Universidad Autónoma de Madrid _ Grado matemáticas _ Asignatura_cálculo numérico_grado matemáticas_uam_ _ 00_ejercic

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UNIVERSIDAD AUTONOMA
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO NUMÉRICO I
Grado en CC. Matemáticas
Doble Grado en Ingenieŕıa Informática y Matemáticas
2013-2014
Ejercicios 1 a 9
1. [S]
1. Demostrar que el polinomio de Taylor de
f(x) = x5 + x3 + x ,
de grado 4 , en x0 = 0 es
P4(x) = x3 + x .
2. Calcular el polinomio de Taylor de
f(x) = x5 + x3 + x ,
de grado 4 , en x0 = 1 .
3. Calcular el polinomio Pn(x) de Taylor de
f(x) = 1
1 + x2 ,
de grado 2n + 1 , en x0 = 0 . Estudiar, para cada x fijo, la convergencia de
Rn(x, 0) = f(x) −Pn(x) cuando n→∞ .
4. Calcular el polinomio Pn(x) de Taylor de
f(x) = 1
1 + x , x ≠ 1 ,
de grado n , en x0 = 0 . Estudiar, para cada x ≠ 1 fijo, la convergencia de
Rn(x, 0) = f(x) −Pn(x) cuando n→∞ .
2. [S] Utilizar el polinomio de Taylor de f(x) = sinx en x0 = 0 para calcular
el de la función g(x) = sinx2 , de grado 4n + 3 , en x0 = 0 . Calcular
g(n)(0) para todo n .
3.
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1. Demostrar que si f ′′(a) existe, entonces
(1) f ′′(a) = lim
h→0
f(a − h) − 2 f(a) + f(a + h)
h2
.
2. Considérese la función
f(x) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
−x2 para x ≤ 0 ,
x2 cuando x ≥ 0 ,
para demostrar que el ĺımite en (1) puede existir aunque f ′′(a) no exista.
4. [S] Utilizar el polinomio de Taylor de las funciones f(x) = sinx y g(x) =
ex, de grado n , en x0 = 0 para determinar el valor de n que permite calcular
1. sin 1 con un error < 10−17 .
2. sin
1
2
con un error < 10−20 .
3. e2 con un error < 10−5 .
Resultará útil tabular, utilizando SAGE, los valores de n , 2n y n!
5. [A] Calcular el valor de
I = ∫
1
0
ex − 1
x
dx
con un error inferior a 10−6 .
6. [A] Utilizar el Teorema de Taylor para calcular los ĺımites
A. lim
x→0
x ex/2 + log (1 − x)
x3
B. lim
x→0
log (1 + x2)
2x
7. [A] Calcular el polinomio Pn(x) de Taylor en x0 = 0 , de grado ≤ 2n+2 ,
de la función
f(x) = log 1 + x
1 − x de los ∣x∣ < 1 .
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Estudiar el ĺımite, para cada x fijo, de
f(x) − Pn(x)
cuando n→∞ .
8. [A] Calcular el polinomio Pn(x) de Taylor en x0 = 0 , de grado ≤ n , de
la función
f(x) = ∫
x
0
log (1 + t)
t
dt .
Estudiar el ĺımite, para cada x fijo, de
f(x) − Pn(x)
cuando n→∞ .
9. [A] Calcular el polinomio Pn(x) de Taylor en x0 = 0 , de grado 2n + 2 ,
de la función
f(x) =
√
π
2
+ ∫
x
0
e−t
2
dt .
Estudiar el ĺımite, para cada x fijo, de
f(x) − Pn(x)
cuando n→∞ .
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