expresión que formula que el baricentro del sistema se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme. Luego, RG = M A t + MB. Ecuación que nos dice que el centro de masa del sistema de n puntos se mueve, en el espacio, uniformemente en línea recta. Integral de las áreas e integral de la energía. Hemos estudiado que si m0, m1, . . . , mn-1 representan n puntos masa, los cuales se mueven en un campo gravitatorio newtoniano i.e., cada uno de los puntos masa está sometido a la atracción de los restante cuerpos, por una fuerza proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias, entonces las ecuaciones diferenciales del movimiento tienen la forma 1: j RM = jRU = ∇ U, (3.7) donde j = 1, 2, …, (n-1). Si Rj es el vector de posición del punto masa mj respecto de un origen O y jRU es el gradiente en la dirección Rj de cierta función escalar U, entonces jRU = grad Rj U = IUjξ∂/∂ + JUjη∂/∂ + KUjζ∂/∂, donde {ξj, ηj, ζj} indican las coordenadas cartesianas del punto mj respecto del sistema determinado por la terna fundamental de vectores unitarios {I,J,K} con origen en O (ver Figura 9, pág. 30); donde U es la función potencial, definida por la expresión: U = 2k (-+--++-+--+-12 21 01n1n00220011RRmmRRmm...RRmmRRmm11n1n1n2n1n2nRRmm, como hemos visto esta fórmula se puede expresar de la forma, § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 35 jkjkjk2RRmmkU- = ∑∑>∗∗, expresión simbólica que se suele escribir para definir la función potencial. El sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden (3.7), que define el movimiento de los n cuerpos, admite las siguientes integrales, ∑-=)1n(0jj Rm = A (3.7a) ∑-=)1n(0jjj Rm = A t + B estas ecuaciones representan las seis integrales del baricentro y demuestran que el centro de masa del sistema de n puntos masa se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme. El gradiente de la función U en la dirección Rj esta dado por la expresión: jRU = k2 3jkjk1n0kRRmm-∑-=)RR(jk- = j RM introduciendo el significado de jRU como el gradiente de U, en el sistema de ecuaciones diferenciales (3.7) y, multiplicando vectorialmente ambos miembros de la igualdad, por Rj y sumando desde j = 0 hasta (n-1) resulta, ∑-=)1n(0jjRxRm = )RxRRxR( RRmmkjjkjjkjkj-∑∑-== la suma del segundo miembro es nula, ya que a cada término de la suma doble, que es de la forma )RxR(RRmmk kj3jkjkj2-le podemos hacer corresponder el término )RxR(RRmmk jk3kj2-le 36 § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 1 Consultar: Danby, J.M.A., 1992, “Fundamentals of Celestial Mechanics”, Cap. 9. Roy, A.E., 1978, “Orbital Motion”, Cap. 5. y por tanto, la suma de estos dos términos es nula. Luego, ∑-=)1n(0jjRxRm ≡ 0 o también, ∑-=)1n(0jj)RxR(tdmd = 0 e integrando en ambos miembros resulta, ∑-=)1n(0jj)RxR(m = C (3.8) esta integral vectorial, equivalente a tres integrales cartesianas, se denomina la integral de las áreas o del momento angular. La integral se puede escribir en forma cartesiana del siguiente modo: ∑-=ζηξζηξ)1n(0jjjjKJIm = C1 I + C2 J + C3 K igualando los coeficientes de los versores correspondientes se obtiene, ∑-=ηζ-ζη)1n(0jjjj)(m = C1 ∑-=ζξ-ξζ)1n(0jjjj)(m = C2 (3.8a) ∑-==ξη-ηξ)1n(0jjjj)(m = C3 las tres ecuaciones configuran la integral de las áreas en forma cartesiana. Las ecuaciones (3.8) y (3.8a) representan las integrales primeras del movimiento del problema de n cuerpos, denominadas integral de las áreas o principio de conservación del momento angular respecto de un sistema de coordenadas con tres ejes ortogonales. Hacemos notar que estas integrales son válidas en cualquier sistema de coordenadas arbitrario, en el cual se cumplan las leyes del movimiento de Newton 1. § 3.3 Integrales primeras del movimiento. 1 Matemáticamente constituye un problema de valor inicial; es decir, consiste en resolver EDs con ciertas condiciones adicionales y arbitrarias que se imponen a la función incógnita y sus derivadas llamadas condiciones iniciales para t = t0. 37 Para determinar el movimiento (o el tipo de movimiento), es necesario conocer las posiciones y velocidades (condiciones iniciales) para un valor determinado de la variable independiente t (tiempo) 1. Los datos iniciales están representados por el conjunto de valores {ξj, ηj, ζj} y { j. j. j.,, ζηξ} para t = t0, los cuales permiten determinar las constantes C1, C2, C3 y por tanto, el momento angular total del sistema i.e., la integral de las áreas. Otra integral primera es la integral de las fuerzas vivas, la cual se obtiene multiplicando escalarmente las ecuaciones diferenciales del movimiento (3.7) por el vector j. R y sumando en ambos miembros, resulta: ∑-==)1n(0jjjRRm = j.)1n(0jjR RU∑-==, El vector posición jR esta definido por la expresión: KJIR jjjj ζ+η+ξ= y su vector derivada es: KJIR j. j. j. j. j. ζ+η+ξ= , por lo tanto, el segundo miembro toma la forma ∑-==ζζ∂∂+ηη∂∂+ξξ∂∂)1n(0jjjjUUUdtdUd La función potencial U, por definición, sólo depende de los vectores de posición por lo tanto, es función solamente de las 3n coordenadas (ξj, ηj, ζj) de los n puntos masa considerados y como dichas coordenadas son función del tiempo t, la función escalar U es también una función del tiempo luego, el segundo miembro es la derivada total de U respecto de t. Además, j. j. RR = )R( tdd2 1 2 j. entonces, ∑-==)1n(0jjj)R(td2md = td