales en consecuencia se tiene: Factor = 4 ∑ { (a c − b d − a d + b c) cos (D + µ M + ξ M´) + (a c − b d + a d − b c) cos (D − µ M − ξ M´) + (a c − b d + a d + b c) cos (D + µ M − ξ M´) + (a c + b d − a d − b c) cos (D − µ M + ξ M´) }. Notar que todos los términos que componen los coeficientes de los cosenos, i.e., a, b, c, d son funciones de e y e´ simultáneamente y los argumentos de las funciones trigonométricas son de la forma (D ± µ M ± ξ M´) en las cuatro combinaciones posibles respecto de los signos por lo tanto, podemos expresar el desarrollo del Factor de la forma: Factor = ∑ Q e α e´ β cos [ i l´ − j λ − ( i − j ) τ´ ± µ M ± ξ M´ ] (7.10) Recordemos que las anomalías medias de los planetas m y m´ están expresadas por: M = n t + ε −ϖ = l −ϖ, y M´ = n´ t + ε´ −ϖ´ = l´ −ϖ´ luego, reemplazando en (7.10) resulta: Factor = ∑ Q e α e´ β cos [ i l´ − j λ − ( i − j ) τ´ ± µ (l −ϖ) ± ξ (l´ −ϖ´) ] Desarrollando se tiene, Factor = ∑ Q e α e´ β cos [ (i ± ξ) l´ − (j m µ) λ ± µ (τ − τ´ −ϖ) m ξ ϖ´ − (i − j) τ´ ] además, ω = ϖ + τ´ −τ, entonces, Factor = ∑ Q e α e´ β cos [ σ´ l´ − σ λ m µ ω m ξ ϖ´ − (i − j) τ´ ]. donde, σ´ = (i ± ξ), σ = (j m µ) α = µ + 2 ρ, β = ξ + 2 ρ y finalmente, el desarrollo de la parte principal de la función perturbadora ∆1, ecuación (7.8), tiene la forma: ∆1 = ∑       ν )n( ji K n Q e α e´ β cos [ σ´ l´ − σ λ m µ ω m ξ ϖ´ − (i − j) τ´ ]. (7.11) Hemos visto que los coeficientes )n( ji K admiten desarrollos en serie de potencias de η2 (consultar págs. 145 y 146), donde η = 2 J sen siendo J el ángulo que forman las órbitas de m y m´ en el punto G, ver Figura 35 (pág. 138). Luego, si los )n( ji K se expresan en series de potencias de η2, entonces los términos en η2 ¿con que exponente multiplican a cada función coseno, en el desarrollo en serie ?; O expresado de otro modo: ¿de que orden es, respecto de η2, el coeficiente general del desarrollo en serie de ∆1 ?; por ejemplo, para j = i, i.e., cuando en el argumento del coseno, el coeficiente de τ´ es igual a cero el orden del coeficiente es cero. si j = i − 2, i.e., cuando i − j = 2, el orden de jiK es dos. si j = i − 4, i.e., cuando i − j = 4, el orden de jiK es cuatro. etc. Por lo tanto, el orden del coeficiente de η2, en el término general de éste desarrollo, es (i − j) ó eventualmente si alguno de los coeficientes es nulo, el orden será (i − j − Nº par); luego, la parte principal de la función perturbadora se puede expresar de la forma: ∆1 = ∑ S η F e H e´ H´ cos [ α λ + α´ l´ + β ω + β´ ϖ´ − 2 γ τ´ ] (7.12) La ecuación (7.12) es la expresión final del desarrollo de la función ∆1; donde