EDO-II

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2017.
MAT 230-E ∗ GUIA N◦5
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II
1. a) Demuestre que f(x) = e2x es solución de la ecuación diferencial
y ′ − 2 y = 0 (∗)
y que c f(x) también es solución de (∗) para toda c constante.
b) Demuestre que f(x) =
1
x
, es solución de la ecuación diferencial y ′ + y2 = 0
para x > 0 y que c f(x) , con c constante, no es solución de esta ecuación a
menos que c = 0 ∨ c = 1.
2. Dada la ecuación y ′ − y = 2 con y(0) = y0 , determine la forma en que ĺım
x→∞
y(x)
depende de y0.
3. Realizando la sustitución sugerida, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
a)
dy
dx
= −2 (2x + 3y) , hacer z = 2x + 3y.
b) (x− 2 sen(y) + 3) dx + (2x− 4 sen(y)− 3) cos(y) dy = 0 , hacer u = sen(y)
c)
(
2 + 2x2 y1/2
)
y dx +
(
x2 y1/2 + 2
)
x dy = 0 , hacer w = x2 y1/2
4. Demuestre que la sustitución u = ax + by + c , transforma la ecuación diferencial:
dy
dx
= f(ax + by + c)
en una ecuación de variables separables, y aplique este método para resolver las ecuaciones
siguientes.
a)
dy
dx
= ex+y − 1
b)
dy
dx
= sen2(x− y + 1)
5. Dada la ecuación diferencial
dy
dx
= f
(
ax + by + c
dx + ey + f
)
Demuestre que si las rectas ax + by + c = 0 y dx + ey + f = 0 se cortan en el punto
(x0, y0), entonces la sustitución
u = x− x0 , v = y − y0
transforman la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial homogénea. Use
el resultado anterior para resolver la ecuación diferencial
dy
dx
=
−2x + 4y − 6
x + y − 3
6. Haciendo la sustitución v = y ′ , resuelva la ecuación diferencial:
x y ′ ′ + y ′ = 1 , x > 0
7. Haciendo la sustitución v = y−2 , resuelva la ecuación diferencial:
x2 y ′ + 2x y = 5 y3
8. Un modelo de población utilizado en las predicciones actuales se basa en la ecuación
de Gompertz:
dP
dt
= P
(
a− b ln(P )
)
donde a y b son constantes.
a) Determine P (t) en la ecuación de Gompertz.
b) Si P (0) = P0 > 0, dé una fórmula para P (t) en términos de a, b, P0 y t.
c) Describa el comportamiento de P (t) cuando x→∞, considere los casos
b > 0 y b < 0.
9. Una medicina se inyecta en el torrente sangúıneo de un paciente, a un flujo constante
de r unidades, al mismo tiempo esa medicina desaparece con una razón proporcional
a la cantidad x(t), presente en cualquier momento t.
Determine una ecuación diferencial que describa la cantidad x(t) y resuélvala.
10. Sea P (t) el precio de un bien en el tiempo t, D(P ) = a−bP la demanda y S(P ) = c+dP
la oferta, con a, b, c, d > 0, a > c.
Suponga que P ′ es proporcional al exceso de demanda D(P )− S(P ), es decir,
P ′ = k [D(P )− S(P )]
con k > 0. Encuentre el precio P (t) y demuestre que a la larga este llega a un valor de
equilibrio P0.