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{a} (el abierto Ω puede muy bien ser un disco abierto centrado en a). En esta situación se dice que el punto a es una singularidad aislada de f . Pueden ocurrir los siguientes casos: Existe lı́m z→a f (z) = w∈C. En tal caso, definiendo f (a) = w tenemos, en virtud del lema de Riemann, que f es holomorfa en Ω. Se dice que a es un punto regular de f o que a es una singularidad evitable de f . Existe lı́m z→a f (z) = ∞. En tal caso se dice que a es un polo de f . No existe el límite de f en a. Se dice entonces que a es una singularidad esencial de f . 9.36 Definición. Sea Ω un abierto en C, a un punto de Ω y sea f una función holomorfa en Ω\ {a}. Supongamos que D̄(a,r) ⊂ Ω. Se define el residuo de f en a como Res( f (z),a) = 1 2π i w C(a,r) f (z)dz Observa que la integral en esta definición no depende de r pues si consideras otro disco D̄(a,s)⊂ Ω, el ciclo Γ = C(a,r)−C(a,s) es nulhomólogo respecto de Ω \ {a} y, como f es una función holomorfa en Ω \ {a}, el teorema de Cauchy nos dice que w Γ f (z)dz = 0, es decir, w C(a,r) f (z)dz = w C(a,s) f (z)dz . Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Cálculo de residuos 146 9.37 Teorema (de los residuos). Sean Ω ⊂ C un abierto, S = {a1,a2, . . . ,aq} un conjunto finito de puntos en Ω y sea f una función holomorfa en Ω\ S. Si Γ es un ciclo en Ω nulhomólogo respecto de Ω entonces w Γ f (z)dz = 2π i q∑ j=1 Res( f (z);a j) IndΓ(a j) Idea de la demostración. Tomamos ρ > 0 de forma que D̄(ak,ρ) ⊆ Ω y D̄(ak,ρ)∩A = {ak} para k = 1, . . . ,q. Para cada k llamamos mk = IndΓ(ak) y γk = mk C(ak,ρ). Construimos el ciclo Σ = k∑ j=1 γ j Es fácil probar que el ciclo Γ−Σ es nulhomólogo respecto del abierto Ω \ S. En consecuencia, podemos aplicar el teorema general de Cauchy a dicho abierto para el ciclo Γ−Σ y la función f obteniendo que 0 = w Γ−Σ f (z)dz = w Γ f (z)dz − w Σ f (z)dz despejando obtenemos w Γ f (z)dz = w Σ f (z)dz = q∑ j=1 w γ j f (z)dz = = q∑ j=1 m j w C(a j ,ρ) f (z)dz = 2πi q∑ j=1 IndΓ(a j)Res( f (z);a j) que es la fórmula que queríamos probar. La utilidad del teorema de los residuos depende de que seamos capaces de calcular los resi- duos de una función holomorfa en sus singularidades aisladas. 9.4.2. Cálculo de residuos Sea Ω un abierto en C, a un punto de Ω y sea f una función holomorfa en Ω\ {a}. Supongamos que a es un punto regular de f . Entonces Res( f (z),a) = 0. Pues podemos definir f (a) = lı́m z→a f (z) con lo que f es holomorfa en Ω y si D̄(a,r) ⊂ Ω, como consecuencia del teorema de Cauchy tenemos que w C(a,r) f (z)dz = 0. Supongamos que a es un polo de f . Entonces se verifica que hay un número natural k∈N tal que lı́m z→a (z− a)k f (z) = w , 0. Se dice que a es un polo de orden k de la función f . Sea g(z) = (z−a)k f (z) para z∈Ω, z , a, y sea g(a) = w. Entonces, por el lema de Riemann, g es holomorfa en Ω. Sea D̄(a,r) ⊂ Ω. Por el teorema de Taylor sabemos que g(z) = ∞∑ n=0 dn(z−a)n z∈D(a,r) Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja e obtiene en este caso que c−1 = Res( f (z),a). Aunque ahora no disponemos de una forma para calcular c−1 que no sea obtener el desarrollo 9.9. 9.38 Definición. Una serie del tipo {∑k=n k=−n ck(z−a)k } se dice que es una serie de Laurent cen- trada en a. Dichas series son una generalización de las series de potencias. Cuando dicha serie converge el límite se nota por lı́m n→∞ n∑ k=−n ck(z−a)k = +∞∑ n=−∞ an(z−a)n Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja ntonces que h tiene un cero de orden k en a). Supongamos también que g(a) , 0. Entonces, en virtud del teorema de Taylor, podemos escribir para z∈D(a,r) ⊂ Ω : h(z) = ∞∑ n=0 h (n)(a) k! (z−a)n = ∞∑ n=k h (n)(a) k! (z−a)n = (z−a)k ∞∑ n=k h (n)(a) k! (z−a)n−k Poniendo para z∈D(a,r) ϕ(z) = ∑∞ n=k h (n)(a) k! (z−a)n−k, la función ϕ es holomorfa en D(a,r) y ϕ(a) , 0. Deducimos que lı́m z→a (z−a)k f (z) = lı́m z→a g(z) ϕ(z) = g(a) ϕ(a) , 0 por lo que f tiene en a un polo de orden k. Supongamos que lı́mz→a(z−a) f (z) = w, entonces se verifica que Res( f (z),a) = w. En parti- cular, supongamos que f (z) = g(z) h(z) donde g, h son funciones holomorfas en un abierto Ω, y suponemos que g(a) , 0 y h tiene un cero simple, es decir, de orden 1 en a. Entonces, se- gún acabamos de ver, f tiene un polo simple, es decir, de orden 1 en a. Entonces tenemos que Res( f (z),a) = lı́m z→a (z−a) g(z) h(z) = g(a) lı́m z→a z−a h(z) = g(a) h ′(a) Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja Aplicaciones del teorema de los residuos para calcular integrales reales 149 9.5. Aplicaciones del teorema de los residuos para calcular in- tegrales reales 9.5.1. Integrales del tipo πw −π R(cost,sent)dt Suponemos que R es una función racional de dos variables continua en la circunferencia uni- dad. La idea para calcular esta integral por el método de residuos es convertirla en una integral sobre C(0,1) de una función compleja que también va a ser racional. Para ello recordemos que sen t = e it −e−it 2 i = e2it −1 2 ie it cost = e it +e−it 2 = e2it +1 2e it Por tanto, se verifica que w C(0,1) R ( z2 + 1 2z , z2 −1 2iz ) 1 iz dz = πw −π R(cost,sin t)dt . En consecuencia, si notamos f (z) = R ( z2 + 1 2z , z2 −1 2iz ) 1 iz . Tenemos que f (z) es una función ra- cional por lo que sus únicas posibles singularidades son polos. Para calcular la integral sólo nos interesan los polos que están dentro del disco unidad. Supongamos que estos son { z1,z2, . . . ,zq } . El teorema de los residuos nos dice que πw −π R(cost,sin t)dt = 2π i q∑ j=1 Res( f (z),z j) 9.40 Ejemplo. Se trata de calcular la integral I = πw −π 1 5 + 4cost dt . Según acabamos de ver I = w C(0,1) 1