LATEX-GRUPO2-MODELO GOMPERTZ-ROCHA ALEX-

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Modelo de Gomperzt-Crecimiento de un Tumor
Alex Rocha
Febrero 2022
1 Desmotración
Se procede a enunciar la ecuación diferencial y su solución respectiva.
dN
dx
= rN ln(
K
N
) (1)
Donde:
r: es una constante de crecimiento con r > 0.
N: es la cantidad de celulas cancerosas a tiempo t.
K: es la capacidad maxima (volumen) que puede alcanzar un tumor.
Notemos que como K es la capacidad de carga es la asintota horizontal que la
curva tiende a acercase,es decir, K > N , como la población es positiva N > 0.
El crecimiento siempre va ser positivo pues la tasa de crecimiento r > 0.
dN
dt
= rN ln(
K
N
) (2)
EDO en variables separables.
como N > 0 y K > N entonces KN > 1 ln(
K
N ) > 0
dN
N ln(KN )
= r dt (3)
∫
dN
N ln(KN )
=
∫
r dt (4)
como:
dN
N
= d(ln |N |) = d(ln(N)) (5)
ln(
K
N
) = ln(K)− ln(N) (6)
1
entonces:
dN
N
= d(ln(N)) = −d(ln(K
N
)) (7)
∫
−
d(ln(KN ))
ln(KN )
=
∫
r dt (8)
ln
∣∣∣∣ln(KN )
∣∣∣∣ = ln(ln(KN )) = −rt+ C (9)
tomamos exponencial dos veces:
eln(ln(
K
N )) = e−rt+C = e−rtC , C = eC (10)
ln(
K
N
) = e−rtC (11)
eln(
K
N ) = ee
−rtC (12)
N(t) = Ke−Ce
−rt
(13)
sea t=0 entonces N(0) = N0
N0 = Ke
−C (14)
C = ln
K
N0
(15)
Solución del Problema de valor inicial:
N(t) = Ke− ln
K
N0
e−rt (16)
2
Ejemplo en geogebra comparando los modelos que más se asemejan a los volumenes de un tumor.
https://.geogebra.org/classic/bw7zpycq
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