Ejercicios Calculo

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Fundamentos de Cálculo
Semestre académico 2021-1
Lista de Ejercicios 5
Funciones
• Composición de funciones.
• Transformaciones de gráficas de funciones.
• Función par e impar.
• Funciones con gráficas contenidas en cónicas.
• Representaciones gráficas de inecuaciones en dos variables.
1. Considere las funciones
f(x) = x4 + 3x2 − 4, x < 2, y g(x) =
√
x .
a) Halle la función f ◦ g y encuentre su rango.
b) Halle la función g ◦ f .
2. Considere las funciones
f(x) = 3− (x− 2)2 y g(x) =
{
2− x, si − 1 < x < 3 ;
|x− 4|+ 1, si x ≥ 3 . .
Determine el dominio, la regla de correspondencia y realice un esbozo de la gráfica de la
función g ◦ f .
3. Sean f y g las funciones definidas por
f(x) =
{
x2 + 2x− 3, si − 1 ≤ x < 0 ;√
x+ 2, si x ≥ 0 . y g(x) = x− 2 + |x|, −4 < x < 3 .
a) Esboce la gráfica de f e indique su rango.
b) Halle el dominio y la regla de correspondencia de la función g ◦ f .
c) Esboce la gráfica de g ◦ f , indicando sus intersecciones con los ejes coordenados.
d) Encuentre el conjunto solución de la ecuación g(f(x)) = −2.
4. Considere las funciones f y g definidas por
f(x) = x− x|x− 5|, x ≥ 1, y g(x) =
{ √
9− x2 + 2, si − 3 ≤ x < −2 ,
1
x2
, si − 2 ≤ x ≤ −1 .
a) Esboce la gráfica y encuentre el rango de f .
b) Halle el dominio y la regla de correspondencia de la función f ◦ g.
c) Encuentre el rango de f ◦ g.
5. Sea f(x) = x2, −1 < x ≤ 2. Considere la función compuesta g = f ◦ f . Encuentre el dominio
y el rango de g.
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6. Sean f y g las funciones dadas por
f(x) = x2 − 3x+ 3, x ∈ R y g(x) = x2 − 4x+ 2, x ∈ [1, 4] .
Determine el rango de la función f ◦ g.
7. La potencia P de un circuito eléctrico, medida en watts, se puede calcular como P =
V 2
R
donde V es el voltaje, medido en voltios, y R la resistencia, medida en ohms. Se sabe que R
es constante y el voltaje varía en el intervalo [0, 10]. La gráfica de P en función de V es la
siguiente:
En una hora de uso, el precio por cada watt es de 0.10 soles si el consumo es menor o igual a
10 watts y, si supera los 10 watts, se cobra lo correspondiente a los 10 watts más 0.05 soles
por cada watt adicional.
a) Halle el costo de una hora de uso en función de la potencia P (watts).
b) Halle el costo de una hora de uso en función del voltaje V (voltios).
c) Halle los valores de V para los cuales el costo de una hora sería mayor que S/.0.80 y no
mayor que S/.1.10 .
8. Sea f la función definida por
f(x) =
{
4− (x+ 3)2, si − 5 ≤ x ≤ −1 ;
|x− 2| − 3, si − 1 < x ≤ 4 .
a) Bosqueje la gráfica de la función g definida por g(x) = −2f(x+ 1) + 1.
b) Halle el dominio y el rango de g.
9. En la figura siguiente se muestra la gráfica de la función f .
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a) Haga un esbozo de función g definida por g(x) = 3− f(2− x).
b) Encuentre el dominio y el rango de g.
c) Encuentre el dominio y el rango de la función h(x) = (f(x))2 − 4f(x).
10. A continuación se muestra la gráfica de la función f .
Esboce la gráfica de la función g definida por
g(x) =

−2x− 6, −7 < x < −3 ,
2− 2f(−x), −3 ≤ x ≤ 1 ,
−8, x > 1 .
11. Sea f una función real. Se muestra la gráfica de la función g definida por g(x) = 1− f(x).
a) Esboce la gráfica de f e indique su dominio y su rango.
b) Esboce la gráfica de la función h definida por h(x) = f(2 − x), indique su dominio y
rango.
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12. Justifique la veracidad de las siguientes proposiciones.
a) Si la función f es par entonces las funciones f(−x), −f(x) y |f(x)| son pares.
b) Si g es una función par y f : R→ R entonces la función f ◦ g es par.
c) Si f : R→ R y g son funciones impares entonces la función f ◦ g es impar.
d) Si f : R→ R y g son funciones impares entonces la función f + g es impar y la función
f.g es par.
13. Considere la función f(x) = 2−
√
4x− x2.
a) Encuentre el dominio de la función f .
b) Halle el rango de la función f .
14. En cada caso, haga un esbozo de la gráfica de f y halle el rango de f .
a) f(x) = 1−
√
1− x, −8 ≤ x < 0.
b) f(x) =
√
−4x2 − 8x, −2 < x ≤ −1.
c) f(x) = 1−
√
x2 − 1, x < −2.
d) f(x) =
{
2−
√
3 + 2x− x2, si − 1 ≤ x < 1 ;
2 +
√
−3 + 2x+ x2, si x > 1 .
15. Dé la regla de correspondencia de una función impar f que cumpla las siguientes condiciones:
• El dominio de f es ]−∞,−2] ∪ {0} ∪ [2,+∞[ y el rango de f es [−7,−2]∪ {0} ∪ [2, 7].
• Para x ∈ ]4, 7[ , la gráfica de f es parte de una parábola.
• Para x ∈ [7,+∞[ , la gráfica de f es parte de una recta.
• Parte de la gráfica de f está compuesta por un arco de circunferencia de centro (2, 2)
como se muestra en la figura.
16. Dé la regla de correspondencia y haga un esbozo de la gráfica de una función f : R→ R que
cumpla las siguientes condiciones:
• La función f es impar ;
• f(x) = −
√
9− (x+ 3)2 + 3, cuando −3 < x < 0 ;
• La gráfica de f en ] −∞,−3] es una porción de parábola, cuyo vértice coincide con el
vértice de la gráfica de g(x) = 5x2 + 30x+ 44, x ∈ R ;
• La gráfica de f pasa por el punto (−4,−3).
17. La función f : [−7, 7] → R es impar. Una parte de la gráfica de f (un segmento y parte de
una parábola) se muestra en la figura siguiente.
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Halle:
a) La regla de correspondencia de f .
b) El rango de f .
18. La función f es definida por
f(x) =

ax2 + 4ax+ 1, −3 ≤ x < 0 ,
2a−
√
2ax− x2, 0 ≤ x < a .
Donde a es una constante positiva.
a) Esboce la gráfica de f cuando a = 2.
b) Encuentre el conjunto de valores de a para los cuales el rango de f es un intervalo.
19. Justifique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
a) Si f : R → R es una función par y también es una función impar entonces f es una
función constante.
b) Si f es una función impar con dominio R entonces f ◦ f es una función impar.
c) Si f es una función real con dominio R, entonces la función h(x) =
f(x)− f(−x)
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es
impar.
d) Si f : R→ R es una función impar y g : R→ R es una función par, entonces las funciones
f ◦ g y f.g son impares.
e) Si f es la función definida por f(x) = x2, x ≥ 2, y g es la función definida por g(x) =
√
x,
0 ≤ x ≤ 4, entonces la función f ◦ g es definida por (f ◦ g)(x) = x, 2 ≤ x ≤ 4.
f) Sean f, g : R → R. Si la función g ◦ f es constante entonces la función g es constante o
la función f es constante.
g) Sea f : [0, 1] → R una función. Las funciones f y g(x) = f(x2), 0 ≤ x ≤ 1, tienen el
mismo rango.
h) Sea f : R → R una función tal que (f ◦ f)(x) = x para todo x ∈ R. Entonces f es una
función lineal.
i) Si h : R → R es una función impar, entonces la función f(x) = h(x2 + x) + h(x − x2)
también es una función impar.
j) Sean f y g funciones reales de variable real, ambas con dominio R. Si f ◦ g(x) = x2 para
todo x ∈ R y g(−1) = −1 entonces el rango de f es [0,+∞[ .
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20. Sean las funciones f y g definidas por
f(x) = 3−
√
1− (x− 2)2 y g(x) = x+ 2, −1 < x < 2
a) Halle el dominio y la regla de correspondencia de f ◦ g y haga un esbozo de su gráfica.
b) Haga un esbozo de la gráfica de la función h que cumple:
• El dominio de h es [−3, 3].
• h es una función impar.
• h(x) = f(x) cuando 1 ≤ x ≤ 3.
• Para −1 < x < 1, la gráfica de h es un segmento horizontal.
21. Esboce la gráfica de los subconjuntos del plano determinados por las siguientes inecuaciones.
a) x2 − 4x+ y2 + 2y < 3.
b) |x− 2y| ≥ 4.
c)
{
x2 − 2y2 ≥ 4 ;
x2 − 2x+ 2y2 ≤ 8 .
d)
{
y < |x2 − 4x| ;
2y > x+ 5 .
e)

x2 ≤ y + 4 ;
x+ y < 2 ;
y + 2 ≥ x .
f)
{
x2 + 4y2 < 9 ;
y ≤ |x+ 2| .
g)
{
x2 + y ≤ 2x+ 3 ;
|x− 1|+ y > 3 .
22. Escriba un sistema de inecuaciones que represente la región sombreada, limitada por la porción
de parábola y los dos segmentos que se muestran en la siguiente figura.
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