Clase_3_EDO (3)

Vista previa del material en texto

———
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Series y Ecuaciones Diferenciales
Clase 3:
Ciclo: 2023-I
Docente: Dr. Richard J. Cubas Becerra
FISI - ESCUELA DE INGENIEŔIA DE SISTEMAS
Contenido semanal
• E. D. lineales de primer orden.
• E.D. de Bernoulli.
• E.D. de Ricatti.
• Aplicaciones.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 2 / 29
Ecuación diferencial lineal de primer orden
Definición
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la
siguiente forma:
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = h(x), (1)
donde a1(x) ̸= 0, a1(x), a0(x), h(x) son continuas (en algún dominio).
Si a la E.D. (1) la dividimos por a1(x), se obtiene la llamada ecuación en
forma canónica ó forma estándar:
dy
dx
+ p(x)y = Q(x), (2)
donde p(x) = a0(x)a1(x) y Q(x) =
h(x)
a1(x) .
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 3 / 29
¿Cómo solucionar una E.D. lineal de primer orden?
Primero la E.D. (2) la expresamos en la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy =
0, y finalmente usamos factor integrante para solucionar usando el método
de las E.D. exactas. El siguiente teorema nos da una formula definitiva
de su solución:
Teorema de la E.D. lineal de primer orden
La solución general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
y′ + p(x)y = Q(x)
es:
ye
∫
p(x)dx =
∫
e
∫
p(x)dxQ(x)dx + C.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 4 / 29
Demostración. Primero si “ multiplicamos”a dydx + p(x)y = Q(x) por
dx, obtenemos
p(x)ydx + dy = Q(x)dx
Juntando los coeficientes de dx y dy, obtenemos
(p(x)y − Q(x))dx + dy = 0. (3)
Tenemos que ∂M∂y = p y
∂N
∂x = 0. Para encontrar el F.I., note que:
∂M
∂y −
∂N
∂x
N
= p(x)
y por tanto F.I: µ = e
∫
p(x)dx. Multiplicando a la E.D. (3) por el F.I:
e
∫
p(x)dx dy
dx
+ p(x)ye
∫
p(x)dx = Q(x)e
∫
p(x)dx,
Como e
∫
p(x)dx dy
dx + p(x)ye
∫
p(x)dx = ddx
(
ye
∫
p(x)dx
)
, se tiene que
ye
∫
p(x)dx =
∫
Q(x)e
∫
p(x)dxdx + C.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 5 / 29
Ejemplo 1. Resolver
(x + 1)dy
dx
− 2y = (x + 1)4
Solución. Escribamos primero la ecuación diferencial como
dy
dx
− 2
x + 1y = (x + 1)
3.
Entonces p(x) = − 2x+1 y Q(x) = (x + 1)
3. Luego, el factor integrante
es
µ(x) = e
∫
p(x)dx = e−
∫
2
x+1 dx
= eln(x+1)
−2
= (x + 1)−2
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 6 / 29
Multiplicando la ecuación diferencial por (x + 1)−2, podemos escribir la
ecuación como
(x + 1)−2 dy
dx
− 2(x + 1)−3y = x + 1
o equivalentemente
d
dx
[
(x + 1)−2y
]
= x + 1
e integrando
(x + 1)−2y = 12(x + 1)
2 + c.
Por lo tanto, la solución general es
y = 12(x + 1)
4 + c(x + 1)2
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 7 / 29
Ejercicio 1. Hallar la solución general de la E.D.:
(6 − 2xy)dy
dx
+ y2 = 0.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 8 / 29
Ecuación diferencial de Bernoulĺı
Definición
Una E.D. de la forma
dy
dx
+ p(x)y = Q(x)yn
con n ̸= 0 y n ̸= 1, se le llama una E.D. de Bernoulli.
¿Cómo solucionar una E.D. de Bernoulli?
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en
transformarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden
mediante la sustitución w = y1−n.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 9 / 29
Primero veamos si realmente, el cambio de variable w = y1−n convierte
a la E.D. de Bernoulli en una E.D. lineal. En efecto, primero dividimos
por yn:
y−n
dy
dx
+ p(x)y1−n = Q(x).
Note que para la sustitución w = y1−n, se tiene que
dw
dx
= (1 − n)y−n dy
dx
=⇒ 11 − n
dw
dx
= y−n dy
dx
Ahora, haciendo el cambio de variable en la E.D. de Bernoulli, se tiene:
1
1 − n
dw
dx
+ p(x)w = Q(x).
De la cual obtenemos la siguiente E.D. lineal de primer orden:
dw
dx
+ (1 − n)p(x)w = (1 − n)Q(x).
Note que solucionar la E.D. de Bernoulĺı equivale a solucionar la E.D.
lineal anterior.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 10 / 29
Ejemplo 2. Resolver la siguiente E.D. de Bernoulli
dy
dx
− y = exy2.
Solución. Dividiendo la E.D. de Bernoulli por y2, se tiene
y−2
dy
dx
− y−1 = ex. (4)
Sea
w = y−1, dw
dx
= −y−2 dy
dx
, −dw
dx
= y−2 dy
dx
Sustituyendo en (4)
−dw
dx
− w = ex
dw
dx
+ w = −ex.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 11 / 29
Resolviendo la ecuación diferencial lineal dwdx + w = −e
x, tenemos
w = −12e
x + c1e−x
y recordando que w = y−1
y−1 = −e
x + 2c1e−x
2
de donde obtenemos la solución general:
y = 2
ce−x − ex
.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 12 / 29
Ejercicio 2. Resolver
y
(
6y2 − x − 1
)
dx + 2xdy = 0.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 13 / 29
Ecuación diferencial de Ricatti
Definición
La ecuación diferencial
dy
dx
= p(x)y2 + q(x)y + r(x)
se llama ecuación de Ricatti.
¿Cómo solucionar una E.D. de Ricatti?
Método para resolver ecuaciones de Riccati
• Paso 1. Asumimos que se conoce una solución particular y1 =
y1(x) y hacemos la sustitución y = y1 + 1ν y la derivamos con
respecto a x:
dy
dx
= y′1 − v−2
dv
dx
. (5)
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 14 / 29
• Paso 2. Sustituimos y = y1 + 1ν y (5) en la E.D. de Ricatti:
y′1 −v−2
dv
dx
= p(x)y21 +2
p(x)y1
v
+ p(x)
v2
+q(x)y1 +
q(x)
v
+r(x).
(6)
• Paso 3. Como y1 es solución, se cumple que
y′1(x) = p(x)y21(x) + q(x)y1(x) + r(x)
Reemplazando en (6): − v−2 dv
dx
= 2p(x)y1
v
+ p(x)
v2
+ q(x)
v
.
• Paso 4. Reordenando la ecuación anterior obtenemos:
dv
dx
+ [2p(x)y1 + q(x)] v(x) = −p(x)
Finalmente, note que solucionar la E.D. de Ricatti equivale a
solucionar esta E.D. lineal de primer orden.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 15 / 29
Ejemplo 3. Resolver
dy
dx
= y2 − y
x
− 1
x2
Solución. Es claro que es una Ecuación de Ricatti con p(x) = 1, q(x) =
−1/x, r(x) = −1/x2. Observando que y1 = 1/x es una solución parti-
cular de la E.D. Como solucionar la E.D. de Ricatti equivale a soluci-
onar
dv
dx
+ [2p(x)y1 + q(x)] v(x) = −p(x)
Reemplazando, se tiene
dv
dx
+
Å2
x
− 1
x
ã
v = −1
esto es
dv
dx
+ 1
x
v = −1. (7)
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 16 / 29
Un factor integrante es
µ(x) = e
∫
dx
x = x.
Multiplicando (7) por µ(x) y resolviendo igual que antes, encontramos
que
x
dv
dx
+ v = −x
d
dx
(xv) = −x
xv = −x
2
2 + c1
v = −x2 +
c1
x
= c − x
2
2x ,
donde c = 2c1. Como y = y1 + 1ν , se obtiene
y(x) = 1
x
+ 2x
c − x2
.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 17 / 29
APLICACIONES DE LAS E.D.
DE PRIMER ORDEN
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 18 / 29
Aplicación 1: Crecimiento y descomposición
Existen en el mundo f́ısico, en bioloǵıa, medicina, demograf́ıa, econoḿıa,
etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposición vaŕıa en
forma proporcional a la cantidad presente, es decir, dxdt = kx con x (t0) =
x0, o sea que
dx
dt
− kx = 0
que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y
cuya solución es x = Cekt. Como
x (t0) = x0 = Cekt0 ⇒ C = x0e−kt0 .
Por lo tanto la solución particular es x = x0e−kt0ekt = x0ek(t−t0). En
particular cuando t0 = 0, entonces
x = x0ekt.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 19 / 29
1.1 Desintegración radioactiva
Alrededor del año 1950, el qúımico Willard Libby diseñó un método para usar el
carbono radiactivo como un medio con el cual determinar la edad aproximada
de los fósiles. La teoŕıa de fechado por carbono se basa en que el isótopo de
carbono-14 (C-14) se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica
sobre el nitrógeno. La relación entre la cantidad de C-14 con respecto al carbono
ordinario que hay en la atmósfera resulta ser una constantey, en consecuencia,
la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivientes
es igual a la que tiene la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción
de C-14, ya sea por respirar o por comer, se detiene. Aśı, al comparar la cantidad
proporcional del C-14 presente en, digamos, un fósil con la relación constante
encontrada en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la
edad del fósil. El método está basado en el conocimiento de que la vida media
del C-14 radiactivo es de unos 5600 años. Por su trabajo, Libby ganó el Premio
Nobel de qúımica en 1960.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 20 / 29
Si Q(t) es la cantidad de material radioactivo presente en el instante t,
entonces la ecuación diferencial es dQdt = −kQ, donde k es la constante de
desintegración. Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo
al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se trasforme en Q02 .
Ejercicio 3. Se encontró que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de
la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 21 / 29
1.2 Ley de enfriamiento de Newton
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , sumergido en un medio de
tamaño infinito de temperatura Tm (Tm no vaŕıa apreciablemente con
el tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la
siguiente ecuación diferencial elemental:
dθ
dt
= −kθ
donde θ = T − Tm.
Ejemplo 4. Cuando un pastel se retira del horno, tiene una tempera-
tura de 300◦F. Tres minutos más tarde, su temperatura es de 200◦F.
¿Cuánto tiempo le llevará al pastel enfriarse hasta llegar a la tempe-
ratura ambiente de 70◦F ?
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 22 / 29
1.3. Crecimiento poblacional
La razón de crecimiento depende de la población presente en periodo de
procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que
representa dicha situación es:
dQ
dt
= kQ
donde Q(t) : población en el instante t.
Ejemplo 5. Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500
organismos (bacterias), un d́ıa después de haber sido embotelladas y
al segundo d́ıa se encuentran 8000 organismos. ¿Cual es el número de
organismos en el momento de embotellar la leche?
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 23 / 29
2. Problemas de Disolución
Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser ĺıquido, sólido
o gaseoso), en un solvente que puede ser ĺıquido o gaseoso. Tipos de
mezclas o soluciones:
• Soluciones ĺıquidas cuando disolvemos un sólido o un ĺıquido en un
ĺıquido.
• Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas.
Para este módelado se usa la siguiente igualdad llamada Ecuación de
Continuidad:
Tasa de acumulación = Tasa de entrada - Tasa de salida.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 24 / 29
Ejemplo 6. Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un
tanque a una velocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una
concentración de c1 libras de sal por galón de salmuera (lib. sal/gal.
salmuera). Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con
P libras de sal disueltas. La mezcla bien homogenizada abandona el
tanque a una velocidad de v2 galones de salmuera/min. Encontrar
una ecuación para determinar las libras de sal que hay en el tanque
en cualquier instante t.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 25 / 29
Sea x(t) las libras de sal en el instante t.
dx
dt
= Tasa de acumulación =
= Tasa de entrada del soluto − Tasa de salida del soluto.
dx
dt
= v1 (gal.sol./min) c1 (lib.sal/gal.sol.) − v2 (gal.sol./min) c2 (lib.sal/gal.sol.)
= v1c1 − v2
x
Q + (v1 − v2) t
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 26 / 29
3.VACIADO DE TANQUES
Un tanque de una cierta forma geométrica está inicialmente lleno de agua
hasta una altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es
A pie 2. Se abre el orificio y el ĺıquido cae libremente. Si el volumen de
agua en el instante t es Q, entonces la razón volumétrica de salida dQdt es
proporcional a la velocidad de salida y al área del orificio, es decir,
dQ
dt
= −kAv, (Principio de Torricelli)
aplicando la ecuación de enerǵıa: 12mv
2 = mgh ⇒ v =
√
2gh, por lo
tanto,
dQ
dt
= −kA
√
2gh
donde g = 32pie/seg2 = 9, 81mt./seg2
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 27 / 29
La constante k depende de la forma del orificio:
• Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0, 8.
• Si el orificio es de forma triangular, la constante 0, 65 ≤ k ≤ 0, 75.
• Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0, 6.
Ejercicio 4. Encuentre la ecuación que describe el drenado en un
cono circular recto de altura H0 y radio R dispuesto verticalmente
con orificio circular en el fondo de diámetro ϕ.
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 28 / 29
¡MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!
Richard Cubas B. Series y Ecuaciones Diferenciales 16 de enero de 2023 29 / 29