Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

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Aplicaciones de la Integral Definida
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - II
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Definición
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)yn (1)
se denomina ecuación de Bernoulli.
Observación.- Si n = 0 o n = 1 la ecuación diferencial (1) es lineal.
La ecuación diferencial (1) se puede resolver al hacer la sustitución
v = y1−n (2)
la cual transforma (1) en una ecuación diferencial lineal, donde v y y son funciones que
dependen de la variable independiente x .
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Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial
dy
dx
+
6
x
y = 3y4/3 (3)
Solución.-
La ecuación no es separable ni homogénea y tampoco lineal, es una ecuación de Bernoulli
con n =
4
3
, por lo que según (2) hacemos la sustitución
v = y1−4/3 = y−1/3 (4)
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derivando esta última expresión se tiene
dv
dx
= −1
3
y−4/3
dy
dx
(5)
multiplicamos la ecuación (3) por −1
3
y−4/3, se tiene
−1
3
y−4/3
dy
dx
− 2
x
y−1/3 = −1
luego reemplazando (4) y (5) en la última ecuación, se tiene.
dv
dx
− 2
x
v = −1 (6)
la cual es una ecuación lineal, con factor integrante
µ(x) = e−
∫
2
x dx
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µ(x) = e−2 ln x = x−2 (7)
Luego multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante (7), se tiene
x−2
dv
dx
− 2x−3v = −x−2
esto es
d(x−2v)
dx
= −x−2
integrando respecto de x la última expresión tenemos
x−2v =
∫
−x−2 dx
v = x2(x−1 + C )
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reemplazando v según (4) tenemos
y−1/3 = (x + Cx2)
de donde
y = (x + Cx2)−3
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Ejercicios
Resolver:
1 3xy ′ − 2y = x3y2
2 xy ′ + y = y2 ln x
3 xy ′ + y = xy−1/2
4 y ′ +
1
x
y = x3y3 , y(1) = 1
5 x3y ′ + x2y = 2y−4/3
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