Cm 2 9 )12(m4)12( desarrollamos la suma teniendo presente que 0C = 1, entonces se tiene: 2 0a C =       ++ 2m 2 9 m41 2 0C + 10 2 CCm 2 9 − +       ++ 2m 2 9 m129 2 1C + 21 2 CCm 2 9 − + +       +− 2m 2 9 m41 2 1C− + 01 2 CCm 2 9 − + - - - luego, agrupamos según los coeficientes νC , resulta: 2 0a C = 2m 2 9 m41 ++ + 1 2 Cm9 − +       ++ 2m 2 9 m129 2 1C +       +− 2m 2 9 m41 2 1C− + El siguiente paso en este desarrollo consiste en reemplazar 1C , 1C− , 2C , 2C− , - - - en función de m, consultar (8.17) pág. 203, para ello agrupamos los términos según las potencias creciente de m obteniendo: C = 20a ∑ ∞ =ν ν να 0 m = 20a       −−−+−++ 42 m 128 1147 m 2 9 m41 Recordar que la constante C se puede obtener, también, de la expresión de la integral de la energía: Du Dv + 22 )vu(m 4 3 + + 2 1 )vu( m2 2 = m 2 h = C. Si dividimos toda esta igualdad por 20a resulta: El desarrollo en serie de u.v se puede hallar en la pág. 200. Recordar que ξ toma los valores cero, +1 y −1. Luego, la igualdad anterior tiene la forma del desarrollo en serie de 21 )X1( − + ; por lo tanto 1 , 20a vu 1 = 1 − 2 1 [ +++ − ...CC 21 21 2111 )...CCCC( ζ+++ −−− + 2 1211 )...CCCC( − − ζ+++ + + ]... + 8 3 [ +++ − ...CC 21 21 2111 )...CCCC( ζ+++ −−− + 2 1211 )...CCCC( − − ζ+++ + + ]2... + - - - sultar pág. 207, luego, se tiene: C = 34 m [ 22 210 ]...mm +β+β+β     −−−+−++ 42 m 128 1147 m 2 9 m41 efectuando el producto de ambas series, resulta: C = 34 m     ++ ...m 3 8 1 donde 0a = 32 m     +− ...m 3 2 1 . Una vez determinada la expresión de 0a podemos obtener los coeficientes νa , ya que νa = 0a νC ; donde los νC son valores conocidos. En síntesis, podemos hallar 0a a partir de su desarrollo en serie y los νC aplicando la ecuación (8.17) y luego, calcular los νa . Entonces, estamos en condiciones de expresar las variables u y v en series de potencias de ζ, en función de los νa de la forma 1 : u = ζ0a + 3 1a ζ + 5 2a ζ + - - - + 1 1a − − ζ + 3 2a − − ζ + 5 3a − − ζ + - - - v = ζ−1a + 3 2a ζ− + 5 3a ζ− + - - - + 1 0a −ζ + 3 1a −ζ + 5 2a −ζ + - - - además, las coordenadas x e y tienen la expresión: )t(x = ∑ ∞ ∞− ν +ν m t )12(cosa , )t(y = ∑ ∞ ∞− ν +ν m t )12(sena ; consultar pág. 194; desarrollamos estas fórmulas hasta sus primeros ordenes, se tiene: )t(x = ) m t (cosa0 + ) m t 3(cosa1 + - - - )t(y = ) m t (sena0 + ) m t 3(sena1 + - - - Si en estos desarrollos consideramos sólo la primera aproximación, podemos despreciar los términos ) m t 3(cosa1 y ) m t 3(sena1 por ser 1a un coeficiente de segundo orden y m muy pequeño, luego      = = m t sena)t(y m t cosa)t(x 0 0 § 8.4 Ecuaciones de movimiento en un sistema en rotación. 1 El movimiento medio del Sol nSol = 1. 2 Transformación de coordenadas de un sistema fijo a un sistema en rotación con el mismo origen. 211 Entonces, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es un movimiento periódico con período τ = ω π2 . La representación gráfica en coordenadas geocéntricas se muestra en la Figura 43. Fig. 43. Representación del movimiento de la Luna respecto de la Tierra. El movimiento es periódico, a0 es constante; en primera aproximación el Sol no perturba el movimiento de la Luna. NOTA. Este resultado nos dice que, en primera aproximación, el Sol no perturba el movimiento de la Luna respecto de la Tierra por lo tanto, el modelo del movimiento corresponde a un problema de dos cuerpos. § 8.4 Ecuaciones de movimiento en un sistema en rotación (sinódico). Nos proponemos estudiar el movimiento de la Luna respecto de un sistema de coordenadas fijo {ξ, η} con origen en la Tierra y consideremos, en relación a estos ejes, un sistema en rotación {x, y} con origen también en la Tierra, cuyo eje-x esta dirigido “constantemente” hacia el Sol; suponemos además, que este eje-x gira alrededor del origen (la Tierra) con velocidad angular constante e igual a uno 1. Entonces, respecto de este sistema en rotación, la Luna describe una circunferencia cuyas coordenadas {x, y} son funciones periódicas del tiempo t. Asimismo, las coordenadas {ξ, η} de la Luna respecto del sistema en reposo, llamado sistema sidéreo, están definidas por las expresiones: ξ = a0 cos (nL t) η = a0 sen (nL t) donde nL representa el movimiento medio de la Luna y a0 la distancia Tierra-Luna. La Figura 44 muestra los respectivos sistemas de coordenadas y las posiciones de la Luna y el Sol respecto del origen, la Tierra. Hemos estudiado que las fórmulas de transformación del sistema sidéreo al sistema en rotación (sinódico) son 2: +=η −=ξ tcosytsenx tsenytcosx x y 1 Tierra Luna Sol t/m a 0 x y 212 § 8.4 Ecuaciones de movimiento en un sistema en rotación.