Tarea Maquinas 4

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Instituto Tecnológico De La Laguna 
 
 
 
Alumno: Luis Enrique Díaz Martínez 
No. Control: 18130995 
Facilitador: José Arturo Barajas Hernández 
Materia: Maquinas Eléctricas 
Trabajo a entregar: Tarea 4 
Fecha de entrega: 9/10/2020 
 
 
 
2.4 Teoría de operaciones de los transformadores 
monofásicos reales 
Los transformadores ideales no se pueden fabricar por lo que tenemos que hablar de 
transformadores reales los cuales si podemos fabricar. Para un transformador real podemos tomar 
como ejemplo un transformador con un núcleo que consta de dos bobinas una está conectada a 
una fuente de corriente alterna. La curva de histéresis del transformador es la de la figura 2-9. 
 
La base de la operación de un transformador se puede derivar 
como: 
𝑒𝑖𝑛𝑑 =
𝑑λ
dt
 
Donde λ es el flujo concatenado en la bobina a través la cual se 
induce el voltaje. El flujo concatenado l es la suma del flujo que 
pasa a través de cada vuelta en todas las vueltas de la bobina. 
El flujo concatenado no es exactamente NΦ ya que N (Numero 
de vueltas) tiene una ligera diferencia de flujo en cada una de las 
vueltas. Sin embargo si es posible definir un promedio de flujo 
por vuelta Si el flujo ligado total en todas las vueltas de la bobina 
es l y si hay N vueltas, entonces el flujo promedio por vuelta está 
dado por: 
Φ =
λ
N
 
Y la ley de Faraday se puede escribir de la forma: 
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑁
𝑑Φ
dt
 (2.17) 
Relación de voltaje en el transformador 
Si el voltaje de la fuente es vP(t), entonces ese voltaje se aplica directamente a través de las bobinas 
del devanado primario del transformador. Cuando se resuelve la ecuación (2-17) para el flujo 
promedio presente en el devanado primario del transformador, y la resistencia del devanado es 
ignorada, el resultado es 
Φp =
1
Np
∫ 𝑣𝑝(𝑡)𝑑𝑡 
Esta ecuación establece que el flujo promedio en el devanado es proporcional a la integral del 
voltaje aplicado al devanado y la constante de proporcionalidad es la inversa del número de vueltas 
del devanado primario 1/NP. 
Este flujo está presente en la bobina primaria del transformador no todo el flujo que se produce en 
la bobina primaria pasa a través de la bobina secundaria; algunas de las líneas de flujo abandonan el 
núcleo de hierro y pasan a través del aire. Esto se representa en la figura 2-10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El flujo en la bobina primaria del transformador se puede dividir en dos componentes: un flujo 
mutuo que permanece en el núcleo y une ambos devanados, y un flujo disperso mínimo que pasa a 
través del devanado primario pero regresa a través del aire, sin cruzar por el devanado secundario: 
 
Φp = Φm + Φdp 
Donde: 
Φp = Flujo promedio primario total 
Φm = Componente del flujo que une las bobinas primarias y secundarias 
Φdp = flujo disperso en el devanado primario 
Hay una división similar del flujo en el devanado secundario entre flujo mutuo y flujo disperso que 
pasa a través del devanado secundario pero regresa a través del aire sin tocar el devanado 
primario: 
Φs = Φm + Φds 
 
Φs = Flujo promedio secundario total 
Φm = Componente del flujo que une las bobinas primarias y secundarias 
Φds = flujo disperso en el devanado secundario 
Después de un par de despejes y sustituciones tenemos: 
𝑒𝑝(𝑡)
𝑒𝑠(𝑡)
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
= 𝑎 
Esta ecuación significa que la razón entre el voltaje primario causado por el flujo mutuo y el voltaje 
secundario causado por el flujo mutuo es igual a la relación de vueltas del transformador. Puesto 
que en un transformador bien diseñado ΦM >> ΦDP y ΦM >> ΦDS la relación del voltaje total en el 
primario de un transformador con el voltaje en el secundario de un transformador es 
aproximadamente. 
Corriente de magnetización en un transformador real 
Cuando se conecta una fuente de potencia de corriente alterna a un transformador, como se 
muestra en la fi gura 2-8, la corriente fluye en su circuito primario, incluso si el circuito secundario 
está abierto. Esta corriente es la que se requiere para producir flujo en un núcleo ferromagnético 
real, consta de dos componentes: 
1. La corriente de magnetización iM, que es la que se requiere para producir el flujo en el núcleo del 
transformador. 
2. La corriente de pérdidas en el núcleo ih1e, que es la que se requiere para compensar la histéresis 
y las pérdidas de corrientes parásitas. 
Si se ignoran por el momento los efectos del flujo disperso, se puede ver que el flujo promedio en el 
núcleo está dado por: 
Φ =
VM
ωNp
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑊𝑏 
1. La corriente de magnetización en el transformador no es sinusoidal. Los componentes de las 
frecuencias más altas en la corriente de magnetización se deben a la saturación magnética en el 
núcleo del transformador. 
2. Una vez que el flujo pico alcanza el punto de saturación en el núcleo, un pequeño incremento en 
el flujo pico requiere un gran aumento en la corriente de magnetización pico. 
3. El componente fundamental de la corriente de magnetización atrasa 90° el voltaje aplicado al 
núcleo. 
4. Los componentes de las frecuencias más altas en la corriente de magnetización pueden ser 
bastante grandes en comparación con el componente fundamental. En general, cuanto más fuerte 
sea el proceso de saturación en el núcleo, mayores serán los componentes armónicos. 
El otro componente de la corriente de vacío en el transformador es la corriente que se requiere 
para compensar la histéresis y las corrientes parásitas en el núcleo. Es decir, la corriente de 
pérdidas en el núcleo. 
Relación de corriente en un transformador y la convención 
de puntos 
El significado físico de la convención de puntos es que una corriente que fluye hacia el extremo de 
un devanado marcado con un punto produce una fuerza magnetomotriz positiva F, mientras que 
una corriente que fluye hacia el extremo de un devanadono marcado con un punto produce una 
fuerza magnetomotriz negativa 
En la situación que se muestra en la fi gura 2-14, la corriente primaria produce una fuerza 
magnetomotriz positiva FP 5 NPiP, y la corriente secundaria produce una fuerza magnetomotriz 
negativa FS 5 –Nsis. Por lo tanto, la fuerza magnetomotriz neta en el núcleo debe ser: 
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑁𝑝𝑖𝑝 – 𝑁𝑠𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta fuerza magnetomotriz neta debe producir el flujo neto en el núcleo donde R es la reluctancia 
del núcleo del transformador. Debido a que la reluctancia del núcleo de un transformador bien 
diseñado es muy pequeña (casi cero) hasta que se satura el núcleo, la relación entre la corriente 
primaria y la secundaria es aproximadamente cero siempre y cuando el núcleo no esté saturado. 
Por lo tanto, 
𝑁𝑝𝑖𝑝 ≈ 𝑁𝑠𝑖𝑠 
O 
𝑖𝑝
𝑖𝑠
≈
𝑁𝑠
𝑁𝑝
≈
1
𝑎
 
 
¿Qué suposiciones se deben hacer para convertir un transformador real en el transformador ideal 
descrito previamente? Las siguientes: 
1. El núcleo no debe contener histéresis ni corrientes parásitas. 
2. La curva de magnetización debe tener la forma que se muestra en la figura 2-15. Nótese que en 
el caso de un núcleo no saturado la fuerza magnetomotriz neta es Fneta = 0, lo cual implica que NPiP 
= NSiS. 
3. El flujo disperso en el núcleo debe ser cero, lo cual implica que todo el flujo en el núcleo une a 
ambos devanados. 
4. La resistencia de los devanados del transformador debe ser cero. 
2.5 El circuito equivalente de un transformador 
Las pérdidas que ocurren en los transformadores reales deben tenerse en cuenta para obtener un 
modelo exacto del comportamiento de un transformador. Los principales aspectos que se deben 
considerar en la construcción de un modelo como éste son: 
1. Pérdidas en el cobre (I2R). Las pérdidas en el cobre son causadas por el calentamiento resistivo 
en los devanados del primario y secundario. Son proporcionales al cuadrado de la corriente en los 
devanados. 
2. Pérdidas por corrientes parásitas. Las pérdidas por corrientes parásitas son provocadas por el 
calentamientoresistivo en el núcleo del transformador. Son proporcionales al cuadrado del voltaje 
aplicado al transformador. 
3. Pérdidas por histéresis. Las pérdidas por histéresis están asociadas con la reubicación de los 
dominios magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo, como se explica en el capítulo l. Son una 
función compleja y no lineal del voltaje aplicado al transformador. 
4. Flujo disperso. Los flujos ΦDP y ΦDS que escapan del núcleo y pasan a través de sólo uno delos 
devanados del transformador son flujos dispersos. Estos flujos que escapan producen una auto 
inductancia en las bobinas primarias y secundarias; se deben tomar en cuenta los efectos de esta 
inductancia. 
Circuito equivalente exacto de un transformador real 
El efecto más sencillo de evaluar son las pérdidas en el cobre. Éstas son pérdidas resistivas en los 
devanados primario y secundario del núcleo del transformador; equivalen a la colocación de un 
resistor RP en el circuito primario del transformador y un resistor RS en el circuito secundario. 
Debido a que buena parte del recorrido del flujo disperso es a través del aire, y a que el aire tiene 
una reluctancia constante mucho mayor que la del núcleo, el flujo ΦDP es directamente 
proporcional a la corriente en el circuito primario ip, mientras que el flujo ΦDS es directamente 
proporcional a la corriente secundaria es: 
ΦDP = (FNp)ip 
ΦDs = (FNs)is 
Donde: 
F= permanencia del camino de flujo 
Np= número de vueltas en la bobina primaria 
Ns= número de vueltas en la bobina secundaria 
Sustituyendo se obtiene: 
 
 
𝑒𝐷𝑃(𝑡) = 𝐿𝑝
𝑑𝑖𝑝
𝑑𝑡
 
𝑒𝐷𝑆(𝑡) = 𝐿𝑠
𝑑𝑖𝑠
𝑑𝑡
 
Donde Lp= N2P es la auto inductancia de la bobina primaria y LS 5 N2 S3 es la auto inductancia de 
la bobina secundaria. 
 
Circuitos equivalentes aproximados de un transformador 
Una de las quejas principales sobre ellos es que la rama 
de excitación del modelo añade otro nodo al circuito que 
se analiza, lo que hace que la solución de éste sea más 
compleja de lo necesario. La rama de excitación tiene una 
corriente muy pequeña comparada con la corriente de 
carga de los transformadores. De hecho, la corriente de 
excitación es sólo aproximadamente de 2 a 3% de la 
corriente de carga total de los típicos transformadores de 
potencia. Por esta causa, se puede producir un circuito 
equivalente simplificado que funciona casi tan bien como 
el modelo original. 
 
En ciertas aplicaciones se puede omitir por completo la 
rama de excitación sin causar graves errores. En estos 
casos, el circuito equivalente del transformador se reduce 
a los circuitos simples de la figura 2-18 c) y d). 
 
 
 
 
Determinación de los valores de los componentes en el 
modelo de transformador 
Es posible determinar experimentalmente los valores de las impedancias y resistencias en el 
modelo del transformador. La prueba de circuito abierto y la prueba de cortocircuito. En la prueba 
de circuito abierto se deja abierto el circuito del devanado secundario del transformador y su 
devanado primario se conecta a una línea de voltaje pleno. En las condiciones descritas toda la 
corriente de entrada debe fluir a través de la rama de excitación hacia el transformador. Los 
elementos en serie RP y XP son demasiado pequeños en comparación con RN y XM como para 
causar una caída significativa de voltaje. 
Las conexiones de la prueba de circuito abierto se muestran en la figura 2-19. Se aplica una línea de 
voltaje pleno al primario del transformador y se miden el voltaje de entrada, la corriente de entrada 
y la potencia de entrada al transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
En la prueba de cortocircuito se hace un cortocircuito en las terminales de bajo voltaje de un 
transformador y las terminales de alto voltaje se conectan a una fuente de voltaje variable, como 
se muestra en la figura 2-20. (Esta medición se hace normalmente en el lado de alto voltaje del 
transformador, ya que las corrientes serán más bajas en aquel lado y las corrientes más bajas son 
más fáciles para trabajar.) 
Debido a que el voltaje de entrada es tan bajo durante la prueba de cortocircuito, la corriente que 
fluye por la rama de excitación es despreciable. Si se ignora la corriente de excitación, entonces 
toda la caída de voltaje en el transformador se puede atribuir a los elementos en serie en el 
circuito. 
Observe que la prueba de circuito abierto normalmente se realiza en el lado de bajo voltaje del 
transformador, y la prueba de cortocircuito por lo común se realiza en el lado de alto voltaje, de 
modo que RN y XM por lo general se encuentran referidos al lado de bajo voltaje y Req y Xeq por 
lo común se refieren al lado de alto voltaje. Todos los elementos se deben referir al mismo lado 
(ya sea alto o bajo) para crear el circuito equivalente final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2.6 
Se prueba un transformador de 1 000 VA y 230/115 V para determinar su circuito 
equivalente. Los resultados de la prueba se muestran a continuación: 
 
Prueba de circuito abierto (en el lado 
secundario). 
Prueba de cortocircuito (en el lado 
primario). 
VCAb = 115V 
ICAb = 0.11A 
PCAb = 3.9W 
VCC = 17.1V 
ICC = 8.7 A 
PCC =38.1 W 
 
a) Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de bajo 
voltaje del transformador. 
Primero tomamos como referencia el modelo siguiente que es el circuito de un 
transformador real. 
 
 
 
Para después referirlo hacia el lado de bajo voltaje y obtendríamos 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 =
𝑉𝑝
𝑉𝑠
=
230
115
= 2 
Angulo de impedancia del circuito abierto 
cos(𝜃𝐶𝐴𝑏) = (
𝑃𝐶𝐴𝑏
(𝑉𝐶𝐴𝑏)(𝐼𝐶𝐴𝑏)
) ∴ 𝜃𝐶𝐴𝑏 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
𝑃𝐶𝐴𝑏
(𝑉𝐶𝐴𝑏)(𝐼𝐶𝐴𝑏)
) 
𝜃𝐶𝐴𝑏 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
3.9𝑊
(115𝑉)(0.11𝐴)
) = 72.04° 
Admitancia de excitación es 
𝑌E =
𝐼𝐶𝐴𝑏
𝑉𝐶𝐴𝑏
=
0.11𝐴
115𝑉
(∠ − 72.04) S 
𝑌E = 0.957𝑋10−3 ∠(−72.04)(𝑆) = 0.295𝑋10−3 − 𝑗0.910𝑋10−3(S) 
Los elementos de la rama de excitación por parte de la admitancia son: 
𝑅𝑐 =
1
0.295𝑋10−3
= 3389.831 Ω 
𝑋𝑚 =
1
0.910𝑋10−3
= 1098.901 Ω 
Para los elementos de la rama de excitación referidos al lado de bajo voltaje tenemos: 
 
𝑅𝑁, 𝑆 =
𝑅𝐶
𝑎2
=
3389.831
22
= 847.458 Ω 
 
𝑋𝑀, 𝑆 =
𝑋𝑀
𝑎2
=
1098.901
22
= 274.725 Ω 
Con los datos de la prueba de corto circuito, el ángulo de impedancia de cortocircuito es: 
cos(𝜃𝐶𝐶) = (
𝑃𝐶𝐶
(𝑉𝐶𝐶)(𝐼𝐶𝐶)
) ∴ 𝜃𝐶𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
𝑃𝐶𝐶
(𝑉𝐶𝐶)(𝐼𝐶𝐶)
) 
 
𝜃𝐶𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
38.1𝑊
(17.1𝑉)(8.7𝐴)
) = 75.16° 
Impedancia en serie equivalente es: 
𝑍𝐸𝑆 =
𝑉𝐶𝐶
𝐼𝐶𝐶
(𝜃𝐶𝐶) =
17.1𝑉
8.7𝐴
(∠75.16°) = 1.966∠75.16° Ω 
𝑍𝐸𝑆 = 0.504 + 𝑗1.9 Ω 
 
𝑅𝑒𝑞 = 0.504 Ω 
𝑋𝑒𝑞 = 1.9 Ω 
Los elementos en serie referidos al lado de bajo voltaje son: 
𝑅𝑒𝑞, 𝑆 =
𝑅𝑒𝑞
𝑎2
=
0.504
22
= 0.126 Ω 
𝑋𝑒𝑞, 𝑆 =
𝑋𝑒𝑞
𝑎2
=
1.9
22
= 𝑗 0.475 Ω 
Y la impedancia está dada por: 
𝑍𝐸𝑆, 𝑆 = 𝑅𝑒𝑞, 𝑆 + 𝑗𝑋𝑒𝑞, 𝑆 = 0.126 + 𝑗0.475 Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 847.458 (𝛺) 
(𝛺) 
0.126 (𝛺) 
j 0.475(𝛺) 
j 274.725 (𝛺)