5.5 Sistemas lineales homogéneos. Cuando en un sistema de ecuaciones lineales todos los términos constantes son nulos, el sistema se denomina homog...

5.5 Sistemas lineales homogéneos. Cuando en un sistema de ecuaciones lineales todos los términos constantes son nulos, el sistema se denomina homogéneo y tiene la forma general: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm = 0, a21 x1 + a22 x2 + ... + a2m xm = 0, a31 x1 + a32 x2 + ... + a3m xm = 0, ... an1 x1 + an2 x2 + ... + anm xm = 0. Cualquier sistema como éste jamás será inconsistente, puesto que al menos tiene la solución trivial: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, ... xm = 0. Así que cuando el sistema es homogéneo, de las tres posibilidades de solución para un sistema de ecuaciones lineales, sólo quedan dos: i) Existe una solución única (la trivial) ii) Existe una infinidad de soluciones. Para un sistema homogéneo se cumple por lo general la siguiente regla: Si el número de variables principales es igual al número de incógnitas, la solución será única. Si existen menos variables principales que incógnitas (es decir si hay variables libres), el sistema tendrá una infinidad de soluciones (la solución será paramétrica). Por lo tanto, para saber cuál de las dos posibilidades de solución anteriores vale para un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, sólo tenemos que transformar la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada reducida y contar los 1's principales (asociados a las variables principales). Ejemplo 10. Resolver el sistema de ecuaciones 2x1 + x2 - x3 + x5 = 0, x1 - x2 - 2x3 + 3x4 - x5 = 0, x1 + x2 + 2x3 - x5 = 0, x3 + x4 + x5 = 0. Solución: Transformemos la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada reducida, mediante las operaciones elementales entre filas.