El (l´ − λ) corresponde a los valores de i = j = 1; luego, el primer término del desarrollo de jiK , tiene la representación: 11K = 2. NOTA: El coeficiente 11K es un caso particular del coeficiente iiK que hemos estudiado anteriormente, consultar págs. 144 y 145. Por lo tanto, si la parte complementaria de la función perturbadora, para el caso e = e´= 0, admite un desarrollo de la forma propuesta, ver ecuación (7.8) pág. 151, es lógico suponer que también admitirá, en el caso general, un desarrollo como el propuesto en la ecuación (7.12) pág. 152. Vamos a demostrar que la parte complementaria, de la función perturbadora, carece de términos seculares, es decir de términos no periódicos 1. Dicha parte complementaria admite un desarrollo de la forma: C = Σ P cos [ α l + α´ l´ − p(ϖ, ω´, τ, τ´ ) ] o también, C = Σ [ ]´)l´l(senB´)l´l(cosA ´´ α+α+α+α ∗ αα ∗ αα Si tenemos en cuenta que: M = n t + τ − ϖ = l − ϖ; luego, l = M + ϖ, y l´ = M´ + ϖ´. Por lo tanto, C = Σ [ ]´)M´M(senB´)M´M(cosA ´´ α+α+α+α αααα Esta expresión es una serie doble de Fourier en función de los múltiplos de la anomalía media M y M´; cada término de la serie trigonométrica es una función periódica con periodo 2π; por lo tanto, también lo es el desarrollo de C. Ahora bien, decir que este desarrollo carece de términos seculares, es afirmar que el coeficiente 00A ≡ 0. Demostración: el coeficiente 00A tiene la siguiente expresión: 00A = 24 1 π ∫ π2 0 ∫ π2 0 2´r Vcosr d M d M´ = 24 1 π ∫ π2 0 Mdr ´Md ´r Vcos 2 0 2∫ π (7.13) § 7.5 Aplicación a la variación de los elementos elípticos. 1 Consultar § 6.3 Ecuaciones Planetarias de Lagrange, pág. 121. 155 En virtud de la integral de las áreas, se tiene: td wd r 2 = const. = c, además, como: n dt = d M entonces, resulta: r 2 d w = c dt = Md n c ; análogamente ´Md ´r ´c ´wd´r 2 = . Luego, reemplazando en las integrales que definen 00A se tiene, 00A = 24 1 π ´c ´n ∫ π2 0 Mdr ∫ π2 0 ´wdVcos , Entonces, para demostrar la hipótesis que 00A ≡ 0 basta probar que: ∫ π2 0 ´wdVcos = 0. Hemos calculado el desarrollo de cos V, pág. 153, reemplazando se tiene: ∫ π2 0 ´wdVcos = ∫ π2 0 [ cos (v − τ) cos (v´ − τ´) + sen (v − τ) sen (v´ − τ´) cos J ] d w´ = = cos (v − τ) ∫ π2 0 cos (v´ − τ´) dw´ + sen (v − τ) cos J ∫ π2 0 sen (v´ − τ´) dw´ Teniendo en cuenta que: v´ = ϖ´ + w´, sustituyendo resulta, ∫ π2 0 ´wdVcos = cos (v − τ) ∫ π2 0 cos (ϖ´ + w´ − τ´) dw´ + sen (v − τ) cos J ∫ π2 0 sen (ϖ´ + w´ − τ´) dw´ y teniendo en cuenta que: ∫ π αα 2 0 dcos = 0 y ∫ π αα 2 0 dsen = 0 entonces, las dos últimas integrales del desarrollo anterior son idénticamente nulas y por tanto, el coeficiente 00A [ecuación (7.13)] es nulo como se quería demostrar. § 7.5 Aplicación a la variación de los elementos elípticos. Hemos estudiado que la variación de los elementos elípticos respecto del tiempo 1 , ecuaciones (6.8) pág. 129, para el planeta de masa m tienen la forma, ε∂ ∂ = R an 2 td ad (7.14) 156 § 7.5 Aplicación a la variación de los elementos elípticos. Las ecuaciones (7.14) forman un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden; ídem para el planeta de masa m´, luego ε∂ ∂ = ´ ´R ´a´n 2 td ´ad (7.15) donde R y R´ representan la función perturbadora de m y m´ respectivamente, definidas por las expresiones: R = G m´ ∆ 3´r ´zz´yy´xx1 R´ = G m ∆ 3r ´zz´yy´xx1 Notar que en los sistemas (7.14) y (7.15) aparecen las derivadas de las funciones R y R´ respecto de los elementos elípticos {a, e, i, ε, Ω, ϖ}. Por otra parte, hemos demostrado, en el ítem anterior, que la función perturbadora admite un desarrollo en serie múltiple de la forma, R = Σ A cos D, R´ = Σ A´ cos D donde: A = Q e H e´ H ηF ; Q (a, a´); D = α l + α´ l´ + β ω + β´ϖ´− 2 γ τ; ω = ϖ + τ´− τ; l = n t + ε; n 2 a 3 = µ = G (1 + m). Nos proponemos calcular a R ∂ ∂ . Esta derivada aparece en la sexta ecuación diferencial del sistema (6.8) pág. 129; recordemos que la variación de ε respecto de t, tiene la forma: td d ε = − a R an 2 ∂ ∂ + e R ean )e11( e1 2 2 2 ∂ ∂−− − + ( ) 22 2 i e1an tang − i R ∂ ∂ Idéntica expresión para td ´d ε , donde se halla: ´a ´R ∂ ∂ . Debe tenerse presente que la derivada de R respecto de a consta de dos partes, a saber: a R ∂ ∂ = ∂ ∂ a R + n R ∂ ∂ a n ∂ ∂ = ∂ ∂ a R + t l R ∂ ∂ a n ∂ ∂ (7.16) Ya que n R ∂ ∂ = l R ∂ ∂ n l ∂ ∂ , pero l = n t + ε, luego n R ∂ ∂ = t l R ∂ ∂ . Entonces, la variable independiente t (tiempo), que sólo estaba presente en el argumento D de los cosenos, aparece ahora como factor; en otras palabras, en forma de un término secular; este resultado produce un inconveniente pues t aumenta. Por lo tanto, es necesario hacer una transformación, para ello recordemos que: td nd = ad nd td ad ; por otra parte: td ad = an 2 ε∂ ∂ R [ver (6.8), pág.129]; luego, td nd = an 2