En términos de las funciones Fr(r,θ,φ), Fθ(r,θ,φ), Fφ(r,θ,φ) y de sus derivadas parciales. El camino indirecto consistente en calcular derivadas parciales de Fr, Fθ y Fφ para tratar de relacionarlas con divF(r,θ,φ) no se ve nada claro (puedes intentarlo para convencerte). Seguiremos el camino directo como hicimos para las coordenadas polares. Para ello expresaremos las componentes cartesianas del campo f en función de sus componentes Fr, Fθ y Fφ en la base {er,eθ,eφ}. La matriz del cambio de esta base a la base canónica es la que tiene como columnas los vectores er, eθ, y eφ. Las igualdades anteriores permiten expresar f1(x,y,z), f2(x,y,z) y f3(x,y,z) en función de Fr(r(x,y,z),θ(x,y,z),φ(x,y,z)), Fθ(r(x,y,z),θ(x,y,z),φ(x,y,z)) y Fφ(r(x,y,z),θ(x,y,z),φ(x,y,z)). Ahora hay que calcular, aplicando la regla de la cadena, las derivadas parciales ∂ f1 ∂x (x,y,z), ∂ f2 ∂y (x,y,z) y ∂ f3 ∂z (x,y,z) sumarlas, simplificar y sustituir (x,y,z) por (r sen θcosφ,r sen θsen φ,r cosθ). Los cálculos son largos pero mecánicos. El resultado final es el siguiente. div f(r senθcosφ,r sen θsenφ,r cosθ)= 1 r2 ∂ ∂r ( r2Fr(r,θ,φ) ) + 1 r senθ ∂ ∂θ ( senθFθ(r,θ,φ) ) + 1 r senθ ∂ ∂φ Fφ(r,θ,φ) Observa que en esta igualdad a la izquierda tenemos la divergencia de f calculada en la expresión de f en coordenadas cartesianas y evaluada en el punto (r senθcosφ,r sen θsenφ,r cosθ), y a la derecha lo que tenemos son las derivadas parciales de las componentes de la función compuesta F(r,θ,φ) evaluadas en el punto (r,θ,φ). 4.2.3. Gradiente en coordenadas esféricas Sea f un campo escalar de tres variables. Sabemos que el gradiente de f es el campo vectorial dado por ∇ f (x,y,z) = ∂ f ∂x (x,y,z)i+ ∂ f ∂y (x,y,z)j + ∂ f ∂y (x,y,z)k La expresión del gradiente de f en esféricas viene dada por ∇ f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ) = fr(r,θ,φ)er + fθ(r,θ,φ)eθ + fφ(r,θ,φ)eφ donde fr, fθ y fφ son las componentes del vector ∇ f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ) en la base {er,eθ,eφ}. En virtud de la igualdad (4.14), tenemos que fr(r,θ,φ) = ⟨ ∇ f (r sen θcosφ,r senθsen φ,r cosθ) ∣∣er ⟩ fθ(r,θ,φ) = ⟨ ∇ f (r sen θcosφ,r senθsen φ,r cosθ) ∣∣eθ ⟩ fφ(r,θ,φ) = ⟨ ∇ f (r sen θcosφ,r senθsen φ,r cosθ) ∣∣eφ ⟩ Haciendo estos productos escalares y teniendo en cuenta la regla de la cadena se obtiene fácilmente la igualdad siguiente. ∇ f (r sen θcosφ,r senθsen φ,r cosθ) = ∂ ∂r f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ)er+ 1 r ∂ ∂θ f (r sen θcosφ,r senθsen φ,r cosθ)eθ + 1 r sen θ ∂ ∂φ f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ)eφ Es conveniente introducir la función h(r,θ,φ) = f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ) con lo que la igualdad anterior se escribe mejor en la forma ∇ f (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ) = ∂h ∂r (r,θ,φ)er + 1 r ∂h ∂θ (r,θ,φ)eθ + 1 r senθ ∂h ∂φ (r,θ,φ)eφ En los textos de física es frecuente que no se distinga entre la función f y la función h (pues, en definitiva, son la misma función expresada en distintas coordenadas) y que escriban la igualdad anterior en la forma ∇ f = ∂ f ∂r er + 1 r ∂ f ∂θ eθ + 1 r senθ ∂ f ∂φ eφ igualdad que constituye la expresión del gradiente en coordenadas esféricas. Observa que en la expresión anterior del gradiente aparecen los inversos de los factores de escala multiplicando a las derivadas parciales a las que está asociado cada uno de ellos. Como sabes, los factores de escala son {1,r,r senθ}; el primero de ellos, 1, está asociado a la primera columna de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas que corresponde a la derivación parcial respecto a la primera variable, r; el segundo de ellos, r, está asociado a la segunda columna de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas que corresponde a la derivación parcial respecto a la segunda variable, θ, el tercero de ellos, r senθ, está asociado a la tercera columna de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas que corresponde a la derivación parcial respecto a la tercera variable, φ. 4.2.4. Significado de los factores de escala Consideremos la matriz jacobiana en un punto genérico (r,θ,φ) de la función que introduce las coordenadas esféricas. S =   cosφsen θ r cosθcosφ −r senθsenφ senθsen φ r cosθsenφ r cosφsen θ cosθ −r senθ 0   Esta matriz define una aplicación lineal deR3 enR3 que a cada vector (x,y,z) hace corresponder el vector S .(x,y,z). La norma euclídea de la imagen de un vector en dicha transformación viene dada por la igualdad siguiente. ‖S .(x,y,z)‖ = √ x2 + r2y2 + r2 sen2 θz2 Deducimos que para vectores situados a lo largo del eje X , es decir, de la forma (x,0,0), se verifica que ‖S .(x,0,0)‖ = ‖(x,0,0)‖ y, teniendo en cuenta la linealidad, se sigue que la aplicación (x,y,z) 7→ S .(x,y,z) conserva distancias en el eje X . Pues bien, este es el significado de que el factor de escala asociado a la primera variable sea igual a 1. Deducimos también que para vectores situados a lo largo del eje Y, es decir, de la forma (0,y,0), se verifica que ‖S .(0,y,0)‖ = r‖(0,y,0)‖ y, teniendo en cuenta la linealidad, se sigue que la aplicación (x,y,z) 7→ S .(x,y,z) multiplica distancias por r en el eje Y . Pues bien, este es el significado de que el factor de escala asociado a la segunda variable sea igual a r. Deducimos también que para vectores situados a lo largo del eje Z, es decir, de la forma (0,0,z), se verifica que ‖S .(0,0,z)‖ = r senθ‖(0,0,z)‖ y, teniendo en cuenta la linealidad, se sigue que la aplicación (x,y,z) 7→ S .(x,y,z) multiplica distancias por r senθ en el eje Z. Pues bien, este es el significado de que el factor de escala asociado a la