En consecuencia: los factores de un polinomio que no generen raíces reales, no cambian la solución determinada por las raíces reales del polinomio y pueden ser ignorados en el procedimiento de solución. Por ejemplo, la desigualdad: x^2 + x^3 - 0 < se cumple igual si sólo se considera la solución de x^3 - 0 <. Resolver la desigualdad: 5x*7 - 3 - x*1 + <. Solución: Primero procedemos a escribir todos los términos de la desigualdad en un solo miembro. Para ello usemos la propiedad de suma de las desigualdades y sumemos la cantidad 3 - x*1 +, que es el inverso aditivo del número 3 - x*1 +. Como ya se sabe, con esta operación no se cambia el sentido de la desigualdad (sólo se transforma en otra desigualdad equivalente) y se obtiene: 5x*7 - 3 - x* + - 3 - x*1 + <. 5x*7 - 3x* + 1 - 0 <. 8x*1 - 0 < (simplificando y factorizando). En este momento el polinomio queda factorizado. Por ser de 1er grado, su única raíz se obtiene al resolver la ecuación: 8x*1 - 0 = y es x = 1, con lo cual la recta numérica queda dividida en dos intervalos: (-∞, 1) y (1, ∞). Procediendo a averiguar el signo de este único factor, se tiene que... Entonces la desigualdad: 8x*1 - 0 < se satisface solo en el intervalo (-∞, 1), es decir la solución es el conjunto de números reales x que están a la izquierda del número 1: x <. De esta manera, hemos transformado la desigualdad inicial en otra equivalente pero más simple: x <, la cual representa la solución de la desigualdad inicial y equivale al intervalo infinito (-∞, 1). En las desigualdades que solo tienen polinomios de primer grado, la solución también se puede determinar rápidamente al 'despejar' la variable x una vez que se han simplificado todos los términos en un solo miembro de la desigualdad. Así, por ejemplo, en el ejercicio anterior, a partir de 8x*1 - 0 < se tiene... Substituyendo valores para la variable x que estén a la derecha del número 1 se puede comprobar que la desigualdad inicial no se cumple, mientras que para cualquier valor a la izquierda del 1, la desigualdad es verdadera. Ejemplo 4. Hallar los intervalos solución de: 1/3x - x^4 >=. Solución: Sumando el inverso aditivo de x^4 en ambos miembros se obtiene: 1/3x - x^ - x^4 - x^4 <. 5/5x - x^ - 0 >= (simplificando). 5/5x - x^ - 5 - 0 >= (Sumando 5 - en ambos miembros). 5 - 2/5x - 5 - x^ - 5 - ( ) >=. 2/5x - 5 - 5 - x - ( ) 5 - ( ) >= (Multiplicando por el inverso del coeficiente de x, que es un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad que cambia de '≥' a '≤'). x^2 ≤ (La solución buscada). Entonces, cualquier número real que esté a la izquierda de 2 (incluso este), satisface la desigualdad. En otras palabras, la solución es el intervalo infinito semicerrado (-∞, 2], o gráficamente: R. Ejemplo 5. Hallar los números x que satisfacen: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ 3 - x*5 +. Solución: En este caso debemos resolver simultáneamente dos desigualdades: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ y 3 - x*4 + 4 - x*1 + <. En la primera desigualdad sumamos el inverso aditivo de 3 - x*4 +: 3 - x*4 + 3 - x*4 + - 3 - x*1 + 3 - x*4 + <. 0/9 - 4x*3 - < (simplificando). 3/9 - 4x* < (sumado el inverso de 3 -). Multiplicando ahora ambos miembros por el inverso de 9/4, que es 4/9, una cantidad positiva, la desigualdad no se altera ni cambia de sentido. x^2 ≤ (simplificando). R la solución gráfica es el intervalo infinito abierto (-∞, 1). Substituyendo valores para la variable x que estén a la derecha del número 1 se puede comprobar que la desigualdad inicial no se cumple, mientras que para cualquier valor a la izquierda del 1, la desigualdad es verdadera. (¡hágalo!). Ejemplo 4. Hallar los intervalos solución de: 1/3x - x^4 >=. Solución: Sumando el inverso aditivo de x^4 en ambos miembros se obtiene: 1/3x - x^ - x^4 - x^4 <. 5/5x - x^ - 0 >= (simplificando). 5/5x - x^ - 5 - 0 >= (Sumando 5 - en ambos miembros). 5 - 2/5x - 5 - x^ - 5 - ( ) >=. 2/5x - 5 - 5 - x - ( ) 5 - ( ) >= (Multiplicando por el inverso del coeficiente de x, que es un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad que cambia de '≥' a '≤'). x^2 ≤ (La solución buscada). Entonces, cualquier número real que esté a la izquierda de 2 (incluso este), satisface la desigualdad. En otras palabras, la solución es el intervalo infinito semicerrado (-∞, 2], o gráficamente: R. Ejemplo 5. Hallar los números x que satisfacen: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ 3 - x*5 +. Solución: En este caso debemos resolver simultáneamente dos desigualdades: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ y 3 - x*4 + 4 - x*1 + <. En la primera desigualdad sumamos el inverso aditivo de 3 - x*4 +: 3 - x*4 + 3 - x*4 + - 3 - x*1 + 3 - x*4 + <. 0/9 - 4x*3 - < (simplificando). 3/9 - 4x* < (sumado el inverso de 3 -). Multiplicando ahora ambos miembros por el inverso de 9/4, que es 4/9, una cantidad positiva, la desigualdad no se altera ni cambia de sentido. x^2 ≤ (simplificando). R la solución gráfica es el intervalo infinito abierto (-∞, 1). Substituyendo valores para la variable x que estén a la derecha del número 1 se puede comprobar que la desigualdad inicial no se cumple, mientras que para cualquier valor a la izquierda del 1, la desigualdad es verdadera. (¡hágalo!). Ejemplo 4. Hallar los intervalos solución de: 1/3x - x^4 >=. Solución: Sumando el inverso aditivo de x^4 en ambos miembros se obtiene: 1/3x - x^ - x^4 - x^4 <. 5/5x - x^ - 0 >= (simplificando). 5/5x - x^ - 5 - 0 >= (Sumando 5 - en ambos miembros). 5 - 2/5x - 5 - x^ - 5 - ( ) >=. 2/5x - 5 - 5 - x - ( ) 5 - ( ) >= (Multiplicando por el inverso del coeficiente de x, que es un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad que cambia de '≥' a '≤'). x^2 ≤ (La solución buscada). Entonces, cualquier número real que esté a la izquierda de 2 (incluso este), satisface la desigualdad. En otras palabras, la solución es el intervalo infinito semicerrado (-∞, 2], o gráficamente: R. Ejemplo 5. Hallar los números x que satisfacen: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ 3 - x*5 +. Solución: En este caso debemos resolver simultáneamente dos desigualdades: 3 - x*4 + 4 - x*1 + ≤ y 3 - x*4 + 4 - x*1 + <. En la primera desigualdad sumamos el inverso aditivo de 3 - x*4 +: 3 - x*4 + 3 - x*4 + - 3 - x*1 + 3 - x*4 + <. 0/9 - 4x*3 - < (simplificando). 3/9 - 4x* < (sumado el inverso de 3 -). Multiplicando ahora ambos miembros por el inverso de 9/4, que es 4/9, una cantidad positiva, la desigualdad no se altera ni cambia de sentido. x^2 ≤ (simplificando). R la solución gráfica es el intervalo infinito abierto (-∞, 1). Substituyendo valores para la variable x que estén a la derecha del número 1 se puede comprobar que la desigualdad inicial no se cumple, mientras que para cualquier valor a la izquierda del 1, la desigualdad es verdadera. (¡hágalo!).