5.3.1. Ejemplos 5.1 Ejemplo (Centro de masa de una superficie). Sea S = γ(A) una superficie y sea ρ : S →R una función continua que representa la d...

5.3.1. Ejemplos 5.1 Ejemplo (Centro de masa de una superficie). Sea S = γ(A) una superficie y sea ρ : S →R una función continua que representa la densidad superficial de una lámina cuya forma es la de la superficie S, es decir, ρ(x,y,z) es la densidad de S en el punto (x,y,z)∈S medida en unidades de masa por superficie (por ejemplo, en gr/cm2). La masa total de la superficie viene dada por la integral de superficie de la función ρ sobre S. El centro de masa de S es el punto (a,b,c) definido por a = "S xρ(x,y,z)dS"S ρ(x,y,z)dS, b = "S yρ(x,y,z)dS"S ρ(x,y,z)dS, c = "S zρ(x,y,z)dS"S ρ(x,y,z)dS Cuando la densidad es constante el centro de masas se denomina centroide (que es una pro- piedad geométrica de la superficie). � 5.2 Ejemplo (Fórmula de Pappus para el área de una superficie de revolución). Este resultado establece que el área de la superficie de revolución obtenida girando una curva plana simple alrededor de una recta que no la corta situada en su mismo plano es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de la circunferencia que describe el centroide de la misma. Vamos a probar la afirmación anterior. Supongamos, por comodidad, que la curva está con- tenida en el plano XZ y viene dada por α(t) = (x(t),z(t)) donde a6 t 6 b. Suponemos también que z(t) > 0 para todo t ∈ [a,b]. Observa que estas hipótesis no son restrictivas pues el caso general puede reducirse a éste mediante un giro y una traslación que son movimientos del espacio que conservan las áreas. Al girar la curva alrededor del eje X se obtiene una superficie de revolución S que está dada por γ(s, t) = (x(t),z(t)cos s,z(t)sen s) para a 6 t 6 b, 0 6 s 6 2π. Deducimos que, el área de la superficie S viene dada por Área(S)= "A ∥∥∥∥ ∂γ ∂s (s, t)× ∂γ ∂t (s, t) ∥∥∥∥ d(s, t) = 2πw 0 [ bw a z(t) √ x ′(t)2 + z ′(t)2 dt ] ds = 2π bw a z(t) √ x ′(t)2 + z ′(t)2 dt Recordemos que la segunda coordenada del centroide de la curva α viene dada por β = w α zds w α ds = w α zds λ(α) = bw a z(t) √ x ′(t)2 + z ′(t)2 dt λ(α) donde λ(α) es la longitud de la curva α. Concluimos que Área(S) = 2πβλ(α) y 2πβ es la longitud de la circunferencia que recorre el centroide al girar la curva alrededor del eje X . � El siguiente resultado, aunque no está directamente relacionado con este tema, lo incluyo aquí por complitud. 5.3 Ejemplo (Fórmula de Pappus para el volumen de un sólido de revolución). El volumen de un sólido de revolución obtenido girando una figura plana alrededor de una recta que no la corta situada en su mismo plano es igual al producto del área de la figura plana por la longitud de la circunferencia que describe el centroide de la misma. Vamos a probar la afirmación anterior. Supongamos, por comodidad, que la figura plana, F , está contenida en el plano XZ y su frontera es una curva dada por α(t) = (x(t),z(t)) donde a 6 t 6 b. Suponemos también que x(t) > 0 para todo t∈[a,b]. Observa que estas hipótesis no son restrictivas pues el caso general puede reducirse a éste mediante un giro y una traslación que son movimientos del espacio que conservan los volúmenes. Al girar la figura plana, F , alrededor del eje Z se obtiene un sólido de revolución Ω que está limitado por la superficie dada por γ(s,t) = (x(t)cos s,z(t)sen s,z(t)) para a 6 t 6 b, 0 6 s 6 2π. El volumen de Ω viene dado por # Ω 1d(x,y,z) . Haciendo un cambio de variables a coorde- nadas cilíndricas, tenemos que Volumen(Ω) = # Ω d(x,y,z) = # B ρd(ρ,θ,z) donde B = {(ρ,θ,z) : (ρcosθ,ρsenθ,z)∈Ω} = {(ρ,θ,z) : (ρ,z)∈F,0 6 θ 6 2π} En consecuencia, usando el teorema de Fubini, tenemos que Volumen(Ω) = $ Ω d(x,y,z) = $ B ρd(ρ,θ,z) = 2πw 0 [ F ρd(ρ,z) ] dθ = = 2π " F ρd(ρ,z) = 2πα " F d(ρ,z) = 2παÁrea(F) donde α = " F ρd(ρ,z) " F d(ρ,z) es la abscisa del centroide de F. � Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Ejercicios 64 5.3.2. Ejercicios Hacer los ejercicios propuestos en el libro de James Stewart Cálculo Multivariable 4Ed., en la sección 16.7 (página 1103), ejercicios 5-18. 1. Calcula el centroide de la semiesfera x2 + y2 + z2 = R2, z > 0. 2. Calcula la masa de un embudo delgado en forma de cono z = √ x2 + y2, 1 6 z 6 4, cuya función de densidad es ρ(x,y,z) = 10− z (gr/cm2). 5.4. Integral de superficie de un campo vectorial Sea S = γ(A) una superficie donde γ(s,t) = (x(s,t),y(s,t),z(s,t)) = x(s,t)i + y(s,t)j + z(s,t)k y A es un subconjunto de R2. Sea F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k un campo vectorial de tres variables definido en un abierto de R3 que contiene a la superficie S. Recuerda que para definir la integral de F sobre una curva lo que se hacía era considerar un campo de vectores sobre la curva, a saber, el campo vectorial que a cada punto de la curva hace corresponder el vector tangente unitario en dicho punto. Ahora necesitamos hacer algo parecido. Necesitamos definir un campo vectorial de tres variables sobre la superficie S. Puesto que en un punto de una superficie hay muchos vectores tangentes pero hay solamente dos vectores normales unitarios opuestos entre sí, parece natural elegir uno de dichos vectores en cada punto de la superficie y de esta forma obtenemos un campo vectorial que podremos multiplicar escalarmente por F lo que nos va a llevar a la integral que queremos definir. Nos vemos así llevados a la necesidad de elegir en cada punto de una superficie uno de los dos vectores unitarios normales a la superficie en dicho punto. Representaremos por n(x,y,z) un vector normal unitario a S en el punto (x,y,z)∈S. El otro vector normal unitario será −n(x,y,z). 5.4 Definición. Diremos que una superficie S es orientable cuando es posible definir un campo vectorial continuo sobre S que a cada punto de S asigne uno de los vectores unitarios normales en dicho punto. Cuando dicho campo vectorial existe se llama una orientación de S. Es claro que una superficie “de un solo trozo” orientable tiene dos posibles orientaciones. Las superficies orientables tienen dos caras porque, intuitivamente, lo que hace una orien- tación es definir en cada punto de la superficie una dirección hacia arriba que es aquella direc- ción en la que apunta el vector normal y la dirección opuesta define una dirección hacia abajo. Por tanto podemos distinguir una cara de S hacia arriba y otra cara de S hacia abajo. La mayoría de las superficies usuales son orientables pero hay algunas superficies que no lo son y suelen llamarse superficies de una sola cara. La más conocida es la llamada banda de Moebius. Aquí la tienes. Universidad de Granada Dpto.