4 1 Teoría preliminar- Ecuaciones lineales

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SECCIÓN 4.1 
Teoría Preliminar: Ecuaciones Lineales 
 
 
Problemas con valores iniciales (PVI): 
 
 
Existencia y unicidad 
 
 
* En los problemas con valores iniciales, todas las condiciones están en xo. 
 
Problemas con valores en la frontera (PVF) : 
 
 
 
 
* Las condiciones no están en el mismo valor. 
 
I. Ecuaciones homogéneas. 
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma 
 
se dice que es homogénea, mientras que una ecuación 
 
Con 𝑔(𝑥) ≠ 0, se dice que no es homogénea. 
 
OPERADORES DIFERENCIALES 
El símbolo D se llama operador diferencial y significa: !"
!#
= 𝐷𝑦, su simbología (𝐷𝑒# =
!
!#
𝑒#) 
 𝐿(𝑦)𝑒𝑠	𝑢𝑛	𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜	𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙	𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. 
Este operador es lineal: 
 
 
 
 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
Cualquier ecuación diferencial lineal puede expresarse en términos de la notación D. 
 
Ejemplo: 
La ecuación diferencial: !
!"
!#!
+ 5 !"
!#
+ 6𝑦 = 5𝑥 − 3 se puede escribir como: 
 
 
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL 
 
* Si un conjunto de funciones es linealmente dependientes entonces una función es un 
múltiplo constante de la otra. 
 
WRONSKIANO 
 
 
Las soluciones son linealmente independientes en I si y solo si el Wronskiano ≠ 𝟎 
 
 
 
 
EJERCICOS: 
 
2.- 𝑦 = 𝑐$𝑒%# + 𝑐&𝑒'#		(∗)				,	 𝑦(( − 3𝑦( − 4𝑦 = 0, 
 
𝑦(0) = 1	, 𝑦′(0) = 2 
 
Sustituimos la condición inicial 𝑦(0) = 1	en (*). 
 
1 = 𝑐$𝑒) + 𝑐&𝑒) 
1 = 𝑐$ + 𝑐& 
 
Sustituimos la condición inicial 𝑦′(0) = 2	en la derivada: y’ = 4c1e4x - c2e-x 
 
2 = 4𝑐$𝑒) − 𝑐&𝑒) 
2 = 4𝑐$ − 𝑐& 
 
Resolviendo simultáneamente la ecuación 1 y 2, se encuentran los valores de c1 y c2. 
𝑐$ =
3
5 												𝑐& =
2
5 
Solución: 
𝒚 =
𝟑
𝟓𝒆
𝟒𝒙 +
𝟐
𝟓𝒆
'𝒙 
 
 
6.- Encuentre dos miembros de la solución que satisfaga: 
𝑦(0) = 0	, 𝑦((0) = 0 
 
𝑦 = 𝑐$ + 𝑐&𝑥&			(∗)			, 𝑥𝑦(( − 𝑦( = 0				 
 
Sustituimos la condición inicial 𝑦(0) = 1		en (*) 
 
0 = 𝑐$ + 𝑐&(0)& 
𝑐$ = 0 
 
Sustituimos la condición inicial 𝑦′(0) = 0	en la derivada 
𝑦( = 2𝑐&𝑥 
 
0 = 2𝑐&(0) 
0 = 0 
𝑐&𝜖	ℝ 
(1) 
(2) 
Solución: 
𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 
𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 
 
Ejercicios de independencia y dependencia lineal 
 
15.- 𝑓$(𝑥) = 𝑥, 𝑓&(𝑥) = 𝑥&, 𝑓-(𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥&,		 
 
i) Se observa que : 
𝑓-(𝑥) = 4𝑓$(𝑥) − 3𝑓&(𝑥) 
Como es un múltiplo constante f3 respecto de f1 y f2, es linealmente 
dependiete. 
ii) Otra forma de resolver: 
𝑐$𝑓$ + 𝑐&𝑓& + 𝑐-𝑓- = 0 
𝑐$𝑥 + 𝑐&𝑥& + 𝑐-(4𝑥 − 3𝑥&) = 0 
𝑐$𝑥 + 𝑐&𝑥& + 4𝑥𝑐- − 3𝑥&𝑐- = 0 
𝑥(𝑐$ + 4𝑐-) + 𝑥&(𝑐& − 3𝑐-) = 0 
Se puede decir que: 
𝒄𝟏 + 𝟒𝒄𝟑 = 𝟎 
𝒄𝟏 = −𝟒𝒄𝟑 
 
𝒄𝟐 − 𝟑𝒄𝟑 = 𝟎 
 
𝒄𝟐 = 𝟑𝒄𝟑 
𝒄𝟑	𝒕𝒐𝒎𝒂	𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓	𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 
 
		𝒄𝟑𝝐	ℝ\{𝟎} 
 
17.- f1(x) = 5 ; f2(x) = cos2x ; f3(x) = sen2x 
f1(x), se puede expresar en función de f2(x) y f3(x): 
f1(x) = 5f2(x) + 5f3(x) 
porque: 
5 = 5 cos2x + 5 sen2x = 5( cos2x + sen2x) = 5 
Entonces linealmente dependiente. 
23.- Wronskiano 
			𝑦(( − 𝑦( − 12𝑦 = 0, 𝑦$ = 𝑒'-# , 		𝑦& = 𝑒%# 
 
𝑦$( = −3𝑒'-# , 					𝑦&′ = 4𝑒%# 
𝑊 = R 𝑒
'-# 𝑒%#
−3𝑒'-# 4𝑒%#
S = 4𝑒%#𝑒'-# + 3𝑒'-#𝑒%# = 4𝑒# + 3𝑒# = 7𝑒# ≠ 0 
 
Entonces es liealmente independiente.