3.9 Las raices reales de un polinomio . Llamaremos a un número real : límite superior : si tal número es mayor o igual que la mayor de las raíces reales de un polinomio. límite inferior : si tal número es menor o igual que la menor de las raíces reales de un polinomio. TEOREMA 5 : TEOREMA SOBRE LOS LÍMITES DE LAS RAICES REALES Si en un polinomio P x( ) el coeficiente líder an es positivo y al hacer la división sintética de P x( ) x k-( ) , donde k 0> , . . . no hay términos negativos en la 3a línea, entonces , la constante k es un límite superior de las raíces reales de P x( ) ( es decir , el polinomio no tiene raíces mayores que k ) Si en un polinomio P x( ) el coeficiente líder an es positivo y al hacer la división sintética de P x( ) x k-( )-[ ] , donde k 0> , . . . los términos en la 3a línea son alternativamente positivos y negativos , entonces la constante k- es un límite inferior de las raíces reales de P x( ) ( es decir , el polinomio no tiene raíces menores que k- ) DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 5 : Por el algoritmo de la división de polinomios : P x( ) x k-( ) Q x( ) R x k-( ) += , se tiene que : P x( ) Q x( ) x k-( ) R+= (*) donde R es una constante que queda determinada por el último número de la 3a línea en la división sintética de P x( ) x k-( ) . Por otra parte, los demás números en esa 3a línea son los coeficientes ordenados del polinomio cociente Q x( ) . Si todos esos números son positivos entonces R 0> y por consiguiente también Q k( ) 0> , puesto que k 0> . Además paara un valor x tal que 0 k< x< , entonces x k-( ) 0> por lo cual P x( ) 0> de acuerdo con la ecuación (*) . En otras palabras el polinomio P x( ) jamás volverá a cruzar el eje X cuando x tome valores a la derecha del número k . En consecuencia x k= es un límite superior para las raíces reales de P x( ) . Ahora supongamos que al hacer la división sintética de P x( ) x k-( )- P x( ) x k+ = resulta que los números de la 3a línea son alternativamente positivos y negativos comenzando con el primero positivo, entonces por el algoritmo de la división: P x( ) Q x( ) x k+( ) R+= (**) y se sigue que : el coeficiente líder de Q x( ) es igual al de P x( ) y es positivo. el grado de Q x( ) es n 1- porque el grado de P x( ) es n . hay n 1+( ) números en la 3a línea de la división sintética . por lo tanto : el signo de R es negativo cuando n 1+( ) es par, es decir cuando n es impar el signo de R es positivo cuando n 1+( ) es impar, es decir cuando n es par. De ésta manera si x es un número negativo: x k-< 0< y . . . P x( ) es de grado impar entonces R 0> y Q x( ) es par con todos sus términos positivos ( puesto que sus coeficientes negativos quedan multiplicados por potencias impares de x , dando como producto un número positivo ) . Entonces, siendo Q x( ) 0> , x k+( ) 0< y R 0< se sigue de (**) que P x( ) 0< . P x( ) es par entonces R 0> y Q x( ) es impar y todos sus términos son negativos (puesto que sus coeficientes positivos quedan multiplicados por potencias impares de x , dando como resultado un número negativo ) . Entonces, siendo Q x( ) 0< , x k+( ) 0< y R 0> se sigue de (**) que P x( ) 0> . En cualqu