las cuales se obtienen de las expresiones (6.7), luego se tiene: 1. α =       µ − a2td d = . 2a a2 µ = . 2 32 a a2 an = .2 a 2 an = 1 R β∂ ∂ Pero 1 R β∂ ∂ = ε∂ ∂ R 1β∂ ε∂ = n ε∂ ∂ R , reemplazando resulta .2 a 2 an = n ε∂ ∂ R , por lo tanto: td ad = an 2 ε∂ ∂ R Expresión que representa la primera de las ecuaciones diferenciales de la teoría de Lagrange 2. NOTA. El coeficiente de β1 en la fórmula de ε, (6.7), es: 3 1 3 8α µ− µ = 2n = n, ya que 1α = − a2 µ . De la segunda ecuación del sistema (6.5) resulta 2 2α = )e1(a 2−µ , entonces derivando se tiene: 2. 22 αα = )e1(a 2 . −µ − eea2 µ Luego, 2. α = . 2 2 a 2 )e1( α −µ − . 2 e a α µ = )e1(an2 )e1(an 242 232 − − an 2 ε∂ ∂R − )e1(an ean 242 42 − td ed simplificando resulta, . α = 2e1− ε∂ ∂R − 2 2 e1 ean − td ed De acuerdo a la segunda ecuación diferencial del sistema (6.6) se tiene, 2. α = 2 R β∂ ∂ por lo tanto, 2 R β∂ ∂ = ε∂ ∂R 2β∂ ε∂ + ϖ∂ ∂R 2β∂ ϖ∂ teniendo en cuenta la sexta y cuarta ecuación del sistema (6.7) resulta, 2β∂ ε∂ = 1, 2β∂ ϖ∂ = 1; luego, 2. α = 2 R β∂ ∂ = ε∂ ∂R + ϖ∂ ∂R = 2e1− ε∂ ∂R − 2 2 e1 ean − td ed en consecuencia, td ed = 2 2 2 e1 ean R e11 R − ε∂ ∂       −−− ϖ∂ ∂− operando algebraicamente, resulta td ed = − ean e1 2 2− ϖ∂ ∂R − 2e1− ean e11 2 2       −− ε∂ ∂R. Expresión que representa la segunda ecuación de la teoría planetaria de Lagrange. Si sustituimos e = sen ϕ, la expresión anterior toma la forma: td ed = − 2an gcot ϕ ϖ∂ ∂R − cotg ϕ 2an 2/sen2 ϕ ε∂ ∂R. De la fórmula 3α = icos2α , obtenida de la tercera ecuación de (6.5), derivando resulta 3. α = 2. α cos i − 2α sen i td id Reemplazamos 2α y 2. α por sus expresiones calculadas anteriormente se tiene: 3. α = ( 2e1− ε∂ ∂R − 2 2 e1 ean − td ed ) cos i − )e1(a 2−µ sen i td id De acuerdo a la tercera ecuación del sistema (6.6) resulta, 3. α = 3 R β∂ ∂ = Ω∂ ∂ R 3β∂ Ω∂ + ϖ∂ ∂ R 3β∂ ϖ∂ + ε∂ ∂ R 3β∂ ε∂ Entonces, igualando ambas expresiones se obtiene, [ 2e1− ε∂ ∂R − 2 2 e1 ean − td ed ] cos i − )e1(a 2−µ sen i td id = Ω∂ ∂ R + ϖ∂ ∂ R + ε∂ ∂ R. donde las derivadas, 3β∂ Ω∂ = 3β∂ ϖ∂ = 3β∂ ε∂ ≡ 1, de acuerdo al sistema (6.7). El siguiente paso consiste en reemplazar td ed por su desarrollo obtenido, ver “segunda ecuación de la teoría planetaria de Lagrange”, i.e., td ed = − ean e1 2 2− ϖ∂ ∂R − 2e1− ean e11 2 2       −− ε∂ ∂R luego, sustituyendo esta derivada en la igualdad anterior, resulta: Ω∂ ∂ R + ϖ∂ ∂ R + ε∂ ∂ R = 2e1− cos i ε∂ ∂R + 2 2 e1 ean − cos i     ϖ∂ ∂− R ean e1 2 2 + nan e11e1 2 22       −−− ε∂ ∂ R − )e1(a 2−µ sen i td id. agrupando y simplificando, se deduce: td id isene1an 22 − =     −      −−+− 1icose11icose1 22 ε∂ ∂ R + ( cos i − 1) ϖ∂ ∂ R − Ω∂ ∂ R Despejando td id se obtiene, ( ) isene1an RR 1icos 22 −       ϖ∂ ∂ + ε∂ ∂ − − R isene1an 1 22 . Y teniendo en cuenta relaciones trigonométricas, finalmente resulta: td id =       ϖ∂ ∂ + ε∂ ∂ − − RR e1an 2 i gtan 22 − Ω∂ ∂ − R isene1an 1 22 Expresión que define la tercera ecuación de la teoría planetaria de Lagrange; notar que la variación de la inclinación respecto del tiempo depende de tang (i/2) y del sen (i), por lo tanto existen puntos singulares para i = 0 y π. NOTA: (cos i −1) = −2 2 i sen2 ; sen i = 2 2 i cos 2 i cos ; luego, isen )1icos( − = 2 2 i cos 2 i sen2 2 i sen2 2− = − tang 2 i. Consideremos ahora los segundos miembros del sistema (6.6), pág.121, la primera ecuación es, 1. β = − 1 R α∂ ∂ , donde 1β = n ϖ−ε , entonces 1 . β = 2 ... n n)(n)( ϖ−ε−ϖ