Ejemplo 23. Consideremos los sistemas lineales de ecuaciones lineales representados en forma matricial. I) A X 0= (homogéneo) II) A X B= (no homogéneo) Demostrar que: a) Si el sistema II) tiene dos soluciones diferentes X1, X2 entonces X1 X2  es otra solución del sistema homogéneo. b) Si X2 es una solución del sistema II) y X1 es una solución del sistema I) entonces X1 X2  es también una solución del sistema no homogéneo. DEMOSTRACIÓN: a) Si X1 y X2 son soluciones del sistema no homogéneo entonces se cumplen las siguientes igualdades matriciales... A X1 B= y A X2 B= Restando miembro a miembro estas igualdades y usando la propiedad distributiva de las matrices se obtiene... A X1 A X2 B B= A X1 X2  0= Es decir se satisface el sistema homogéneo y X1 X2  es en efecto una de sus soluciones. b) Si X2 es una solución del sistema no homogéneo entonces se cumple la igualdad matricial: A X2 B= Si X1 es una solución del sistema homogéneo entonces se cumple la igualdad matricial: A X1 0= Sumando miembro a miembro estas igualdades, usando la propiedad distributiva de las matrices y una de las propiedades de la matriz cero resulta... A X2 A X1 B 0= A X2 X1  B= en efecto X2 X1  es una solución del sistema II).