Ejercicios resueltos de desarrollo en Serie de Taylor

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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL. 
 
CÁLCULO INFINITESIMAL. 
 
HOJA 3: DESARROLLO DE TAYLOR. 
 
EJERCICIOS 
 
 
1. Dada la función: )1L( xy += , se pide: 
a) Desarrollo en torno al punto a = 0 
b) Intervalo de convergencia. 
c) Expresión del resto de Lagrange. 
d) Valor aproximado de L2 mediante los 4 primeros términos del desarrollo, evaluando el error cometido. 
 
2. Resolver el ejercicio anterior para la función xy sen= , aproximando el valor de sen (π / 4) mediante los 3 
primeros términos no nulos del desarrollo, y evaluando el error cometido. 
 
3. Desarrollando previamente en serie de Mc. Laurin la función xey = , obtener el valor del número e con un 
error menor de 0.001. 
 
4. Aprovechando el desarrollo del ejercicio anterior, obtener el correspondiente de la función xky = siendo k una 
constante positiva. 
 
5. Obtener los 7 primeros términos del desarrollo de Taylor en torno al punto a = 1, de la función xy = . 
Calcular mediante dichos términos el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2. Evaluar el error cometido en esta 
aproximación mediante el primero de los términos despreciados. 
 
6. Obtener los desarrollos de las funciones que se indican seguidamente, así como los correspondientes intervalos 
de convergencia: 
 
0 en 
1
1L)
0. en 
2
1)
1. en L
0. en cos)
=
−
+
=
=
+
=
==
==
a
x
xyd
a
x
yc
axyb)
axya
 
Nota: Aprovechar cuando se pueda los desarrollos ya efectuados. 
 
 
 
_________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCIONES 
 
1. 
( ) 2.0,58.0)
)1)(1(
)11)1
432
) 1
1
1
432
<
++
=≤<−+−++−+−= +
+
+ ε
θ
d
xn
xRcxb
n
xxxxxya n
n
n
n
n KK
 
 
2. 
( ) 000037.0,707143.0)
!)1(
)(
cos
sen
))
)!12(
1
!5!3
) 1
12
1
53
<
+



=∀+
−
−+−+−= +
−
+ ε
θ
dx
n
x
Rcxb
k
xxxxya nn
k
k KK
 
3. )7180.2 6 tomar quehay 0.001 (Para 
!
1 
! 00
=⇒=<=⇒= ∑∑
∞
=
∞
=
en
n
e
n
xe
nn
n
x ε 
 
4. )(
!
)L(
0
+∞<<−∞= ∑
∞
=
x
n
kxk
n
n
x 
 
5. 
 
161.0,405.12
)1(
1024
21)1(
256
7)1(
128
5)1(
16
1)1(
8
1)1(
2
11 6
65432
<≈
+−−−+−−−+−−−+=
ε
Rxxxxxxx
 
 
6. 
 
11
1297531
1L)
22
2
)1(
3216842
1
2
1)
20)1()1(
4
)1(
3
)1(
2
)1()1(L)
)!2(
)1(
!8!6!4!2
1cos)
129753
1
432
1
432
28642
+<<−+
−
++++++=
−
+
+<<−+−+−+−+−=
+
≤<+
−
−++
−
−
−
+
−
−−=
+∞<<∞−+−+−+−+−=
−
+
+
x
k
xxxxxx
x
xc
xxxxxx
x
c
x
n
xxxxxxb
x
k
xxxxxxa
k
n
n
n
n
n
k
k
KK
KK
KK
KK
 
 
 
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