si definimos j. p H q ∂ ∂ − = X j, la suma anterior admite el siguiente desarrollo en serie de la forma: k i k 3 i 3 2 i 2 1 i 1 X p...X p X p X p α∂ ∂ ++ α∂ ∂ + α∂ ∂ + α∂ ∂ = 0 dado que el subíndice i toma los valores i = 1, 2, . . ., k, resulta un sistema de k ecuaciones algebraicas homogéneas con k incógnitas, cuya solución no trivial implica que el determinante de los coeficientes sea distinto de cero, por lo tanto k k k 2 k 1 2 k 2 2 2 1 1 k 1 2 1 1 ppp ppp ppp α∂ ∂ −−− α∂ ∂ α∂ ∂ −−−−−−−−−−−− α∂ ∂ −−− α∂ ∂ α∂ ∂ α∂ ∂ −−− α∂ ∂ α∂ ∂ = )...( p...ppp( k321 k321 αααα∂ ∂ ≠ 0 Luego, si el determinante de los coeficientes no es idénticamente nulo significa que la única solución posible es: X1 = X2 = X3 = . . . = Xk = 0; entonces resulta k k. p H q ∂ ∂ − = 0, en consecuencia se cumple que: i i i. p H td qd q ∂ ∂ == , es decir, se verifica la primera de las igualdades (5.6). Consideremos ahora el sistema de ecuaciones i i q S p ∂ ∂ = , donde i = 1, 2, …, k, el cual define los impulsos generalizados; derivando respecto del tiempo t, donde S es reemplazado por la integral completa (5.9), resulta: t q S p i 2 i. ∂∂ ∂ = + ∑ ∂∂ ∂ j j. ji 2 q qq S También podemos derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi, (5.8), con respecto a los qi, después de reemplazar en ella por la integral completa, resulta 0 = i 2 qt S ∂∂ ∂ + iq H ∂ ∂ + ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ j i j j q p p H restando miembro a miembro estas dos ecuaciones se tiene, i. p = iq H ∂ ∂ − + ∑ ∂∂ ∂ j j. ji 2 q qq S ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ − j i j j q p p H Vamos a demostrar que los dos últimos sumandos son nulos; para ello recordemos que: j j q S p ∂ ∂ = , ⇒ ij 2 i j qq S q p ∂∂ ∂ = ∂ ∂ Reemplazando en la primera suma, se tiene ∑ ∂ ∂ j j. i j q q p ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ − j i j j q p p H Además, hemos demostrado que j j. p H q ∂ ∂ = ; por lo tanto, ∑ ∂∂ ∂ j j. ji 2 q qq S ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ − j i j j q p p H ≡ 0 luego, i. p = iq H ∂ ∂ − . Con lo cual se prueba la validez del sistema de ecuaciones canónicas (5.6). La importancia de este sistema de ecuaciones es que nos permite resolver un conjunto de problemas relacionado con el tema de las perturbaciones planetarias. Resumen: Un sistema de ecuaciones diferenciales es canónico si tiene la forma i i F td d η∂ ∂ = ξ , i i F td d ξ∂ ∂ −= η La función F es el Hamiltoniano del sistema; el orden del sistema es 2n y tiene n grados de libertad. Si el Hamiltoniano H no contiene explícitamente el tiempo entonces, H = constante = h, i.e., la energía total del sistema. G es la constante de la gravitación universal; su valor es G = 6,672 x 10 −11 m 3 kg −1 s −2. En el Sistema Solar la constante de la gravitación Gaussiana es k = 0,01720209895 en las unidades: UA, masa del Sol y día solar medio. m0 y m1 masa de los planetas. Consideremos un sistema dinámico formado por k puntos masa donde las fuerzas actuantes derivan de un potencial. Como hemos estudiado, el movimiento de los cuerpos puede ser descripto en coordenadas generalizadas, q1, q2,…, qn; entonces decimos que el sistema tiene n grados de libertad si no existen relaciones de vínculo (o ligaduras) entre las coordenadas. En esta sección ilustraremos el método de Hamilton-Jacobi aplicado al problema de dos cuerpos (movimiento no perturbado). El Hamiltoniano en el problema de dos cuerpos esta definido por 1, H = T − U = )zyx( 2 1 2. 2. 2. ++ − r µ donde µ = G ( m0 + m1 ) 2 , r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ; r es la distancia de m0 a m1. Expresemos la ecuación de Hamilton en coordenadas esféricas {r, L, λ}, ver Figura 31, pág.103; donde x = r cos L cos λ y = r cos L sen λ z = r sen L si derivamos, elevamos al cuadrado y sumamos resulta: 2. 2. 2. zyx ++ = 2. 222. 22. LrLcosrr +λ+ luego, la energía cinética T tiene la forma T = 2 1 ( 2 222 22. LrLcosrr +λ+ ). Entonces, en este caso, las coordenadas generalizadas son: q1 = r, q2 = λ, q3 = L, y los impulsos generalizados correspondientes: p1 = . r T ∂ ∂ , p2 = . T λ∂ ∂ , p3 = . L T ∂ ∂ , (¿porqué?) por lo tanto, p1 = . r , p2 = . 22 Lcosr λ , p3 = . 2 Lr , luego, la energía cinética T tiene la forma: T = 2 1 ( 2 1p + Lcosr p 22 2 2 + 2 2 3 r p ) § 5.2 Aplicación al problema de dos cuerpos. Expresión que representa la energía cinética del problema de dos cuerpos en función de los impulsos generalizados en coordenadas polares. La Figura 31muestra las coordenadas polares (r, L, λ) y su relación con los elementos angulares que definen la orbita no perturbada.