donde el operador D tiene el expresión: D = ζ ζd d ; siendo ζ la nueva variable independiente definida como: ζ =       m t iexp ; el período de revolución del satélite, de masa nula, entorno del planeta de masa µ, es m2 π=τ . La Figura 42 describe el movimiento del cuerpo de masa m = 0 entorno del cuerpo de masa µ perturbado por (1 −µ). Además, habíamos supuesto que la solución buscada, las funciones u y v, se pueden expresar en series de potencias de la variable ζ, (consultar (8.6), pág. 195), de la forma: u = ∑ ∞ ∞−=ν +ν ν ζ 12a , v = ∑ ∞ ∞−=ν +ν −ν− ζ 12 1a donde: u = x + i y, v = x − i y. Consultar Ecs. (8.5), pág. 194. Nos proponemos ahora hallar los coeficientes νa y 1a −ν− de los respectivos desarrollos de las funciones u y v. Para ello debemos calcular: u 2 , v 2 , uv, Du, Dv, etc. Por ejemplo: 2u = ∑ ν +ν ν ζ 12a ∑ µ +µ µ ζ 12a = ∑ ∑ ν µ +µ+ν νµ ζ )1(2aa = ∑ ∑ ν ξ ξ −ν−ξν ζ )( )( 2 1aa donde ξ = µ + ν + 1. Por lo tanto, 2u = ∑ ∑ ν ξ ξ −ν−ξν ζ )( )( 2 1aa . • • (1 −µ) µ m = 0 1 X = x Y y 200 § 8.3 Calculo de los coeficientes aν y a-ν-1. Análogamente se calcula el producto u.v, u.v = ∑ ν +ν ν ζ 12a ∑ µ +µ −µ− ζ 12 1a = ∑ ∑ ξ −µ−ν ζ 2 1aa donde: ξ = ν + µ + 1; −µ − 1 = ν − ξ. Luego, u.v = ∑ ∑ ν ξ ξ ξ−νν ζ )( )( 2aa = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζ )( )( 2aa . Cálculo de: v 2 , v 2 = ∑ ν +ν −ν− ζ 12 1a ∑ µ +µ −µ− ζ 12 1a = ∑ ∑ ν µ ξ −µ−−ν− ζ )( )( 2 11 aa = ∑ ∑ ν ξ ξ ξ−ν−ν− ζ )( )( 2 1 aa haciendo: − ν − 1 = η; ν = − η − 1, y reemplazando resulta: v 2 = ∑ ∑ η ξ ξ ξ−−η−η ζ )( )( 2 1aa ; permutando el subíndice η por ν, se tiene: v 2 = ∑ ∑ ξ ν ξ −ν−ξ−ν ζ )( )( 2 1aa . Cálculo de las derivadas: Du y Dv, Du = ζ td d u = ζ td d ∑ ν +ν ν ζ 12a = ζ ∑ ν ν ν ζ+ν 2a)12( Du = ∑ ν +ν ν ζ+ν 12a)12( . Dv = ζ td d v = ζ td d ∑ ν +ν −ν− ζ 12 1a = ζ ∑ ν ν −ν− ζ+ν 2 1a)12( Dv = ∑ ν +ν −ν− ζ+ν 12 1a)12( . Cálculo de las expresiones: u Dv y v Du, u Dv = ∑ ν +ν ν ζ 12a ∑ µ +µ −µ− ζ+µ 12 1a)12( = = ∑ ∑ ν µ ξ −ν−ν ζ+µ )( )( 2 1aa)12( = = ∑ ∑ ν ξ ξ ξ−νν ζ−ν−ξ )( )( 2aa)122( , luego § 8.3 Calculo de los coeficientes aν y a-ν-1. 201 u Dv = ∑ ∑ ξ ν ξ ν+ξ−ν ζ−ν−ξ )( )( 2aa)122( . Cálculo de: v Du: v Du = ∑ µ +µ −µ− ζ )( 12 1a ∑ ν +ν ν ζ+ν )( 12a)12( = = ∑ ∑ ν µ ξ −ν−ν ζ+ν )( )( 2 1aa)12( = ∑ ∑ ν ξ ξ ξ−νν ζ+ν )( )( 2aa)12( luego, v Du = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζ+ν )( )( 2aa)12( . Cálculo del producto: D(u.v) = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζξ )( )( 2aa2 . Cálculo de: Du.Dv = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζ−ν−ξ+ν )( )( 2aa)122()12( . Cálculo de: D 2 (u.v) = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζξ )( )( 22 aa4 . Cálculo de: u Dv − v Du = ∑ ∑ ξ ν ξ ξ−νν ζ−ν−ξ )( )( 2aa)242( . Finalmente, aplicamos estos resultados a las dos primeras ecuaciones del sistema (8.12), pág. 198, resulta: ∑ ∑ ξ ν        +−ν−ξ−−ν−ξ+ν−ξ )( 22 )( 2m 4 9 )242(m2)122()12(4 ξ−νν aa + + [ ]   + ν−ν−ξ−−ν−ξ aaam 4 9 11 2 ξζ 2 = C ∑ ξ)( [ ] [ ] ξ ν ν−ν−ξ−−ν−ξξ−νν ζ         −+ξ−−ν−ξξ∑ 2 )( 11 2 aaam 2 3 aam4)12(4 ≡ 0 En la primera ecuación los coeficientes de todos los términos son nulos, excepto el término independiente que es igual a C; en la segunda ecuación, en el primer miembro, los coeficientes de todos los términos deben ser idénticamente nulos. ¿Porqué?. Por lo tanto, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones: 202 § 8.3 Calculo de los coeficientes aν y a-ν-1. Para ξ = 0 se obtiene: ∑ ν −ν−νν       +    ++ν++ν )( 1 2222 aam 2 9 am 2 9 )12(m4)12( = C (8.12a) Y, para todos los valores de ξ ≠ 0, el sistema adopta la expresión general: [ ] [ ]           =       −+ξ−−ν−ξξ =    