FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS UCM _ 1_ GRADO ELECTRONICA DE COMUNICACIONES UCM _ asignatura_ Análisis de circuitos Temario y ejercicios_ _ AC_Tema 2_

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Tema 2: Análisis de 
circuitos en el dominio del 
tiempo
Enrique San Andrés
Respuesta transitoria circuito digital
Tema II 2
A B C
Respuesta transitoria circuito digital
Tema II 3
Tema II 4
• Analizaremos la respuesta transitoria del 
condensador y la bobina
– Veremos que son elementos que almacenan energía pero no disipan (ni 
producen) potencia media
• Estudiaremos la respuesta de varios circuitos 
frente a estímulos variables en el tiempo
– Circuitos de primer orden
– Sistemas de segundo orden
Objetivos del tema
Tema II 5
• Un condensador es un elemento pasivo diseñado 
para almacenar energía en su campo eléctrico 
• Realización física
– Dos placas metálicas plano-paralelas separadas por un medio aislante 
(dieléctrico)
Condensador
Imágenes: Wikimedia Commons
Capacidades parásitas en un CI
Tema II 6
Capacidades parásitas en un CI
Tema II 7
Tema II 8
• Mecanismo físico
Condensador
– Al aplicar tensión v aparecen cargas en 
las placas: +q y –q
– La carga almacenada depende de la 
tensión v aplicada
q (t) = C (t) v (t)
– C se denomina capacidad y su unidad 
es el Faradio (F)
– 1 F = 1 C / 1 V
m
F
d
AC rr
12
0 108542.8
−×∗=== εεεεε
Tema II 9
• Relación corriente-voltaje de un condensador ideal
• Símbolo circuital
Condensador
( ) ( ) ( ) ( )
dt
dvCi
dt
vdC
dt
Cvd
dt
dqtvCtq
=
==⇒=
Imágen: Wikimedia Commons
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3.0µ
-2.0µ
-1.0µ
0.0
1.0µ
2.0µ
3.0µ
 
 
i [
A]
dv/dt [V/s]
C=1uF
Tema II 10
• Relación voltaje – corriente
• Condición de continuidad de la tensión
– La tensión NO puede tener discontinuidades en el tiempo
Condensador
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=⇒=⇒= ∞−
t
t
t
di
C
tvtvdi
C
tv
dt
tdvCti
0
11
0 ττττ
( ) ( ) ( ) ( )000 0
0
1 tvtvdi
C
tv
t
t
=+= ∫
+
+ ττ
v(t)
t
( )
dt
dvCti =
i(t)
t
∞
Tema II 11
• Potencia y energía del condensador:
– TI: la potencia instantánea de un elemento es v*i, por tanto en C:
– Cálculo de la energía total almacenada
Condensador
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdvCtvtitvtp == *
( ) ( ) ( )
2 2( ) ( )
2 2
t v t vw t C v dv C Cτ τ
−∞
−∞
= = −∫
Tema II 12
• Propiedades del condensador:
– El condensador sí puede tener saltos de corriente
– Si la tensión entre terminales no cambia la corriente que circula por el 
condensador es nula.
• Condensador en DC equivale a un circuito abierto
– Condensador ideal no disipa energía: la almacena (en forma de campo 
eléctrico) según aumenta |v(t)| y la libera según disminuye. 
– El condensador real se descarga con el tiempo. Modelo simple: 
condensador ideal en paralelo con una resistencia debida a las fugas 
Condensador
( ) ( ) AC
dt
KdC
dt
tdvCti 00)( =×===
Tema II 13
• Ej. C de 1 mF descargado en t = 0 fluye la corriente de la 
figura. Calcular tensión en t = 2 ms y t = 5 ms. 
Condensador
Tema II 14
• Ej: determinar la corriente que fluye por un C de 200µF
Condensador
Tema II 15
• Calcular energía almacenada en cada condensador
Condensador
Tema II 16
• Asociación de condensadores en paralelo
– Aplicando KCL a nodo superior
– Aplicando relación I-V del condensador
– Circuitos equivalentes si 
– Con N condensadores en paralelo
Condensador
21 CCv iii +=
( )
dt
dvCC
dt
dvC
dt
dvCiv 2121 +=+=
( )21 CCCeq +=
∑
=
=
N
n
neq CC
1
Tema II 17
• Asociación de condensadores en serie
– Aplicando KVL a la malla
– Aplicando relación V-I del condensador
– Equivale al circuito de abajo si 
– Con N condensadores en serie
Condensador
21 CC vvv +=
( )
( )
( ) ( )0201
21
02
2
2
01
1
1
0
0
0 11
1
1
tvtvidt
CC
v
tvidt
C
v
tvidt
C
v
t
tt
t
t
t
++





+=






+=
+=
∫
∫
∫
21
111
CCCequ
+=
∑
=
=
N
n neq CC 1
11
Tema II 18
• Elemento pasivo que almacena 
energía en forma de campo 
magnético
• La bobina más sencilla es el 
solenoide recto
– Arrollamiento de cable en espiral sobre un núcleo 
de un material magnético
– Al circular corriente se produce un campo 
magnético
– Inductancia: relación entre flujo magnético y 
corriente
– Faraday demostró que las variaciones de flujo 
magnético producen una fem (tensión) 
Bobinas
Fotografía: wikimedia commons
( )linealesno
di
dL
i
L φφ == ;
dt
diL
dt
di
di
d
dt
dv === φφ
Tema II 19
• Relación voltaje-corriente de una bobina ideal
• [L]=H (Henrio)
• Símbolo circuital
• Si
– En DC la bobina es un cortocircuito
Bobinas
dt
diLv =
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3.0m
-2.0m
-1.0m
0.0
1.0m
2.0m
3.0m
 
 
v 
[V
]
di/dt [A/s]
L=1mH
00 ==⇒=
dt
diLv
dt
di
+ v -
→ i
Tema II 20
• Relación i-v de la bobina
– La bobina tiene memoria de su historia pasada
– No puede haber discontinuidades de corriente
• Ej: calcular la corriente por una bobina de 5H si 
Bobinas
( ) ( )0
0
00
1
11
tivdt
L
ti
vdt
L
divdt
L
di
dt
diLv
t
t
t
t
t
t
+=
=⇒=⇒=
∫
∫∫
( )



>
<
=
030
00
2 tsit
tsi
tv
Tema II 21
• Potencia en una bobina:
– Sin variaciones de corriente no hay potencia
– Al igual que el condensador, puede ser positiva o negativa
• Energía almacenada
– Solamente depende del valor absoluto de la corriente y la inductancia
Bobinas
+ v -
→ i( ) ( ) ( ) dt
diLii
dt
diLtitvtp ===
Tema II 22
• Ej. Calcular energía almacenada en C y L en DC
Bobinas
Tema II 23
• Asociación de bobinas en serie
– Aplicando KVL a nodo superior
– Aplicando relación V-I de la bobina
– Equivale al circuito de abajo si 
– Con N bobinas en serie
Bobinas
21 LL vvv +=
( )
dt
diLLv
dt
diLv
dt
diLv
21
22
11
+=






=
=
21 LLLeq +=
∑
=
=
N
n
neq LL
1
Tema II 24
• Asociación de bobinas en paralelo
– Aplicando KCL a nodo superior
– Aplicando relación I-V de la bobina
– Equivale al circuito de abajo si 
– Con N bobinas en paralelo
Bobinas
21 CCv iii +=
21
111
LLLeq
+=
∑
=
=
N
n neq LL 1
11
( )
( )
( ) ( )0201
21
02
2
2
01
1
1
0
0
0 11
1
1
titivdt
LL
i
tivdt
L
i
tivdt
L
i
t
tt
t
t
t
++





+=






+=
+=
∫
∫
∫
Tema II 25
Resumen
Relación Resistencia Condensador Bobina
v-i
i-v
p (R) ó w (L,C)
serie
paralelo
en DC Igual Circuito abierto Cortocircuito
Variable que no
puede cambiar 
bruscamente
Ninguna Tensión Corriente
∑
=
=
N
n neq LL 1
11
Riv = ( )0
1 tvidt
C
v += ∫
( )0
1 tivdt
L
i += ∫vRi
1
=
dt
dvCi =
dt
diLv =
R
vRip
2
2 ==
∑
=
=
N
n neq RR 1
11
∑
=
=
N
n neq CC 1
11∑
=
=
N
n
neq RR
1
∑
=
=
N
n
neq LL
1
∑
=
=
N
n
neq CC
1
2
2
1 Cvw = 2
2
1 Liw =
Tema II 26
• Vamos a estudiar con combinaciones de R, L y C.
– Primero circuitos simples: 
• R y C
• R y L
– T1: Los circuitos con resistencias y fuentes dan por resultado 
ecuaciones algebraicas.
– Al aparecer C y L hay que resolver ecuaciones diferenciales.
– Cuando solo aparece la primera derivada (RC o RL) se denomina 
ecuación (o circuito) “de primer orden”.
– Cuando aparece además un segunda derivada se denomina “de 
segundo orden”.
Análisis transitorio de circuitos de 
primer y segundo orden
Circuito RC
• ¿Cómo se podría resolver este circuito?
Tema II 27
Tema II 28
Circuito RC
Método para resolver ED simples
• 1) Encontrar una solución particular
• 2) Encontrar una solución homogénea (general)
• 3) La solución de la ED es la suma de 1) y 2)
• 4) Imponer condiciones particulares
Tema II 29
Tema II 30
Circuito RC
vc(t)
t
Tema II 31
• Descarga de un condensador a través de una 
resistencia
– R1 de 1Meg, 100k, 10k y 1k
Circuito RC sin fuentes
( ) ( )0
1
0
tt
RCevtv
−−
=
Tema II 32
• C cargado a v0, fuente de tensión
– Ej: C de 1uF, R de 1kohm, tclose=1ms
• V(0)=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25
Circuito RC con fuentes
Tema II 33
•Ej: condensador cargado a 15V en t=0. ¿VR3?
Circuito RC sin fuentes
Tema II 34
• Ej: ¿v(t)?
Circuito RC sin fuentes
Tema II 35
Circuito RC con fuentes
Respuesta a un tren de pulsos
Tema II 36
Tema II 37
• Vamos a realizar un ejercicio análogo con 
inductancias
• Bobina con inductancia L que se conecta a una 
fuente de tensión
– Inicialmente corriente nula
– Tensión en R nula
• Toda cae en la bobina
– Aumenta la corriente
– Aumenta la tensión en la resistencia
– La corriente se va estabilizando hasta que toda la tensión cae en la 
resistencia -> la corriente de la bobina ya no aumenta más -> 
estacionario
Circuito RL
Circuito RL
Tema II 38
Tema II 39
• Si la bobina tenía corriente I0 y el interruptor se 
cierra en t0
Circuito RL
( )
0 0
0
0 0expS S
I t t
i t V V t tI t t
R R τ
<
= −    + − − >       
Tema II 40
• Ej: calcular la corriente en la bobina 
Circuito RL
Tema II 41
• Ej: calcular la corriente en la bobina 
Circuito RL
Tema II 42
Circuitos de segundo orden 
Tema II 43
• Cuando hay más de un elemento que almacena 
energía, la ecuación diferencial aumenta el orden
– Típicamente dos elementos (C y L, C y C, L y L) producen una ecuación 
de segundo orden
• Siempre y cuando los elementos de segundo orden no puedan 
combinarse.
Circuitos de segundo orden 
Tema II 44
• Para resolverlos será necesario conocer tantas 
condiciones de contorno como el orden del 
sistema
– Circuitos de segundo orden: 2 condiciones
– Cada problema concreto requerirá una estrategia diferente 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 , 0 , , , , ...C LL C L C
dv di
i v i v
dt dt
∞ ∞
Circuitos de segundo orden 
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 45
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 46
( )
1 1 2
2 1
2
0
1 0
t
dv v vC
dt R
v v v d
R L
τ τ
−∞
−
− − =
−
− − =∫
1
2 1
1
1 1
1
1
2
1 1
12
1 0
1 0
t
dvv RC v
dt
dvRC v v dvdt RC v d
R L dt
d v dvR v
dt L dt LC
τ
−∞
= + ⇒
+ −  + + = ⇒ 
 
+ + =
∫
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 47
1
stv Ae=
2
1 1
12
1 0d v dvR v
dt L dt LC
+ + =
2
1
2
2
2
1
2 21 0
1
2 2
st
R Rs
L L LCRA s s e
L LC R Rs
L L LC
   = − + −    + + = ⇒  
    = − − −  
 
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 48
– Ecuación característica: si la cumple la función elegida es solución
– s puede ser real o imaginaria, y también sería solución
– Solución general de la homogénea:
– s1 y s2 lo determinan los elementos del circuito.
– A partir de ellos se calculan A1 y A2 a partir de las condiciones de
contorno
2
1
2
2
2
1
2 21 0
1
2 2
st
R Rs
L L LCRA s s e
L LC R Rs
L L LC
   = − + −    + + = ⇒  
    = − − −  
 
1 2
1 1 2
s t s tv A e A e= +
Tema II 49
– Por simplificar notación
• Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento 
exponencial 
• Frecuencia de resonancia 
2
R
L
α =
LC
1
0 =ω




−−−=
−+−=
2
0
2
1
2
0
2
1
ωαα
ωαα
s
s
2
1
2
2
2
1
2 21 0
1
2 2
st
R Rs
L L LCRA s s e
L LC R Rs
L L LC
   = − + −    + + = ⇒  
    = − − −  
 
Circuito RLC serie sin fuente
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 50
– Si α > ω0 ( ) s1 y s2 serán reales
• Además
• Por tanto, las soluciones son exponenciales decrecientes
– Este caso se denomina circuito RLC paralelo sobreamortiguado




−−−=
−+−=
2
0
2
1
2
0
2
1
ωαα
ωαα
s
s
020
22
0
22
0
2 <−+−<−−−⇒<− ωααωαααωα
2
R L
C
>
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 51
– Supongamos que en t=0 hay tensión 
en el condensador y corriente en el 
circuito
( )
( ) ( )
1 2
1 2
0 0
1 1 2 1 2
0 01
1 1 2 2 1 1 2 2
0
10 0
s s
s s
L
v A e A e A A
dv s A e s A e s A s A i
dt C
= + = +
−
= + = + =
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 52
• Ejemplo (valores poco realistas)
– R=49 ohm, L = 7 H, C= 1/42 F
– Condensador inicialmente descargado, corriente inicial bobina -5/21 A
–
– Falta por conocer constantes 
•
•
– Solución:
6,1,6;5.3 210 −=−=== ssωα
6
1 1 2
t tv A e A e− −= +
( ) 0 6*01 1 2 1 2 1 20 0 tv A e A e A A A A− −= = + = + ⇒ = −
( )61 1 2 1 2 2
2 1
6 0 6 5 10
2 2
t t Ldv idvA e A e A A A
dt dt C
A A
− −= − − ⇒ = − − = − = − = ⇒
⇒ = − ⇒ =
6
1 2 2
t tv e e− −= −
• Cálculos vs PSPICE
– Sobreamortiguado: tarda en desvanecerse, sin oscilaciones.
Tema II 53
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 54
– Si α = ω0 ( ) la solución de la ecuación diferencial que 
hemos probado no es correcta -> amortiguamiento crítico
• Como esto desde el punto de vista práctico es imposible no lo 
vamos a analizar
• Cualitativamente, representa una transición entre el caso 
sobreamortiguado (α > ω0) y subamortiguado (α < ω0) 
– Si α < ω0 ( ) -> circuito subamortiguado
• Solución
• Al valor ωd se le denomina frecuencia natural de resonancia
Circuito RLC serie sin fuente
tsts eAeAv 21 21 +=
/ 2 /R L C=
/ 2 /R L C=
Recordatorio de 1erC de Cálculo
• Ecuación de Euler
• Demostración: se desarrolla en serie de Taylor la 
exponencial, el seno y el coseno, y se compara. 
cos Re
cos ; 1
Im
j
j
j
e
e jsen j
sen e
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
  =  = + = − 
 =  
Tema II 55
• Reescribiendo con ecuación de Euler
• Sinusoides amortiguadas por un factor que decae 
exponencialmente
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
cos cos
cos
cos
d dj t j tt
t
d d d d
t
d d
t
d d
v t e A e A e
e A t A jsen t A t A jsen t
e A A t A A jsen t
e B t B sen t
ω ωα
α
α
α
ω ω ω ω
ω ω
ω ω
−−
−
−
−
= + =
= + + − + − =
= + + − =
= +
cos Re
cos ; 1
Im
j
j
j
e
e jsen j
sen e
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
  =  = + = − 
 =  
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 56
Tema II 57
• Ejemplo (Hayt) aumentando R
– R de 49 ohm pasa a 28 ohm manteniendo L = 7 H, C= 1/42 F
– Condensador descargado, corriente inicial bobina de -5/21 A
–
– Falta por determinar constantes (proceso análogo al caso anterior) 
– Solución:
2,6;2 2200 =−=== αωωωα d
Circuito RLC serie
( )21 5 2 2tv e sen t−=
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 58
• R = 49 ohm (sobream.), 28 ohm, 10 ohm, 5 ohm (subam.)
• El tipo de 
amortiguamiento 
cambia con R
• Los valores de R 
determinan el tiempo 
en decaer
• Para R baja aparece 
oscilación con la 
frecuencia natural de 
resonancia
• Sin R, la oscilación no 
se disiparía.
Tema II 59
• Supongamos que se conecta un condensador a 
una bobina
– Circuito ideal Circuito real (aproximado)
– Representa un circuito típico en redes de comunicaciones, empleado 
para amplificar señales en una banda estrecha de frecuencia. 
– Buscamos la respuesta natural, y el C ó L (ó ambos) deben tener 
energía almacenada inicialmente
• Si no hubiera resistencia habría una oscilación eterna
Circuito RLC paralelo
Tema II 60
– Ej: L=7H, C=1/42 F, barrido paramétrico R: 10.5, 20, 50, 100 ohm.
Circuito RLC paralelo
Tema II 61
• Hemos analizado la respuesta transitoria del 
condensador y la bobina
• Hemos estudiado la respuesta de varios circuitos 
frente a estímulos variables en el tiempo
– Circuitos de primer orden
– Sistemas de segundo orden
Objetivos del tema
	Tema 2: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo
	Respuesta transitoria circuito digital
	Respuesta transitoria circuito digital
	Objetivos del tema
	Condensador
	Capacidades parásitas en un CI
	Capacidades parásitas en un CI
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Condensador
	Bobinas
	Bobinas
	Bobinas
	Bobinas
	Bobinas
	Bobinas
	Bobinas
	Resumen
	Análisis transitorio de circuitos de primer y segundo orden
	Circuito RC
	Circuito RC
	Método para resolver ED simples
	Circuito RC
	Circuito RC sin fuentes
	Circuito RC con fuentes
	CircuitoRC sin fuentes
	Circuito RC sin fuentes
	Circuito RC con fuentes
	Respuesta a un tren de pulsos
	Circuito RL
	Circuito RL
	Circuito RL
	Circuito RL
	Circuito RL
	Circuitos de segundo orden 
	Circuitos de segundo orden 
	Circuitos de segundo orden 
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie sin fuente
	Recordatorio de 1erC de Cálculo
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC serie
	Circuito RLC serie sin fuente
	Circuito RLC paralelo
	Circuito RLC paralelo
	Objetivos del tema