( ) 1( ) = 1 ( puesto que j( ) 2 1= ) j( ) 5 j( ) 4= = j 1( ) = j ( puesto que j( ) 4 1= ) j( ) 6 j( ) 5= = j j( ) 4 = j2 = 1 ( puesto que j( ) 5 j= y además j( ) 2 1= ) Pedro Ferreira Herrejón 77 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH etc. etc. De ésta manera, todas las potencias enteras positivas de j generan sólamente 4 cantidades distintas : j , 1 , j y 1 las cuales se obtenen además en orden cíclico de acuerdo al orden creciente de la potencia entera respectiva . Sucede algo parecido para las potencias negativas enteras de j , como podemos ver en la sucesión. . . j( ) 1 1 j = = 1 j j j      ( multiplicando la fracción por la unidad j j ) = j j( ) 2 = j 1 j( ) 2 j( ) 1 j( ) 1= = j( ) j( ) = j( ) 2 = 1 ( ya que j( ) 1 j= y j2 1= ) j( ) 3 j( ) 2 j( ) 1= = 1( ) j( ) = j ( ya que j( ) 2 1= y j 1 j= ) j( ) 4 j( ) 2 j( ) 2= = 1( ) 1( ) = 1 ( puesto que j( ) 2 1= ) j( ) 5 j( ) 4 j( ) 1= = 1( ) j( ) = j ( puesto que j( ) 4 1= y j 1 j= ) etc. etc. Una forma sencilla para reconocer a cual de las cuatro cantidades básicas : j , 1 , j o 1 corresponde cualquier potencia entera de j , es imaginar que éstos cuatro números se colocan equidistantes sobre una circunferencia de radio unitario. Partiendo entonces del punto 1 , si se recorre la circunferencia en sentido positivo ( el contrario al giro de las manecillas de un reloj ) se obtendrán sucesivamente en orden cíclico los resultados de las potencias enteras positivas de j : j( ) 0 , j( ) 1 , j( ) 2, j( ) 3 , j( ) 4. . . Mientras que , cuando se recorra en sentido negativo ( el giro de las manecillas del reloj ) , se obtendrán en forma cíclica y sucesiva los resultados de las correspondientes potencias negativas de j : j( ) 1 , j( ) 2, j( ) 3 , j( ) 4. . . Pedro Ferreira Herrejón 78 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH etc. etc. Asi que: j( ) 0 , j( ) 4 , j( ) 8, j( ) 12, etc. valen 1 ; j( ) 0 , j( ) 4 , j( ) 8, j( ) 12, etc. valen 1 j( ) 1 , j( ) 5 , j( ) 9, j( ) 13, etc. valen j ; j( ) 1 , j( ) 5 , j( ) 9, j( ) 13, etc. valen j j( ) 2 , j( ) 6 , j( ) 10, j( ) 14, etc. valen 1 ; j( ) 2 , j( ) 6 , j( ) 10, , etc. valen 1 j( ) 3 , j( ) 7 , j( ) 11, j( ) 15, etc. valen j ; j( ) 3 , j( ) 7 , j( ) 11, , etc. valen j Ejemplo 3. Evaluación de algunas potencias de números imaginarios : i) 4( ) 3 = 1( ) 22   3 = 1( ) 3 22 3  = j( ) 3 23 = j( ) 8( ) = 8 j ii) 1 3   5 = 1 1( ) 3( )     3 = 1 1 3( ) 5 = 1 j( )5 35  = j( ) 5 34  3( ) = j 32  3 = 1 9 3    j iii) 1 1   11 = 1 j( )11 = 1 j = 1 j      = j( ) = j 2.4 Operaciones elementales . Dados los números complejos : z1 x1 j y1= z2 x2 j y2= se definen las siguientes operaciones : I. Igualdad Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales . z1 z2= si y sólo si x1 x2= ; y1 y2= ( 2.3 ) II. Suma Para sumar números complejos se suman sus partes reales y sus partes imaginarias respectivas separadamente . z1 z2 x1 j y1  x2 j y2 = = x1 x2  j y1 y2  ( 2.4 ) Pedro Ferreira Herrejón 79 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH III. Multiplicación por un número real Cuando un número complejo se multiplica por un número real k , sus partes real e imaginaria quedan multiplicadas por el número k . k z k x j y( )= = k x j y ( 2.5 ) IV. Producto La parte real del producto de dos números complejos es el producto de sus partes reales menos el producto de sus partes imaginarias . La parte imaginaria del producto de dos números complejos es la suma de los productos cruzados entre sus partes reales e imaginarias respectivas . z1 z2 x1 x2 y1 y2  j x1 y2 x2 y1 = ( 2.6 ) Este último resultado se obtiene también multiplicando directamente z1 por z2 término por término igual que en el producto típico de dos binomios : x1 j y1 x2 j y2 ________________________ x1 x2 j x2 y1 j x1 y2 j2  y1 y2 ___________________________________________ x1 x2 j x1 y2 x2 y1  y1 y2 ( Puesto que j2 = 1 ) Ejemplo 4.