ALGEBRA SEM 14 - 2022 II

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1 
S-14 Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
Semana N° 14 
 
 
Docente: Equipo Docente 
FUNCIONES 
 
I) DEFINICIÓN: 
Sean A y B dos subconjuntos de R 
=<-, +> y “F una relación binaria 
de A en B”, es decir F  A x B 
 
Notación 
F es una función  para cada x 
 A existe un único y  B, tal que 
y = f(x) 
Donde las siguientes notaciones son 
equivalentes: 
y = f(x)  (x, y)  f 
 
 
 
 
 
 
 
03. 
P 
 
 
 
 
 
 
P 
 
No es función 
 
P 
 
 
 
 
 
 
o 
 
 
Si es función 
Se lee: “y es función de x” o “y 
es la imagen de x por f” 
F(-2) = 3  (-2, 3)  F. 
II) Definición Simbólica: 
“f” es una función de A en B 
si [(x1, y)  f  (x1, z)  f]  y = z 
 
III) Definición Geométrica: 
“f” es una función  cualquier recta 
vertical perpendicular al eje “x” corta 
al gráfico de “f” en un solo punto. 
Es decir: graf (f)  L = {1 punto} 
Ejemplos: 
01. 
 
 
 
 
 
 
Es función 
02. 
Propiedad Importante: 
 
Toda función es una relación, pero toda 
relación no necesariamente es una 
función. 
 
IV. REGLA DE 
CORRESPONDENCIA: 
Es la relación que existe entre las 
primeras y segundas componentes de 
una función. 
Donde: 
x : variable independiente 
y: variable dependiente 
Ejemplo: 
Sea la función: f = 
{(1;1);(2;4);(3;9);(4;16); ...} 
 
Luego: f(1) = 12 = 1 
f(2) = 22 = 4 
f(3) = 32 = 9 
: 
f(x) = x2 ; x  Z+ 
 
REGLA DE 
CORRESPONDENCIA 
P 
ALGEBRA 
Ciclo 2022 – II 
“FUNCIONES” 
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Por lo tanto, una función queda definida 
o determinada si se conoce su y una 
regla de correspondencia que permite 
asignar a cualquier elemento x  Df, su 
imagen f(x). 
 
V. DOMINIO Y RANGO DE UNA 
FUNCIÓN 
Sea la función f: A  B 
 
Conjunto Conjunto 
de Partida de llegada 
Dominio de F: Es el conjunto de las 1ras 
2. Función identidad 
Es la identidad F: R  R definida por 
f = {(x; y)  R2/Y=x  x  R} 
Regla de correspondencia: 
 
Su gráfica es una recta que pasa por 
el punto (0,0) y su ángulo de 
inclinación es de 45º. 
y 
R( f )=R 
f (x) =x 
componentes de los pares ( x , f (x)) 
Rango de F: Es el conjunto de las segundas 
componentes de los pares ( x1 f (x) ) 
Nota 
Una forma muy sencilla de reconocer que 
un conjunto de pares ordenados es una 
 
 
 
DF=R ; 
45º x 
D( f )=R 
 
 
 
RF=R 
función, es observando que todas sus 
primeras componentes deben ser 
diferentes. 
 
VI. FUNCIONES ESPECIALES: 
 
1. Función constante 
Es la función f : R  R definida por 
F = {(x; y)  R2/y = c, c = constante real} 
F = {)x, c)}  R2 
 
Regla de correspondencia: 
; Donde “C” es una constante. 
3. Función Lineal 
Es la función f: R R definida por 
F ={(x, y) R2 /y = ax – b, a0, a y b 
constantes reales} 
El y el rango de esta función es el 
conjunto R de los números reales y 
su gráfica es una recta oblicua. La 
pendiente de esta recta es “a” y su 
intersección con el eje Y es el punto 
(0; b) 
y 
Pendiente : 
Tg  = a 
El de esta función es el conjunto de los 
números reales; D(f) = R. Su rango es el 
conjunto unitario {c}, esto es, R(f) = {c} y 
su gráfica es una recta perpendicular al 
eje y. 
R( f )= IR 



f (x) =x 
(0,b) 
x 
 
D( f ) = IR 
 
 
 
 
x R 
4. Función Cuadrática 
Es la función f: R  R definida por 
F = {(x, y)  R2 / y = ax2 + bx +c , a 
0, a , b y c constantes reales} 
La gráfica de esta función es una 
parábola con eje focal paralelo o 
coincidente con el eje Y Dicha 
parábola será cóncava positiva (hacia 
arriba) si a>0 y será cóncava negativa 
F (x)  x 
y 
R(f) = c 
c f(x) = c, 
D(f) = R 
F (x)  C 
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F(x)  a n x
n 
 a n 1x
n 1 
 ......  a x  a n; x  R 
1 0 
x 
0 
0 

(hacia abajo) si a <0. Completando 
cuadrados en: 
6. Función raíz cuadrada 
Es la función f : RR definida por 
F={(x ; y) R2 / y = ; x  0} 
y = ax2 + bx + c 
VEAMOS ALGUNAS 
ILUSTRACIONES GRÁFICAS 
DE ESTA FUNCIÓN 
 
F(x)=ax2+bx+c,a0 
El de esta función es el conjunto R+ 
de los números reales positivos y el 
cero, su rango es también R+ . 
Su gráfica se ilustra en la 
siguiente figura: 
Y 
a > 0 
b2 - 4ac > 0 a < 0 
Y
 
2 
R(f) = R 
+
 
º 
 
y = x , x 0 
 
 
h X 
k 
(h,k) 
D(f) = R 
R(f)=[k; > 
 
 
 
Y a > 0 
b2 - 4ac = 0 
b - 4ac > 0 
k 
 
X 
h 
 
 
 
R(f)=< - ;k] 
 
 
 
Y a < 0 
b2 - 4ac < 0 
 
 
 
 
 
D(f) = R + 
º 
7. Función Polinomial 
A la función “f”, le llamamos función 
polinomial, si su regla de 
correspondencia es: 
 
 
 
X 
(k;0) 
 
 
 
R(f) = [0 ; > 
D(f) = IR 
h 
X
 
k 
 
 
 
R(f)=< - ; k] 
Donde: a0, a1, a2……….an–1, an, son 
números reales, an  0. 
La gráfica de esta función tiene un 
comportamiento ondulatorio y esto 
5. Función valor absoluto 
Es la función f : RR definida por 
F= {(x; y)  R2 / y = x } 
 
El de esta función es el conjunto R 
de los números reales y su rango los 
reales positivos y el cero. 
Su gráfica se ilustra en la siguiente 
figura: 
depende del tipo de raíces que posee. 
 
8. Función Máxima Entero 
Si su regla correspondencia es: 
 
Donde: DF=R y RF = Z 
R(f) = R += y [o ; + > 
º 
 
y = -x 
x < 0 
 
 
 
45º 
 
y =x , x 0 
 
D(f) = R 
Si: 
F(x)  [x], donde [x]  n  n  x  n  1; n  Z 
-3 -2 -1 
1 2 3 4 
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

 

x  Dom (g)  g(x)  Ran(f) 
x  [0,1  F(x) =[x]=0  F(x) = 0 
x  [1,2  F(x) = [x] = 1  F(x) = 1 
     

9. Función Signo 
A la función f, le llamaremos función 
signo, si su regla de correspondencia 
es: 
f(x) = sig(x), donde sign(x) = 
 | x | 
; x  0 
Dom (F  G)  Dom (F)  Dom (G) 
 
 
2. Sustracción 
F  G   x;y y  F(x) - G(x) 
Dom (F - G)  Dom (F)  Dom (G) 
 
 
3. Multiplicación 
F  G  x;y y  F(x)  G(x) 
Dom (F  G)  Dom (F)  Dom (G) 
 x 

 0 ; x  0 
También puede expresar en la forma: 
f= {(x, y)  R x R/ y = sign(x)} 
 
4. División 
F 
 
 
x; y y  
F (x) 

G 
 
G (x) 


y 
Dom 
 F  
 Dom (F)  Dom (G)  G(x)  0 1 G 
 

0 x 
C. Composición de Funciones 
Dadas las funciones g: A  B  f: B 
-1  C donde A, B y C son conjuntos no 
Donde Df = R; Rf = {–1,0 ,1} 
 
AALLGGEEBBRRAA DDEE FFUUNNCCIIOONNEESS 
A. Igualdad de Funciones 
Dos funciones F y G son iguales si y 
sólo si sus reglas de correspondencia 
y sus s son respectivamente iguales; 
es decir: 
1) F(x)  G(x) ; y 
vacíos, la nueva función llamada 
composición de f y g y denotada por 
(f o g), es aquella cuyo es: 
 
 
La regla de correspondencia de f o g, 
es: 
2) Dom(F)  Dom(G) 
 F  G 
B. Operaciones con Funciones 
Dadas dos funciones reales F y G 
cuyas reglas de correspondencia son: 
F(x)  G(x), se definen cuatro 
operaciones: Adición, sustracción, 
multiplicación y división, de la 
siguiente manera: 
1. Adición 
F  G  x; y y  F(x)  G(x) 



f o g  se lee: “f compuesta con g”. 
 
La ilustración gráfica siguiente nos 
proporciona un diagrama 
esquemático de f o g : 
( f o g) (x)  f  g (x) 
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f o g 
 
A g B f C 
INYECTIVA O UNIVALENTE si a 
cada elemento del rango le 
corresponde un único elemento del 
dominio. 
Ejemplo 01: 
 
 
 
 
Observación: 
Para que exista la nueva función f o g, 
necesariamente Ran (g)  Dom (f)   
Conclusión: 
a) (f o g)(x)  f g (x)
b) Dom (f o g) (x)  x  Dom (g)  g(x)  Dom (f) 
 
Ejemplo: Dadas las funciones f y g : 
f = {(3; 5), (4; 5), (5; 2), (2; 2)} 
g = {(5; 3), (3; 5), (7; 2)} 
f o g 
 
 
 
F(x1)  F(x2) 
RECONOCIMIENTO GRÁFICO 
Si “F” es una función inyectiva 
entonces todarecta horizontal, debe 
cortar a su gráfica en un solo punto. 
Ejemplo 
A g B f C 
 
5 3 5 
3 
4 
5 
7 2 
2
 
 
 
Es Inyectiva 
 
 
Entonces: f o g = {(5; 5), (3; 2), (7; 2)} 
 
FUNCIÓN DE APLICACIÓN 
I) DEFINICIÓN. 
 
Una función “f” se llama 
APLICACIÓN de A en B 
Si y solo si Dom F = A 
 
II) CLASES DE FUNCIONES 
FUNCIÓN INYECTIVA 
(UNIVALENTE) 
Dado F: A  B una función de A en 
B, se dice que “f” es una FUNCIÓN 
No es Inyectiva 
 
DEFINICIÓN FORMAL 
Una función “F” es INYECTIVA, sí 
para cada x1 , x2  Dom (f). Se 
cumple la relación. 
 
F(x1) = F(x2)  x1 = x2 
“F” es INYECTIVA si para cada par 
de elementos x1 , x2  Dom f: 
x g(x) f[g(x)] 
A 
f 
a 
b 
c 
B 
1 
2 
3 
4 
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x1  x2  f(x1)  f(x2) 
Ejemplo 
F = {(1,1), (2,4), (3,5), (3,5)} Es 
inyectiva 
G = {(1,1), (2,4), (3,5), (4,6)} Es 
inyectiva 
 
OBSERVACIÓN 
Una función “f” no es inyectiva, si 
existen dos elementos distintos x1, x2, 
x1  x2, en el dominio de f, que tengan 
la misma imagen. 
F(x1) = F(x2) 
A 
f B 
1 
a 
2 
b 3 
c 4 
 
 
En este diagrama podemos observar 
que: 
1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {a, b, c} 
2) F es una función que va de A en B 
3) Dom (f) = {1, 2, 3, 4}  A, entonces la 
función “f” no es una aplicación de A 
en B. 
4) Rango (f) = {a, b, c} = B  la función 
“F” es sobreyectiva. 
5) F no es Inyectiva 
 
INTERPRETACIÓN 
2. FUNCIÓN SURYECTIVA O 
SOBREYECTIVA 
Dado F : A  B una función de A en 
B, se dice que f es una función 
SOBREYECTIVA si el rango o imagen 
de “f” coincide con el conjunto de 
llegada B ; es decir, si es que: 
GEOMÉTRICA 
“F” es sobreyectiva  toda recta “l” 
paralela al eje “x” corta al gráfico de f. 
 
Es decir: graf(f)  l  

Ejemplo 1 
n 
 
Nota 
De la definición de FUNCION 
SOBREYECTIVA, se sigue que toda a b 
x
 
función de la forma f : A  Ran(f), m 
siempre será suryectiva, pues el 
rango (F) coincide precisamente con 
el conjunto de llegada. 
Ejemplo: 1 
Sea la función “f” definida del 
siguiente; modo: 
F = {(1, a) , (2, a) , (3, b) , (4, c)} 
En el gráfico, podemos observar que: 
 
i) La función “f” es una aplicación de: 
F : <a, b>  <m, n> 
ii) F es sobreyectiva, porque toda recta 
paralela al eje “x”, pasando por el 
conjunto de llegada <m, n>, corta al 
gráfico de F. 
iii) F no es inyectiva. 
A 
1 
2 
3 
4 
5 6 
f 
B 
a 
b 
c 
Rang (f) = B 
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FUNCIÓN BIYECTIVA: 
La función f: A  B es BIYECTIVA 
, “F” es a la vez: Inyectiva y 
Sobreyectiva 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Señale cuál de las siguientes 
relaciones son funciones: 
indicar la suma del mínimo y 
el máximo de la función F. 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 4 
 
5. Si la función f está definida por: 
f n  n2  1 entonces el valor de: 
R = {(3; 2), (5; 2), (7; 2)} f 2  f 3

1 
R2 = {(5; 1), (4; 3), (8; 9), (5; 3)} 
f  f 1
, es: 
R3 = {(5; 3), (5; 4), (5; 5)} 
R4 = {(5; 3), (7; 8), (6; 5), (9; 11)} 
R5 = {(5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8)} 
a) Todas b) R3, R4, R5 c) R1, R3 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
6. Sea la función lineal: 
Si: 
 
f x  mx  b . 
d) R1, R4, R5 e) R2, R4 f x  2  f x  1  3 
f h
f 3  8 . 
2. Dada la siguiente función: Calcule f 2h  1 
f  5;2a  5, r;2, a;2r , 6; r 2  1, 5; a  1
determine su rango. 
a) 2/3 b) -1 c) 1/2 
d) -2/3 e) -1/2 
a) 6;1
d) 1;2;5
b) 1;5;6
e) 2;7
c) 1;2;5;6
7. El producto de los coeficientes de la 
función lineal para la cual se cumple 
3. Si el conjunto 
que f  1  1 y f  2  2; es: 
f   2;3, 2;7, m  5; n,  2; n  1, 2; m 1
representa a una función, halle 
a) 8 b) -10 c) 10 
d) 12 e) -12 
Dom f  Ran f . 8. Sea f la función cuadrática definida por 
a)  2;2;3
d)  2
b) 3;7;2
e)  
c)  2;7 f x  ax2  bx  c. 
 2;3, 0;1  1;6
Si los puntos 
están en la 
III EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2020-II 
4. Si 
F  8,2;2, a; a2 1,b;2,2a  3;3,5
gráfica de f y si “r” y “s” son los ceros 
de f, el valor de r 2  s 2 es: 
a) 2/3 b) 3/2 c) 5/4 
d) 4/5 e) 7/2 
M. Loyola
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M. Loyola
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M. Loyola
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M. Loyola
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M. Loyola
Nota rápida
Se sacan solamente del Rango: 2 + 5 = 7
M. Loyola
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M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
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M. Loyola
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M. Loyola
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x  5 
7  x 
5 
5 2 

9. Si f es una función de variable real tal 13. Determinar el rango de: 
que: f x  3  x 2  1 ; el valor de f(x)  
4  3x
 
f a  2  f 2



; a  4 ; es. 
x  5 
a  4 
a) a-2 b) a(a-2) c) a-6 
d) a e) a+6 
a) R  3
c) R   5
b) R   3
d) 
 4 
; 
 3 
10. Determinar el dominio de la 
siguiente función: 
e)  ;5    5; 

14. Indicar el rango de: 
f(x)  
2
 H  

(x, y)/ y  
 x 

x  4 
 
x  3 


a)  5;   2;2 
 


b)  5; 
d)   5; 
c)  2;2
e)  2;2 
a) R - { 3} b) R c) R - {1} 
d) R -{0} e) R - {3} 
 
15. Hallar el rango de la función: 
11. Determinar el dominio de la f(x)  x2  3 
siguiente función: a) 3;  b) 3;0 
g(x)  
4x  1 
 
3x  2 c)  3;  d) 3; 
2x  3 5x  1 
a) R  

2; 
3  
b) R  

 
3 
;2

 e)  ; 
   
   5 
c) R 

 
3 
; 
1 
d) R  4;1
16. Determinar el rango de la 
función:    
f(x)  x
2 
 31 
e) R   2
a) 31;  b)  ;31 
12. Determinar el dominio de: c) R d) R- 
 
h(x)    
3
 
x
2 
1 
d) R  31
a)  3;7 1
b)  3;1    1: 7
c)  3;7  1;1
d)  3;7  1;1
17. Determinar la función: 
F  x, y  H / y  x  1, 
siendo H la función definida de 
e) R   1;1
4 
x  3 
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    
la siguiente manera: 
2; a  b  c; 1; a  b  c; 2;8; 3; b  c
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2012 – I 
H  
; 4;9 ; 1;2 
 21. Determinar el dominio de la 
Dar el número de pares 
ordenados de la mencionada 
siguiente función 
función. 
f ( x) 
2 x  6 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
a) 1,3 ∪ 3,4 b) 1,4c) 1,3 ∪ 
d) 1,4 e)  1,3∪ 4,5
3,4 
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2017 II 
 
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2012 – I 
18. Si f es una función lineal que 22. Dada la función x  1 , 
verifica 
calcular 
 
F 4
F 1  7  F 3  5, f ( x)  x  2 
3 < x <4. su rango está dado 
a) -4 b) 4 c) 3 
d) -3 e) 6 
19. Si: f  f x    16 x  35 y 
por: 
a) 1 ; 2 
5 5 
f x  es 
 
b) 3 ; 
4 c) 4 ; 
5
 
5 5 5 6 
lineal. Calcular: f d) 1 ; 
5 e) 2 ; 
3 
2 
a) 14 b) 15 c) 16 
d) 13 e) 18 
 
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2017 II 
20. El dominio de la función cuya 
regla de correspondencia está 
5 6 5 5 
 
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2012 – I 
23. Sea Fx  x 
2 
 1 una función 
cuyo dominio es 
DF    4;2  1;1 . 
dada por: F x  
4  x 
2
 
x 
2 
 1 
 
es: 
Determinar su rango de la 
función. 
a)  2;1 1;2 a)  1; 0  3;15b)  1;15
b)  2;2  1
c)  2;2

d) R   1
c)  1;0 3;15 d)  1;0
e)  1;0 1;15
3,15
e) R   2
x  1  4  x 
M. Loyola
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M. Loyola
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Docente: Equipo Docente CICLO 2022- II SEMANA :14 
10 
S-14 Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
 
x 

III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2020-II 
24. El dominio de la función cuya 
regla de correspondencia está 
dada por: f x    
x 
x  1 
a) 0;1  1; b) 0;1  1;  
c) 0;1  1; d) R  1
e) R  0

f x  3  x 2  4 x  5;2  x  6 
 
a)  2;   3 b)  3; 17 
c)  ; 
e)  2; 6
 3 d)  4;   2
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2020-II 
25. Hallar el dominio de 
f x  x 2  x  2  3  2 x  x 2 
a)  ; 2
b) 3;     1
c) 2;3   1
d) 2;3 
e)  3;2 
III EXAMEN SUMATIVO 
CEPUNS 2020-II 
26. Hallar el rango de la función 
x 

17 
17 5