iv) Convirtiendo primero el número a la forma rectangular queda: 3( ) 1 2 3( ) 2       = 3( ) 1( )  1 2 3( ) 1( ) 2 ...

iv) Convirtiendo primero el número a la forma rectangular queda:
3( )
1

2

3( )
2






 = 3( ) 1( ) 
1

2

3( ) 1( )
2







= 3 1( )
1

2
3 1
2



= 0 3 j  1

2

3

2
j


= 0( )
1

2
 3
3
2








0
3

2

1

2
3( )


j
=
3

2





3

2
j
2.5 Forma trigonométrica o polar para un número complejo .

Las operaciones elementales definidas para los números complejos, hacen que éste conjunto de números
tenga una estructura matemática prácticamente igual que la de los vectores en un plano.
Por esta razón podemos representarlos gráficamente como puntos sobre un plano de coordenadas
rectangulares, donde el eje X representa el conjunto de los números reales y el eje Y representa el conjunto
de los números imaginarios .

X

Y

O



r

x

y

P(x , y)
En otras palabras, el eje X está formado por los números complejos
cuya parte imaginaria es cero y tienen la forma :

z x 0 j= ( números reales ) .

mientras que el eje Y se forma con los números complejos cuya
parte real es cero y que tienen la forma general:

z 0 y j= ( números imaginarios ).

De éste modo, cualquier número complejo z x y j= , queda

representado por un solo punto en el plano XY , y todo punto

x y( ) del plano representa un solo número complejo z .

Pedro Ferreira Herrejón 82


Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

Geométricamente, la distancia r medida desde el origen O hasta el punto P del plano que representa a un

número complejo dado z , es la magnitud, valor absoluto ó módulo de tal número, y se le denota por z

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo representado en la figura anterior se deduce que :

z x
2

y
2=

o dado que x e y son las partes real e imaginaria del número complejo z , en forma general se puede

escribir también que :

r z= Re z( )( )
2

Im z( )( )
2= ( 2.7 )

Por otra parte, de la trigonometría elemental aplicada al triángulo rectángulo de la figura anterior es obvio

que las coordenadas x y( ) del punto P se calculan como. . .

x r cos  = z cos  =

y r sen  = z sen  = ( 2.8 )

donde  es el ángulo que forma el segmento de recta r con el eje de los números reales X . Se llama

argumento o fase del número complejo y se denota por  arg z( )= .

Por lo tanto, dado un número complejo z cuya forma algebráica o rectangular sea z x j y= , es

también posible representarlo en la forma :

z x j y=

= z cos   j z sen   

= z cos   j sen    ( 2.9 )

Llamada forma polar o trigonométrica de un número complejo .

X

Y

O

|z|

Re(z)

Im(z)

P(x , y)



El argumento  o fase de un número complejo se puede
calcular fácilmente a partir de la definición de la función
tangente para un triángulo recto :

tan   y

x





=
Im z( )

Re z( )

=

y de su función inversa se obtiene . . .

 arc_tan
Im z( )

Re z( )






= ( 2.10 )

Las expresiones ( 2.7 ) y ( 2.10 ) nos permiten transformar un número complejo de la forma algebráica o

rectangular z x j y= a la forma polar o trigonométrica z z cos   j sen   =

Pedro Ferreira Herrejón 83


Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

y mediante las relaciones ( 2.8 ) es posible transformar un número complejo de forma polar a la forma

algebráica, puesto que se dan el módulo z y el argumento  para tal número.

OBSERVACIÓN 1
Notemos que el módulo de un número complejo siempre es positivo

z x
2

y
2  0=

y por lo tanto es único . En cambio su argumento  puede ser cualquiera de los números :

 ,  2  ,  4  ,  6  . . . etc

 2  ,  4  ,  6  . . . etc

debido a que una vuelta completa ( que equivalente a un ángulo de 2  radianes ó varias vueltas completas

alrededor del origen ( en sentido positivo o negativo), no cambian la localización del punto P x y( ) sobre el

plano complejo .
Por convención , se escoge siempre el menor valor del argumento, el cual se suele llamar valor principal del
argumento y siempre será un ángulo  comprendido entre 0º y 360º .

Valor Principal de arg(z) : 0  2  ( 2. 11 )

OBSERVACIÓN 2
A veces se utiliza la siguiente notación abreviada para escribir la forma polar o trigonométrica de un número
complejo :

z = | z |   ( 2.12 )

que por supuesto equivale a z z cos   j sen   =

Ejemplo 6. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos :

i) z 1 3 j= ii) z 1 j=


iii) z 3 j= iv) z 2 2 j=

v) z j= vi) z 3=


Solución : Antes que nada, se debe determinar el cuadrante del plano en el cual se localiza
un número complejo. Ésto facilitará el cálculo de su argumento  .

i) z 1 3 j=

La parte real