Sistemas_continuos

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Sistemas dinámicos continuos
Tipos de sistemas dinámicos
El tiempo en los sistemas dinámicos es un parámetro
Tiempo continuo
Tiempo discreto
Autónomo
No Autónomo 
d x̄
d t
= f̄ ( x̄ , t)
x̄n+1= f̄ ( x̄n , n)
∂ f̄
∂ t
=0∨∂ f̄
∂ n
=0
 
Definición de sistema dinámico (SD)
Sistema SalidaEntrada
Ū (t)∈ℝk Ȳ (t)= ḡ( x̄)∈ℝ
m
x(t )=Φ( x̄0 , Ū (t ))
 
Ejemplo de SD lineales
A C
K
+
-
r(t) u(t) x(t) y(t)
x∈ℝn
y∈ℝk
u∈ℝm
donde m<k<n
ẋ (t )=A x (t)+Bu(t)
y (t)=Cx (t )
u(t )=r (t )−K y (t ) ẋ (t )=(A−BKC ) x (t )+Br (t )
y (t)=C x (t)
A= matriz de lazo abierto
A-B K C= matriz de lazo cerrado
 
Ejemplos de SD no lineales
 
dn x
d t
+ f (
dn−1 x
dtn−1
,…
dx
dt
, x)=0
x=q0
d q0
dt
=q1
⋮
d qn−1
dt
=qn
d qn
dt
=−f (qn−1 ,⋯, q1 ,q0)
Esto no es una forma canónica
 
Oscilador amortiguado
m ẍ+γ ẋ+k x=0
ẋ= y
ẏ=−
γ
m
y−
k
m
x
H ( p ,q , t)=
p2
2m
e−γ t+
k
2
q2 eγ t
No canónico
Canónico
ṗ=−eγ t k q
q̇=
p
m
e−γ t
 
Teorema de Picard-Lindelöf
 
Derivada orbital
En mecánica d
d t
∂ L
∂ q̇i
=0⇒
∂L
∂ q̇i
=pi=C
 
Espacio de las fases
 
Espacio de las fases
 
Teorema de Louville
 
Linealización 
 
Teorema de Hartman-Grobman 
 
Ejemplo
V (q)=C+ω2 cos(q)
 
Sistemas Lineales
 
ẋ=a x+b y
ẏ=c x+d y
 
ẋ=a x+b y
ẏ=c x+d y
 
ẋ=a x+b y
ẏ=c x+d y
 
ẋ=a x+b y
ẏ=c x+d y
 
Extensión a los no lineales
 
Axioma A
 
Axioma A
 
Caos Hamiltoniano
d v
d t
=∫( ∂∂ q̄
d q̄
d t
+ ∂
∂ p̄
d p̄
d t )dv=∫(
∂
2H
∂ p̄∂ q̄
−
∂
2H
∂ q̄ ∂ p̄ )dv=0
F2( q̄ , P̄)=q̄⋅P̄ H (q̄ , p̄)→H (Q̄ , P̄)
d Q̄
d t
=
∂H
∂ P̄
=ω̄
d P̄
d t
=
∂H
∂Q̄
=0
H 0=
1
2
( p1
2
+ω1q1
2
)+
1
2
(p2
2
+ω2q2
2
)
 
Caos Hamiltoniano
Q̄=ω̄ t+ϕ̄
P̄=J̄
H 0=
1
2
( p1
2
+ω1q1
2
)+
1
2
(p2
2
+ω2q2
2
)
p̄=∇ qW
H 0=
1
2
((
∂W
∂q1
)
2
+ω1q1
2
)+
1
2
((
∂W
∂q2
)
2
+ω2q2
2
)=E
(
∂W 1
∂q1
)
2
+ω1q1
2
=E1
(
∂W 2
∂q2
)
2
+ω2q2
2
=E2
Separación de Variables
 
Caos Hamiltoniano
J i=
1
2 π∮√
2E i−ωiqid qi=
Ei
ωi
H0( J̄ )=ω1J 1+ω2 J 2=E
ω̄=∇ J H=
d Q̄
d t
Variables acción ángulo
Teorema de perturbaciones de Poincarè
H (J̄ , q̄)=H 0( J̄ )+ϵH1(J̄ , q̄) W=q̄⋅̄J '+ϵW 1( J̄ ' , q̄)
H (∇ qW ,q̄)=E
ω̄⋅∇qW 1=−H1(J̄ ' , q̄)
ω̄=∇ J 'H 0
 
Caos Hamiltoniano
Expandiendo en 
series de Fourier
W 1( J̄ ' , q̄)=∑
k≠0
W k̄( J̄ ' )e
i k̄⋅̄q
H1( J̄ ' , q̄)=∑
k≠0
H k̄( J̄ ')e
i k̄⋅̄q
W=q̄⋅̄J '+i ϵ∑
k≠0
H k̄
k̄⋅ω̄
ei k̄⋅̄q
 
Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser 
(KAM)
Para el sistema no perturbado ω1
ω2
=
∂H 0 /∂ J 1
∂H 0 /∂ J 2
=f (J 1 , J 2)
H0(J 1 , J 2)=E⇒ J 2=J 2(J 1)
J 1=r
2
/2
ω1/ω2=a(r)
d r
dt
=r
d θ
d t
=θ+2πa(r)
 
Teoría KAM
Para el sistema perturbado
d r
dt
=r+ϵ f (r ,θ)
d θ
d t
=θ+2πa(r)+ϵ g(r ,θ)
rn+1=b r n+ϵ f (r n ,θn)
θn+1=θn+Ω+2 πa(rn)+ϵg (rn ,θn)
 
Teoría KAM
Difusión de Arnold
Hamiltoniano de Henòn-Heiles
H ( p1 , p2 , q1 ,q2)=
1
2
p1
2
+q1
2
+
1
2
p2
2
+q2
2
+ϵ(q1
2q2−
q2
3
3
)
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	Diapositiva 19
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