Desarrollamos la primera ecuación y luego reemplazamos r por ξ2 entonces se tiene: 0 1 td dr A4 d dr A2 d dr A2 4 2 2 3 2 2 2 2 22 2 2 =ξ+   ...

Desarrollamos la primera ecuación y luego reemplazamos r por ξ2 entonces se tiene: 0 1 td dr A4 d dr A2 d dr A2 4 2 2 3 2 2 2 2 22 2 2 =ξ+      ξ ξ− τ ξ ξ+      τ ξ h d d r A 2 1 0 1 td d 2 d dr A 2 d dr A 2 22 2 2 4 2 2 2 2 22 Multiplicando toda la ecuación por ξ4 , resulta: 0 1 td d A4 d d A2 d d A2 2 2 2 2 2 2 2 =+      ξ τ ξ− τ ξ ξ+      τ ξ Simplificando, se obtiene: 0 1 d d A2 d d A2 2 2 2 2 2 =+      τ ξ τ ξ− τ ξ . (9.7) Ecuación diferencial que reemplaza a la primera ecuación de movimiento en (9.6), expresada en las nuevas coordenadas ξ, en función de τ, con lo cual se ha evitado la singularidad cuando x→→→→ 0; este método matemático se denomina regularización 1 . Aplicando el mismo procedimiento a la integral de la energía, segunda ecuación en (9.6), se obtiene: 2 4 2 2 d d A 2       τ ξ ξ ξ = 2 1 ξ + h; Multiplicando por ξ2 , resulta: 2 2 2 d d A       τ ξ = 1 + h ξ2 , ⇒⇒⇒⇒ − 2 2 2 d d A       τ ξ + 1 = − h ξ2 , esta última igualdad la reemplazamos en los dos últimos términos de la ecuación (9.7), entonces se tiene: 0h d d A2 2 2 2 2 =ξ− τ ξ ξ , y finalmente: 0 A2 h d d 22 2 =ξ− τ ξ , (9.8) § 9.4 Colisión binaria. 1 Recordar que: h / 2 A 2 es constante independiente del signo de h. 2 Donde definimos A 2 ≡ A* 2. 253 Es decir, una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea 1 , donde h es la constante de la integral de la energía. Ambas ecuaciones se pueden resolver en forma cerrada, de acuerdo a los valores de h y A. Para ello analicemos el signo de la constante h: Si h es negativo ⇒⇒⇒⇒ el movimiento es elíptico. h es positivo ⇒⇒⇒⇒ el movimiento es hiperbólico. h es cero ⇒⇒⇒⇒ ξ es una función lineal de τ. Entonces, h < 0 ⇒ ξ = A* sen 2 h− τ. h > 0 ⇒ ξ = A* senh 2 h τ . h = 0 ⇒ ξ = A* τ. donde A* es una constante arbitraria. Luego, teniendo en cuenta que r = x = ξ2 , se obtienen las siguientes relaciones, en función de τ 2: r = x = A 2 sen 2 2 h− τ = 2 A2         τ − − 2 h 2cos1 , para h < 0, r = x = A 2 senh 2 2 h τ = 2 A2         −τ 1 2 h 2cosh , para h > 0, r = x = A 2 τ2 , para h = 0. Por lo tanto, a partir de la expresión: t = ∫ τ 0 dr , podemos calcular t en función de τ conociendo los valores de r para cada signo de h. Entonces se tiene: Para h < 0 resulta: t = ∫ τ 0 2 A2         τ − − 2 h 2cos1 dτ = 2 A2             τ − −τ − 2 h 2sen 2 h 2 1 t = 2 h 4 A2 −       τ − −τ − 2 h 2sen 2 h 2 ; si definimos: E = 2 h 2 − τ, expresión que depende de τ, podemos entonces escribir que: 254 . § 9.4 Colisión binaria. 1 Recordar que: cos x = 1 – x 2 / 2! + x 4 / 4! −…; luego: 1 – cos x ≅ x 2 / 2! +…; ídem para cosh x. t = α2 ( E − sen E ), y por tanto, x = β2 ( 1 − cos E ). Fórmulas fundamentales que nos permiten expresar t y x en función de τ, cuando el valor de la constante h es negativo (h < 0). Los coeficientes α y β son constantes. Si h es positivo (h > 0), resulta: t = 2 A2 ∫ τ 0         −τ 1 2 h 2cosh d τ = 2 A2             τ−τ 2 h 2senh 2 h 2 1 t = 2 h 4 A2       τ − −τ − 2 h 2senh 2 h 2 ;