3.8 Las raices de un polinomio. El teorema fundamental del Álgebra (cuya demostración está fuera del alcance de éste curso), establece que: TEOREMA 3: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Todo polinomio tiene por lo menos una raiz Asumiendo que éste teorema es verdadero, es posible demostrar el siguiente. . . TEOREMA 4: TEOREMA DE LAS n RAICES Todo polinomio de grado n tiene exactamente n raices Esto significa por ejemplo que un polinomio de grado 4 tendrá 4 raíces (reales y/o complejas), que un polinomio de grado 7 tendrá exactamente 7 raíces etc. Además, las raíces pueden repetirse o no, debido a que es posible que un polinomio tenga uno ó varios factores múltiples de la forma x a( ) m donde m es un entero positivo (el grado de repetición de ese factor). Por ejemplo, el polinomio: P x( ) x 3( ) 3 x 2( ) 4 2 x 1( ) 2= tiene tres raices repetidas en : x 3= (repetida dos veces), x 2 3 = (repetida tres veces), x 1 2 = (repetida una vez). DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 4: Consideremos el polinomio de grado n : P x( ) a0 a1 x a2 x 2 ..... an 1 x n 1 an x n= Por el teorema fundamental del Álgebra, el polinomio P x( ) tiene por lo menos una raiz, digamos x r1= . Entonces del teorema del factor se deduce que x r1( ) es un factor de P x( ) porque P r1( ) 0= por ser r1 una raiz de P x( ) . Asi que es posible escribir: P x( ) Q1 x( ) x r1( )= donde Q1 x( ) es un polinomio de grado n 1( ) , puesto que x r1( ) es de grado 1. Al polinomio Q1 x( ) también se le puede aplicar el teorema fundamental del Álgebra, es decir, Q1 x( ) tiene al menos una raíz, digamos x r2= y por lo tanto Q1 r2( ) 0= Entonces, por el teorema del factor x r2

Pedro Ferreira Herrejón 154
Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH