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Examen de Repetición 
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (430070) 
Ingeniería Civil en Informática 
 
Profesor: Carlos Obreque N. Fecha: miércoles 19 de diciembre de 2007 
Alumno Ayudante: Germán Paredes B. 
 
Problema 1. (40 puntos) 
Considere el siguiente problema de programación lineal: 
 
Maximizar Z = 
s.a. 
321 40220 xxx ++ 
 384 321 =++− xxx 
2525 321 −≤++ xxx 
0,0,0 321 ≤≥≤ xxx 
 
a) Utilice el método Simplex para encontrar la solución óptima. 
b) Resuelva el problema dual por el método gráfico 
 
Problema 2. (30 puntos) 
Ud. tiene cuatro posibilidades de inversión A, B, C y D. Puede invertir en A o en B al principio de 
cualquiera de los cinco años siguientes. Por cada dólar invertido en A obtiene 1,5 dólares dos años 
después (a tiempo para inmediata reinversiones). Por cada dólar invertido en B, obtiene 1,8 dólares tres 
años después. Respecto de C y D, las inversiones sólo pueden hacerse en un momento determinado. En 
C, se aceptan inversiones sólo al principio del segundo año y se obtiene el doble de lo invertido, tras un 
periodo de cuatro años. En D, puede invertirse al principio del quinto año y se obtiene un 50% sobre lo 
invertido un año después. Ud. dispone de 10.0000 dólares y desea saber que plan de inversión haría 
máxima la cantidad total de dinero que pueda reunirse al principio del sexto año. Defina las variables 
de decisión y formule un modelo de programación lineal para resolver este problema. 
 
Problema 3. (30 puntos) 
Usted ha sido encargado de diseñar un plan de producción ventajoso para una empresa durante las 4 
estaciones del año. Esta empresa tiene una capacidad de producción para manufacturar 30000 unidades 
de un producto no perecible en Primavera y Otoño de este año. Debido a enfermedades, vacaciones y 
permisos, la producción será sólo de 25000 unidades en Verano e Invierno. La demanda por este 
producto también es estacional. El Departamento de Marketing ha estimado las ventas de Primavera en 
25000 unidades, en Verano 40000 unidades, 30000 unidades en Otoño y sólo 15000 unidades en 
Invierno. Los costos unitarios de producción han aumentado por la inflación y por la influencia de los 
factores estacionales, los cuales se estiman en US$80, US$85, US$82 y US$86 en Primavera, Verano, 
Otoño e Invierno, respectivamente. Cualquier exceso de producción se puede almacenar a un costo de 
US$10 por unidad almacenada durante una estación. Una unidad se vende en US$120, US$140, 
US$125 y US$105 en Primavera, Verano, Otoño e Invierno, respectivamente. En bodega había al 
comienzo (de primavera) 10000 unidades y al final (del inverno) deben haber 10000 unidades. ¿Cuál es 
la mejor opción para su plan?. Construya la tabla de transporte que permita resolver este problema y 
determine una solución básica factible. 
 
 
 
Tiempo 2 horas 
Problema 1 
 
a) Problema Original 
Maximizar Z = 
s.a. 
321 40220 xxx ++ 
 384 321 =++− xxx 
2525 321 −≤++ xxx 
0,0,0 321 ≤≥≤ xxx 
 
Se definen: y 11 xx −=′ 33 xx −=′
Forma estándar: 
Maximizar Z = 
s.a. 
321 40220 xxx ′−+′− 
 384 321 =′−+′ xxx 
2525 4321 =−′+−′ xxxx 
0,0,0,0 4321 ≥≥′≥≥′ xxxx
Problema Artificial 
Maximizar Z = 
s.a. 
65321 40220 MxMxxxx −−′−+′− 
 384 5321 =+′−+′ xxxx 
2525 64321 =+−′+−′ xxxxx 
0,0,0,0,0,0 654321 ≥≥≥≥′≥≥′ xxxxxx 
 
Base 1x′ 2x 3x′ 4x 5x 6x b 
Z 20 -2 40 0 M M 0 
5x 4 1 -8 0 1 0 3 
6x 5 -2 5 -1 0 1 2 
 
Base 1x′ 2x 3x′ 4x 5x 6x b 
Z 20-9M -2+M 40+3M M 0 0 -5M 
5x 4 1 -8 0 1 0 3 
6x 5 -2 5 -1 0 1 2 
 
Base 1x′ 2x 3x′ 4x 5x 6x b 
Z 0 6-13M/5 20+12M 4-4M/5 0 -4+9M/5 -8-7M/5 
5x 0 13/5 -12 4/5 1 -4/5 7/5 
1x′ 1 -2/5 1 -1/5 0 1/5 2/5 
 
 
Base 1x′ 2x 3x′ 4x 5x 6x b 
Z 0 0 620/13 28/13 -30/13+M -28/13+M -146/13 
2x 0 1 -60/13 4/13 5/13 -4/13 7/13 
1x′ 1 0 -11/13 -1/13 2/13 1/13 8/13 
 
x1 = -8/13; x2 = 7/13 , x3 = x4 = x5 = x6 = 0; Z* = -146/13 
 
 
Dual 
Minimizar Z = 
s.a. 
21 23 yy − 
 2054 21 ≤+− yy 
22 21 ≥+ yy 
4058 21 ≤+ yy 
0, 21 ≥ynrsy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
A1 A2 A3 A4 
C 
x1 x2 x3 x4 x5 
D 
B1 B2 B3 
 
 
 
 
Ai = Dinero invertido en bonos A en el periodo i. 
Bi = Dinero invertido en bonos B en el periodo i. 
C = Dinero invertido en bonos C en el periodo 2 
D = Dinero invertido en bonos D en el periodo 5 
xi = Dinero no invertido en el periodo i 
 
Maximizar Z = 2C + 1,5A4 + x5 + 1,8B3 +1,5 D 
Sujeto a: 
A1 + x1 + B1 = 10000 
C + A2 + B2 + x2 = x1 
A3 + x3 + B3 = x2 + 1,5A1 
A4 + x4 = x3 + 1,5A2 + 1,8B1 
X5 + D = x4 + 1,5A3 + 1,8B2 
Ai , Bi C, D, xi > 0 
 
 
 
 
 
Problema 3. 
 
 
 Inicio
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Primavera Verano Otoño Invierno Final Oferta 
11 120 11 140-10 11 125-20 111 105-30 111 -40 
Inicio 
 
10000 
 
 120-80 140-80-10 125-80-20 105-80-30 -80-40 
Primavera 
 
30000 
 
 -M 140-85 125-85-10 105-85-20 -85-30 
Verano 
 
30000 
 
 -M -M 125-82 105-82-10 -82-20 
Otoño 
 
25000 
 
 -M -M -M 105-86 -86-10 
Invierno 
 
25000 
 
Demanda 25000 40000 30000 15000 10000 
 
 
 
Solución básica factible (n+m-1 = 5+5-1 = 9) mediante el método de la Esquina Nor-Oeste 
 
 Primavera Verano Otoño Invierno Final Oferta 
11 120 11 130 11 105 111 75 111 -40 
Inicio 10000 
 
10000 
 
 40 50 25 -5 -120 
Primavera 15000 15000 
 
30000 
 
 -M 55 30 0 -115 
Verano 25000 5000 
 
30000 
 
 M M 43 13 -102 
Otoño 25000 0 
 
25000 
 
 M M M 19 -96 
Invierno 15000 10000 
 
25000 
 
Demanda 25000 40000 30000 15000 10000 
 
 
 
Z* = 4.475.000 dólares 
Primavera
Otoño
Verano
Invierno
Final
Primavera
Otoño
Verano
10000
30000 25000
25000 40000
30000 30000
Invierno25000 15000
10000