Consideremos ahora un cambio de coordenadas; elegimos como origen el baricentro del sistema Sol-planeta representado por G (ver Figura 20) luego, el planeta µ y el Sol se mueven respecto de G y si éste permanece fijo o se desplaza con movimiento uniforme y rectilíneo, ambos cuerpos describen circunferencias en torno a G y en virtud de las integrales del baricentro, se puede escribir: ♦♦♦♦ G (1-µ) • • µ (t = 0) 1 Supongamos que el planeta de masa µ, describe alrededor del Sol, con masa (1-µ), una orbita circular (e = 0). La distancia del punto masa µ al Sol es 1; la constante Gaussiana k2 ≡ 1; el punto G representa el baricentro del sistema Sol-planeta. Enton_ ces, las ecuaciones de movimiento de µ respecto del Sol son: 0Y 1 ])1[( 1´´Y 0X 1 ])1[( 1´´X 3 3 = µ+µ− + = µ+µ− + (4.1) Fig. 20. Sistema Heliocéntrico. En el origen esta situado el Sol con masa (1-µ); el planeta, de masa µ, describe una orbita circular en torno del Sol; la distancia es r = 1. Es un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden independientes; donde las variables X e Y son funciones de t. 1 O Y § 4.2 El problema restringido. 1 Consultar ecuación (3.6), pág. 33. Recordar que {ξ0,η0} son las coordenadas de (1-µ) respecto de G y {ξ1,η1} las coordenadas baricéntricas de µ. 2 Es simplemente una transformación de coordenadas del sistema {ξ ,η} al sistema móvil {x ,y}. 69 0)1( 0)1( 10 10 =ηµ+ηµ− =ξµ+ξµ− (4.2) Expresión válida si elegimos las constantes de las integrales de movimiento del centro de masa 1 igual a cero, luego: 0)( 0)( 010 010 =η−ηµ+η =ξ−ξµ+ξ Por definición de las coordenadas {ξ, η} se tiene: X01 =ξ−ξ , Y01 =η−η ; luego tcos01 =ξ−ξ , tsen01 =η−η entonces, teniendo en cuenta (4.2), las coordenadas del cuerpo (1-µ) tienen la expresión: tcos)( 010 µ−=ξ−ξµ−=ξ tsen)( 010 µ−=η−ηµ−=η y análogamente, para el cuerpo de masa µ, resulta: tcos)1(1 µµµµξξξξ −= tsen)1(1 µ−=η Vamos a realizar una nueva transformación de coordenadas, conservando el mismo origen G pero suponiendo que el eje de abscisa X gira alrededor de G, con un período igual a 2π i.e., con velocidad angular igual a la unidad y el eje Y perpendicular al eje X. En un instante t, el eje de abscisa habrá descripto el ángulo t; supongamos además, que en el plano que se mueven los cuerpos µ y (1-µ) se desplace también, conforme a la ley de Newton, un cuerpo con masa prácticamente nula, m ∼ 0, como es efectivamente la masa de un asteroide respecto del sistema Sol-Júpiter. Sean (ξ2, η2) las coordenadas del cuerpo de masa nula en un instante t, en el sistema de coordenadas fijo definido por {ξ,η} y sean (x,y) sus coordenadas en el sistema móvil definido por {x, y}. (ver Figura 21). Entonces, procedemos del siguiente modo: el primer paso es expresar las coordenadas x e y en función de ξ2 y η2 de la forma 2, x = ξ2 cos t + η2 sen t y = - ξ2 sen t + η2 cos t (4.3) Además, las ecuaciones diferenciales del movimiento de m son: 2 .. U m ξ∂ ∂ =ξ 2 .. U m η∂ ∂ =η 70 § 4.2 El problema restringido. Siendo U la función potencial definida por la expresión: mm )1( r )1( U 2110 ρ µ + ρ µ− + µµ− = Recordar que, por definición, r01 ≡ 1, distancia entre los puntos masa (1-µ) y µ; entonces, el primer sumando de U es constante y por ende todas sus derivadas parciales son nulas, luego el potencial se reduce a: U * = mm )1( 21 ρ µ + ρ µ− por lo tanto, las ecuaciones del movimiento de m respecto de G tienen la expresión: 2 * 2 .. U m ξ∂ ∂ =ξ , 2 * 2 .. U m η∂ ∂ =η Recordar que en la función U * está presente m como factor y también lo está en las ED del movimiento, entonces podemos simplificar, resulta: • • • ξ η x y ξ1 ξ2 ξ0 η1 η2 η0 ρ2 ρ1 (1-µ) µ µ 1-µ m ∼ 0 G t x y § 4.1 El problema restringido. 71 2 .. U ξ∂ ∂ =ξ , 2 .. U η∂ ∂ =η donde ahora la función U tiene la expresión: U = 21 )1( ρ µ + ρ µ− . Por razones de simplicidad suprimimos en las fórmulas de transformación (4.3) y en las ED del movimiento el subíndice 2, entonces resulta: 21 .. .. )1( U U U ρ µ + ρ µ− =       η∂ ∂ =η ξ∂ ∂ =ξ Derivando las funciones de transformación de coordenadas (4.3) y teniendo en cuenta que las variables ξ y η son funciones del tiempo, se tiene: . x = tcostsentsentcos .. η+ξ−η+ξ . y = - ξ sen t + η cos t (4.3a) recordar que: tcostsen η+ξ− = y, - ( ξ cos t + η sen t ) = - x reemplazando resulta: . x = ytsentcos .. +η+ξ . y = xtcostsen .. −η+ξ− Derivando nuevamente la primera ED se deduce, . x = )tcostsen(ytsentcos ...... η−ξ−+η+ξ pero, xytcostsen ... +=η+ξ− entonces, sustituyendo en .. x se tiene: . x = xyytsentcos ...... +++η+ξ y agrupando resulta, .. x - 2 . y = xtsentcos .... +η+ξ Un desarrollo análogo aplicamos a la derivada . y del sistema (4.3a), luego . y = ....... xtsentcostcostsen −η−ξ−η+ξ− Pero hemos visto que: yx)tcostsen( ... +−=η+ξ− 72 § 4.2 El problema restringido. entonces, reemplazando en .. y se tiene, .. y = yxxtcostsen ...... +−−η+ξ− ; y finalmente resulta, ... x2y + = ytcostsen ...... +η+ξ− Por lo tanto, se obtiene el siguiente sistema de ED .. x - 2 . y = xtsentcos .... +η+ξ .. x2y + = ytcostsen .... +η+ξ− Recordemos que: ξ∂ ∂ =ξ U.. y η∂ ∂ =η U.., y reemplazando en el sistema anterior resulta .. x - 2 . y = xtsen