EjE 1. Tecnología En Educación
GeoGebra y aula invertida: una propuesta para la significación del área bajo la curva
Introducción
El cálculo del área bajo la curva de una función es una de las principales aplicaciones de la integral definida. En un escenario escolar, el profesor parte de un problema guiado, mediante el límite al infinito de una suma de Riemann, con la intención de hallar el área de una función continua y positiva, así como llegar a la idea de integral definida. Como consecuencia, según Giordano et al. (2014), se espera que los estudiantes sean capaces de utilizar el teorema fundamental del cálculo como herramienta para resolver problemas geométricos u otros. No obstante, esta forma de presentar las actividades de enseñanza (centradas en el profesor), pueden representar una dificultad para el aprendizaje de los educandos. Por una parte, se espera que lleguen a un nivel de aplicación del conocimiento luego de deducir la relación que hay entre los conceptos involucrados; sin embargo, la falta de autonomía de sus procesos de aprendizaje y el cambio de significado de la integral definida respecto del área, cuando la función no es completamente positiva, refleja dos obstáculos para el desarrollo de estas competencias. En ese sentido, la propuesta que aquí se presenta busca que los alumnos identifiquen la relación que tienen la integral definida y el área bajo la curva; expresada mediante ∫????(????)???????? = ????(????) − ????(????) y dotada de significado en un contexto geométrico; al mismo tiempo que le reconocen un papel protagónico en el proceso de construcción y uso del conocimiento. De acuerdo con Del Río (2020) el cálculo se caracteriza por el estudio del cambio, la dependencia y la variación. Desde esta perspectiva, la autora considera que las representaciones que el profesor puede construir con la herramienta de autor GeoGebra tienen un gran potencial, pues en lugar de ser estáticas (como se presentan en libros de texto o en una pizarra) se vuelven completamente dinámicas. Ésta es la razón por lo que consideramos importante construir un applet con GeoGebra para que los alumnos exploraran la relación que tiene el área bajo la curva de una función y la integral definida, mediante este dinamismo e interacción con la representación gráfica y numérica.
Dadas las condiciones actuales de educación a distancia, fue necesario construir un entorno virtual de aprendizaje (EVA) para que los estudiantes pudieran interactuar con el applet y construir sus propios significados de forma independiente; pero siempre basándose en el principio de aprendizaje colaborativo. Los EVA, aplicados en esas condiciones, permiten que los alumnos desarrollen sus propios aportes y expresen sus inquietudes de forma síncrona y asíncrona; de tal manera que, con el apoyo de herramientas multimedia, el aprendizaje es más agradable y se convierte en un entorno interactivo para construir conocimiento (Hiraldo, 2013). No olvidemos que este entorno se construyó con las herramientas que ofrece GeoGebra en la Web; específicamente las de actividades y grupos, ya que son interactivas, gratuitas y abiertas, lo que permite que los educandos puedan acceder a ellas desde cualquier plataforma mediante una conexión a internet. En tanto, para la implementación de la actividad en el EVA construido, se eligió la metodología del aula invertida en virtud de que se trata de un modelo pedagógico que potencia el trabajo, la práctica y la autonomía en el aula, para que el alumno tome protagonismo en su proceso de aprendizaje, siempre bajo la tutela del profesor (Mestre-Mestre et al., 2015: 329). De esta forma, se esperaba que los estudiantes trabajaran de forma independiente e interactuaran con el applet, mientras el profesor –de forma asíncrona primero y luego, ya en la sesión, de forma síncrona– profundizara en los significados construidos interactuando con todos los alumnos.
Desarrollo
La propuesta didáctica presentada en este documento se llevó a cabo durante un curso de cálculo integral con 12 alumnos de diferentes carreras de ingeniería, por tratarse de una asignatura común. En un primer momento se construyó un applet con GeoGebra para que los alumnos pudieran manipular algunos elementos gráficos y analíticos; como los límites del área bajo la curva (azul) y la expresión algebraica de la función que se desea analizar: la idea era que pudieran observar los cambios numéricos de las manipulaciones en relación con su antiderivada (rojo), como se aprecia en la figura 1. Basándonos en el applet se diseñó una actividad GeoGebra en la Web a la que se añadió un video de introducción para los estudiantes, presentándoles los conocimientos que deberían tener y explicándoles cuál era la intención; además de una serie de preguntas guía (con respuesta abierta) que motivara su análisis acerca de ciertas funciones como polinomios, exponenciales y trigonométricas. Todas estas actividades se encuentran disponibles de forma gratuita en https://www.geogebra.org/m/ug4fqdek. A continuación se generó un EVA con ayuda de los grupos GeoGebra y se les asignó la actividad para que respondieran individualmente e interactuaran con el profesor de forma asíncrona, lo que permitió evidenciar su razonamiento y al mismo tiempo el funcionamiento de la actividad. En la primera parte se les sugiere a los alumnos introducir una función polinomial y para ello se fija el límite inferior en ; el paso siguiente fue analizar el valor del área bajo la curva: algunos de los participantes asociaron esta área únicamente con el valor de : tal como se esperaba que ocurriera (figura 2). Aunque en la primera parte era necesario que los alumnos ampliaran la relación del área bajo la curva, con los valores de y , en la segunda se les pidió que analizaran una función cuya antiderivada, evaluada en el punto , no fuera cero; como las funciones exponenciales. En la figura 3, como podemos observar, algunos de los participantes pudieron ampliar la relación y al mismo tiempo diferenciar lo que ocurre con las funciones exponenciales y polinomiales. Con el fin de que los alumnos pudieran generalizar la relación del área bajo la curva y los valores de y , se les sugirió que analizaran una función trigonométrica como f(x)= sen x, con la condición de que a ≥ 0 y b > a. Aunque no todos los estudiantes pudieron expresar algebraicamente esta relación, sí pudimos identificar en sus respuestas que al menos pudieron desarrollar la noción (figura 4). Apoyados en estos razonamientos, durante la sesión síncrona se generó una discusión con los estudiantes para profundizar y afianzar los significados construidos; además de orientar a quienes no habían alcanzado los objetivos esperados. En este sentido se identificó que poco más del 80% lograra contestar con éxito las preguntas planteadas en la actividad, y expresara verbalmente las diferencias significativas que ocurrían al calcular en los diferentes tipos de funciones analizadas. Adicionalmente también fue posible identificar la relación que existe entre el área total bajo la curva de una función que toma valores positivos y negativos en un intervalo cerrado, con la integral definida. Quienes no pudieron identificar la relación, tuvieron dificultad para comprenderla.
Reflexiones
Las condiciones actuales del sistema educativo imponen el gran reto de favorecer la construcción de conocimiento de los alumnos a distancia. En ese sentido, el docente debe poner en juego una combinación de recursos tecnológicos y estrategias que les permitan construir entornos virtuales de aprendizaje a fin de lograr, con interacción y autonomía, un proceso de razonamiento y análisis que los conduzca a conjeturar sus propios significados. Partiendo de esta experiencia, en un curso de cálculo se consideró que el diseño del applet era fundamental para favorecer la interacción con los conocimientos, ya que permite que los estudiantes desarrollen su pensamiento variacional en diferentes registros de representación. Asimismo, el uso de las herramientas Web de GeoGebra para la construcción del EVA, mediante la metodología