Problemas de calculo vectorial-37

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4.1 Integrales dobles 109
549 La región de integración viene descrita por
0 ≤ y ≤ π
2
, 0 ≤ x ≤ sen y,
y está representada en la Figura 20.
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
Figura 20: Gráfica del Ejercicio 549
El cambio de integración nos lleva a
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ arc senx ≤ y ≤ π
2
.
No obstante, la integración resulta más sencilla si la evaluamos sin
realizar el cambio de integración, es decir,∫ π
2
0
∫ sen y
0
dx dy =
∫ π
2
0
sen y dy = 1.
550 La región se describe por
−1 ≤ y ≤ 0, y + 2 ≤ x ≤ 1 +
√
1− y2.
La ecuación x = y + 2 es una recta mientras que x = 1 +
√
1− y2
es una parte de la circunferencia (x − 1)2 + y2 = 1. De este modo
resulta sencillo esbozar la región de integración (véase la Figura 21).
El cambio de orden de integración nos lleva a
1 ≤ x ≤ 2, −
√
2x− x2 ≤ y ≤ x− 2.
Aśı la integral será ∫ 2
1
∫ x−2
−
√
2x−x2
2y dy dx,
y su cálculo se realiza sin mayores dificultades∫ 2
1
[
(x− 2)2 − (2x− x2)
]
dx = ( 23x
3 − 3x2 + 4x)
∣∣2
1
= − 13 .
110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple110 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
1 1.5 2
−1
−0.5
0
Figura 21: Región de integración en el Ejercicio 550
552 La región que se describe por
0 ≤ y ≤ 1, 3√y ≤ x ≤ 1,
(ver Figura 22) también se puede determinar, cambiando el orden
de las variables, por
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x3,
y la integral será∫ 1
0
∫ x3
0
√
1 + x4 dx =
∫ 1
0
x3
√
1 + x4 dx
=
1
6
(1 + x4)
3
2
∣∣∣∣1
0
=
1
6
(
2
√
2− 1
)
.
0 0.5 1
0
0.5
1
Figura 22: Ejercicio 552: región dada por 0 ≤ y ≤ 1, y1/3 ≤ x ≤ 1
4.2 Integrales triples 111
553 Calcular la integral doble ∫ 1
0
∫ 1
√
x
ey
3
dy dx.
554 Calcular la integral doble
I =
∫ 1
1
2
∫ 1
x
1
y3xex
2y2 dy dx.
Solución 554:
Observamos que resulta más sencillo integrar respecto a x que respecto
a y, lo cual aconseja cambiar el orden de integración. De este modo
tendremos que la región
1
2
≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 1
x
,
se describe también como
1 ≤ y ≤ 2, 1
2
≤ x ≤ 1
y
,
y la integral resulta
I =
∫ 2
1
∫ 1
y
1
2
y3xex
2y2 dx dy =
∫ 2
1
y
2
ex
2y2
∣∣∣ 1y
1
2
dy
=
∫ 2
1
y
2
(
e− e y
2
4
)
dy =
(
e
4
y2 − e y
2
4
)∣∣∣∣2
1
= e
1
4 − e
4
.
4 2
INTEGRALES TRIPLES
� Calcular las siguientes integrales triples:
555
∫
W
x2 dV , W = [0, 1]3.
556
∫
W
xyz dV , W = [0, 1]× [1, 2]× [2, 3].
557
∫
W
(x+ y + z) dV , W = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1].
	Funciones de varias variables: Integración Múltiple
	Integrales triples