EJERCICIOS-RESUELTOS-DE-FUNCIONES-LÍMITES-DERIVADAS

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CURSO 2013/2014 
1 
 
EJEMPLOS. FUNCIONES.LÍMITES.DERIVADAS 
 
Ejercicio nº 1.- 
 
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: 
 25
3
 a)


x
y
 
42 b)  xy 
 
 
Solución: 
 
   
2
a) 5 0 5 Dominio 5x x       
  ,2 Dominio 242042 )b xxx 
 
 
 
Ejercicio nº 2.- 
 
Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas: 
1
1
a)
21  x
lim
x 
3
5
b)
3 

 x
x
lim
x 
1
32
c)
2
2
1 

 x
xx
lim
x 
 
 
Solución: 
 
2
1
11
1
1
1
a)
21



 x
lim
x 
 
 
 
3
5
b)
3 

 x
x
lim
x 
 
Hallamos los límites laterales: 
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2 
 










3
5
3
5
3
3
x
x
lim
x
x
lim
x
x
 
 
 
 3 
 
 
  
  
2
2
4
1
3
11
31
1
32
c)
112
2
1









 x
x
lim
xx
xx
lim
x
xx
lim
xxx
 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 3.- 
 
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 
 
 33a) xlim
x

 
1
33
b)
2
2


 x
xx
lim
x 
1
c)
3
 x
x
lim
x 
 
 
Solución: 
 
  

3
3a) xlim
x 
 
 
 
3
1
33
b)
2
2



 x
xx
lim
x 
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3 
 
 
 
 

 1
c)
3
x
x
lim
x 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 4.- 
 
  :caso cada en Calcula xf' 
 
53 2
a) 6
7
x x
f x x
 
  
   4b) f x x arccos x 
  1
12
c) 

 x
x
exf 
 
 
Solución: 
 
 
4 415 2 6 15 2 3
a) '
7 72 6 6
x x
f x
x x
   
    
  3 4 3
2 2
1
b) ' 4 4
1 1
4x
f x x arccos x x x arccos x
x x

    
 
 
 
   
     2
2
1
1
2
22
1
1
2
2
1
1
1
12
1
122
1
112
'c)
222








 





x
xx
e
x
xxx
e
x
xxx
exf x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
Ejercicio nº 5.- 
 
Representa gráficamente: 
3
1
a)


x
y
 
xy  2b) 
 
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4 
 
 
Solución: 
 
:absoluto valor su hallamos,
3
1
 recta la Sobre a)


x
y
 
 
 
 
b) Hacemos una tabla de valores: 
 
 
 
La gráfica sería: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 6.- 
 
Dada la función: 
 
 






0si1
0si1 2
xx
xx
xf
 
 
a) Estudia su continuidad. 
b) Dibuja su gráfica. 
 
 
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5 
 
Solución: 
 
a) · Si x ¹ 0 la función es continua. 
· Si x = 0: 
   
   
 
0. en continua es También
10
11limlim
11limlim
00
2
00














x
f
xxf
xxf
xx
xx
 
Es una función continua. 
 
b) · Si x £ 0, es un trozo de parábola. 
· Si x > 0, es un trozo de recta. 
· La gráfica es: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 7.- 
 
Una cierta población crece de acuerdo con la ecuación y = 1 + k
.
 e
at 
 donde t es el 
tiempo en meses e y es el número de individuos en miles. 
 
a) Calcula k y a sabiendo que y(0) = 1,2 y que y(10) = 1+ 0,2e »1,54 
b) Representa la función obtenida con los valores de k y a que has hallado. 
 
 
Solución: 
 
 
  1,01102,012,012,0110
2,0112,12,10)a
10 

aaeeey
kky
a
 
tey 1,02,01 :tanto Por  
 
b) 
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Ejercicio nº 8.- 
 
Halla la derivada de la función f(x) = 3x
2
 en x = 1, aplicando la definición de derivada. 
 
 
Solución: 
 
 
       
 
 
2 2 2
0 0 0 0
2
0 0 0
3 1 2 31 1 3 1 3 3 3 6 3
' 1 lim lim lim lim
3 63 6
lim lim lim 3 6 6
h h h h
h h h
h hf h f h h h
f
h h h h
h hh h
h
h h
   
  
        
    

    
 
 
 
 
Ejercicio nº 9.- 
 
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f x  2x
2 
+ 3x - 1 en el punto de 
abscisa 
x = 1. 
 
 
Solución: 
 
'( ) 4 3f x x   
 La pendiente de la recta es ' 1 7.f  
.4,1 Cuando  yx 
 · La recta será: 
 
   37774174  xxxy 
 
 
 
Ejercicio nº 10.- 
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función: 
 
 
 
4
32 xx
xf


 
 
 
Solución: 
 
 
4
32
'


x
xf
 
 
· Estudiamos el signo de la derivada: 
 
 
 
2
3
0320'  xxxf
 
 
 
2
3
0320
4
32
0' 

 xx
x
xf
 
 
 
2
3
0320
4
32
0' 

 xx
x
xf
 
 
.
2
3
 en mínimo un Tiene.,
2
3
 en creciente y 
2
3
, en edecrecient es función La 











 x
 
 
 
 
Ejercicio nº 11.- 
 
Averigua cuáles son las asíntotas de la siguiente función y representa gráficamente la 
posición de la curva respecto a ellas: 
 
 
92 

x
x
xf
 
 
 
Solución: 
 
· Asíntota horizontal: y = 0 
 
 
0
9
;0
9 22



  x
x
lim
x
x
lim
xx 
 
3;3 :verticales Asíntotas  xx 
 



   9
;
9 2323 x
x
lim
x
x
lim
xx 
 
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8 
 
 



   9
;
9 2323 x
x
lim
x
x
lim
xx 
 
· Representación: 
 
 
 
 
 
Ejercicio nº 12.- 
 
 
te.gráficamen losRepresénta
1.8 función la de horizontal tangente de puntos los Determina 24  xxxf 
 
 
 
Solución: 
 
   3 2
0 Punto: (0, 1)
' 4 16 4 4 0 2 Punto: ( 2, 15)
2 Punto: (2, 15)
x
f x x x x x x
x
 

           
   
 
 
    

18;18 2424 xxlimxxlim
xx 
 
 
 
Mínimo en ( 2, 15) y en (2, 15), y máximo en (0, 1).   
 
 
 
Ejercicio nº 13.- 
 
a) Dibuja la gráfica de la siguiente función: 
 
  xxxxf  23 2 
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9 
 
 
b) A partir de la gráfica, di cuál es el dominio de f (x ), estudia su continuidad y di 
cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. 
 
 
Solución: 
 
    

xxxlim;xxxlim
xx
2323 22a)
 
 
· Puntos de corte con los ejes: 
 
  
 
 
3 2 2
0 Punto 0, 0
Con el eje 2 2 1 0
1 Punto 1, 0
x
X x x x x x x
x
  

        

   
 
 
  0,0Punto00 eje el Con  yxY 
 
· Puntos singulares: 
   2
4 16 12 4 2
' 3 4 1 0
6 6
f x x x x
    
        
 1 Punto 1, 0
2 1 1 4
Punto ,
6 3 3 27
x
x
    

     
    
 
 
 
 
· Gráfica: 
 
 
 
b) Dominio   
 
 
 · Es una función continua. 
 
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      .0,1 en edecrecient y ,01, en Creciente  
 
 
 
Ejercicio nº 14.- 
 
a) Representa gráficamente la función: 
 
 
32
242
2
2



xx
xx
xf
 
 
b) A partir de la gráfica, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de 
decrecimiento de f (x ). 
 
 
Solución: 
 
a) · Dominio: 
 











1
3
2
42
2
1242
0322
x
x
xx
 
  Dominio 3,1   
 
· Puntos de corte con los ejes: 
 
 
02420 eje el Con 2  xxyX
 
 01Punto1
4
16164
,x 


 
 
2 2
Con el eje 0 Punto 0,
3 3
Y x y
 
       
 
 
· Asíntotas verticales: x = -3 y x = 1 
 
 
 
  
  



 
xflim
xx
xx
limxflim
xxx 3
2
33
;
13
242
 
 
 
    
 
xflimxflim
xx 11
;
 
 
· Asíntota horizontal: y = 2 
 
 
    2;2 

xflimxflim
xx 
 
· Puntos singulares: 
 
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        
 




22
22
32
222423244
'
xx
xxxxxx
xf
 
 
  
 
 
 
 
 222222
22
32
116
32
228
32
24264222









xx
x
xx
x
xx
xxxxx
 
 
    0,1Punto10'  xxf 
 
· Gráfica: 
 
 
 
b) · Continuidad: 
 
continua. es ,1y3 Si  xx 
Es discontinua en x = -3 y en x =1, pues tiene dos ramas infinitas (asíntotas 
verticales). 
 
       Creciente en , 3 3, 1 y decreciente en 1, 1 1, .         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio nº 15.- 
 
Calcula el dominio de definición de la función: 
 
32 3
( )
4
x x
f x
x



 
 
 
Solución: 
 
32 3
Buscamos los valoresde tales que 0.
4
x x
x
x



 
 
Para que un cociente sea positivo, numerador y denominador han de tener el mismo signo: 
 
Ambos positivos: 
 3 2 22 3 0 2 3 0 0 ya que 2 3 0 siempre
4 0 4
x x x x x x
x x
         

   
 
La solución de este sistema es [0, 4. 
 
Ambos negativos: 
 3 3 32 3 0 2 3 0 0 pues 2 3 0 siempre
4 0 4
x x x x x x
x x
         

   
 
Este sistema no tiene solución. 
 
Por tanto: Dom f  [0, 4