AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica I - Problemas IDR

Vista previa del material en texto

AERODINÁMICA I A-1
EJERCICIO A01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En un túnel aerodinámico cuya cámara de ensayos es bidimensional se ensaya un perfil de cuerda 
c a un cierto ángulo de ataque α. La presión en las secciones de entrada y salida de la cámara de 
ensayos es constante y de valor p∞ y la velocidad en dichas secciones es constante, horizontal y de 
valor U∞. La distribución de presiones sobre las paredes superior, ps, e inferior, pi, del túnel, 
medidas durante el ensayo son 
 
2
2
( ) cos
2 , / 2
( ) cos
2
s
i
xp x p U
l x l
xp x p U
l
ε πρ
ε πρ
∞ ∞
∞ ∞
⎫= − ⎪⎪ ≤⎬
⎪= +
⎪⎭
, 
siendo ps(x) = pi(x) = p∞ en |x| > l/2. Supuesto ε << 1, 
determine las fuerzas que el fluido ejerce sobre el 
perfil. 
 
Solución 
Tomando un volumen de control rectangular, se tiene ( )V V n pn Fρ ⋅ = − −∫ ∫ .La fuerza horizontal 
es nula pues las condiciones a la entrada y la salida son iguales. La fuerza vertical es 
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
( )d cos d 2
l l
i s
l l
x ll p p x U x U
l
περ ε ρ
π∞ ∞
− −
= − = =∫ ∫ 
 
EJERCICIO A02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida esquematizada en la figura formada por un torbellino potencial 
bidimensional de intensidad Γ, situado a una altura h sobre un suelo plano en presencia de una 
corriente incidente de velocidad U∞. Determine la fuerza sobre el torbellino en el caso Γ = 12 m2/s, 
h = 3/π m, ρ = 1,2 kg/m3 y U∞ = 11 m/s. Determine también para qué valor de la velocidad de la 
corriente incidente se presenta un punto de 
remanso en el suelo plano, justo en la vertical 
del torbellino (suponga, igual que antes Γ = 12 
m2/s, h = 3/π m y ρ = 1,2 kg/m3), y, en este 
caso, esquematice las líneas de corriente 
divisorias, indicando claramente los valores de 
los ángulos que forman estas líneas divisorias 
con el suelo cerca del punto de remanso 
considerado. 
 
Solución 
Para satisfacer la condición de contorno en el suelo plano se puede aplicar el método de las 
imágenes, de modo que el enunciado propuesto es equivalente a una corriente uniforme en 
presencia de dos torbellinos separados verticalmente entre sí una distancia 2h, el de arriba de 
intensidad Γ y el de abajo de intensidad –Γ. La velocidad en el ojo del torbellino considerado será 
pues: ( )/ 4U U hπ∞= − Γ , y la fuerza sobre el torbellino F = ρΓU. Con los datos del enunciado la 
velocidad inducida por el torbellino imagen es Γ/(4πh) = 1 m/s, de modo que la fuerza pedida vale 
144 N/m. El punto de remanso sobre el eje estará en el lugar pedido 
cuando sea ( )/U hπ∞ = Γ , es decir U∞ = 4 m/s, y en tal caso las líneas 
de corriente divisorias son como se indica en el esquema (el punto de 
remanso es doble). 
60º 60º 
h 
Γ 
U∞ 
z 
x 
x 
z 
p∞, 
U∞ 
p∞, 
U∞ 
l/2 l/2 
c 
AERODINÁMICA I A-2
EJERCICIO A03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida bidimensional formada por una corriente uniforme de 
intensidad U∞ paralela al eje x y un doblete 
de eje horizontal, de intensidad −kU∞a2. 
Determine la posición de los puntos de 
remanso y haga un esquema de las líneas de 
corriente divisorias. 
 
Solución 
El potencial complejo es 
( )
2kaf t U t
t∞
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
y la velocidad conjugada 
2
2
d 1
d
f kaU
t t∞
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
que se anula en it a k= ± . 
 
EJERCICIO A04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una edificación bidimensional, cuya forma externa es una semicircunferencia de radio 
a, situada sobre un suelo plano y sometida a una corriente potencial de intensidad U∞. En una cierta 
posición θ0 hay una pequeña ranura que 
comunica el interior de la edificación con el 
exterior. Determine el valor de θ0 para el que la 
carga aerodinámica global sobre la edificación es 
nula. 
 
Solución 
El coeficiente de presión sobre la edificación es el mismo que el de un cilindro circular de radio a, 
para el que, como es sabido, es f(t) = U∞(t+a2/t), U−iW = U∞(1−a2/t2). 
En t = aeiθ se tiene U−iW = U∞(1−e−2iθ); ⏐(U−iW )/U∞⏐2 = (1−cos2θ)2+sin22θ = 4sin2θ , de modo 
que cp = 1−⏐(U−iW )/U∞⏐2 = 1−4sin2θ . 
La carga aerodinámica sobre la superficie exterior de la edificación es 
 ( )2 2 2 2
0 0
1 1 5( )sin 1 4sin sin
2 2 3p
l U a c d U a d U a
π π
ρ θ θ θ ρ θ θ θ ρ∞ ∞ ∞= − = − − =∫ ∫ , 
y la carga sobre la superficie interior es 2 0
1 2
2 p
U acρ ∞− . Así pues, igualando ambas cargas se 
obtiene que el valor del coeficiente de presión en el interior ha de ser cp0 = −5/3, de donde se 
obtiene el resultado pedido: 0sin 2 3θ = (o bien θ0 ≅ 54,7º). 
 
EJERCICIO A05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la fuerza que sería preciso ejercer sobre un torbellino 
bidimensional de intensidad Γ = π m2/s en presencia de paredes rectas 
semi-infinitas, tal como se ha representado en la figura, para que el 
torbellino se mantenga fijo en su posición t0 = aeiπ/4. Suponga que la 
densidad del fluido vale ρ = 1 kg/m3 y que la distancia al origen, a, vale 1 
m. 
 
x 
z 
U∞ 
doblete 
θ0 
a 
U∞ 
π/4 
a 
Γ 
AERODINÁMICA I A-3
Solución 
Para reproducir las paredes rectas se aplica el método de las imágenes, de 
modo que el problema propuesto es análogo al formado por cuatro 
torbellinos dispuestos como se indica en la figura. Para determinar la 
fuerza sobre el torbellino habrá que calcular la velocidad inducida por las 
singularidades imagen en el eje del torbellino. Estas velocidades valen 
Γ/(2πd), siendo d la distancia desde el eje del torbellino de interés y el eje 
de cualquiera de los otros (d = 2a en el caso del torbellino imagen situado 
en la bisectriz del tercer cuadrante y 2d a= para los otros dos 
torbellinos imagen). Sumando vectorialmente las distintas velocidades, el módulo de la resultante es 
4
V
a
Γ
π
= , de modo que el módulo de la fuerza vale 
2
4
F V
a
ρΓρΓ
π
= = 
 
EJERCICIO A06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un doblete bidimensional de intensidad ka2 
m3/s, situado en el centro de un dominio fluido circular 
de radio a m. Sabiendo que el eje del doblete forma un 
ángulo π/2 con el eje x, determine la posición de los 
puntos del contorno donde la velocidad es mínima y 
donde la velocidad es máxima, indicando los valores 
vectoriales (módulo, dirección y sentido) de dichas 
velocidades mínima y máxima. Determine también la 
fuerza que el doblete ejerce sobre el contorno del 
dominio fluido 
 
Solución 
El potencial complejo de un doblete bidimensional aislado de intensidad ka2, cuyo eje forma un 
ángulo π/2 con el eje x, es ( ) 2i /F t ka t= . Al considerar la existencia de un contorno circular de 
radio a que rodea al doblete será ( ) 2i /F t ka t= − , y entonces ( )2 / iF a t kt= − , de modo que el 
potencial complejo del problema propuesto es ( ) ( )2if t k t a t= − − , que representa un doblete 
como el propuesto en presencia de una corriente uniforme vertical de intensidad k, problema 
conocido cuya velocidad conjugada vale ( )2 2d d i i 1f t U W k a t= − = − + , que se anula en t = ±ia 
(puntos de remanso) y es máxima en t = ±a, donde la velocidad vale W = 2k. La fuerza sobre el 
contorno es la misma, en módulo, que la fuerza sobre el doblete en la corriente uniforme, que, 
obviamente, es cero. 
 
EJERCICIO A07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida bidimensional formada por un 
torbellino de intensidad Γ = 3π m2/s, situado en (0,2a), en presencia de 
un círculo de radio a = 2 m. Sabiendo que la circulación alrededor del 
cilindro es nula, determine la diferencia entre las presiones en los puntos 
B(0,−a) y A(0,a), Δp = pB−pA. Suponga que la densidad del fluido vale 
ρ = 1 kg/m3. 
 
Solución 
El potencial complejo es ( ) ( )12( ) ln 2 ln ln2
if t t ia t t iaΓ
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ , 
x 
z 
2a 
a 
Γ 
B 
A 
x 
z 
a 
a 
a 
ka2 
AERODINÁMICA I A-4
y la velocidad conjugada: 
1
2
1 1 1
2 2
df iU iW
dt t ia t t iaΓ
π
⎛ ⎞
= − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. En t = ia (punto A) será U
a
Γ
π
= − , y en t = −ia (punto B) 
se tiene 
3
U
a
Γ
π
= − , de modo que, aplicando Bernoulli, resulta
2
B A 2 2
4
9
p p
a
ρΓ
π
− = , o bien, tomando 
los valores de Γ y ρ propuestos: 24p aΔ = Pa. 
 
EJERCICIO A08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Como es sabido, el potencial complejo f(t) = Bt1/2, siendo t = reiθ y B un parámetro real, 
representa el flujo de rebordeo alrededor del extremo de una placa plana. Sabiendo que la densidad 
del fluido es ρ, determine la fuerza que aparece sobre la placa, indicando claramente su magnitud, 
dirección y sentido. 
Compare el campo de velocidades dado por el potencial complejo anterior con el que resulta de 
aplicar la transformación de Yukovski para determinar el flujo potencial alrededor de una placa 
plana, definida en el intervalo [−2a,2a] como se indica en 
la figura, que vuela a través del aire en calma en régimen 
estacionario con un ángulo de ataque α; el campo de 
velocidades de este segundo problema es: 
1 tan
2
U U θα∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, siendo ξ = 2acosθ, y α << 1. 
Determine el valor del parámetro B y demuestre que se cumple la paradoja de D´Alembert en el 
flujo potencial estacionario alrededor de una placa plana que vuela con ángulo de ataque pequeño 
en un medio fluido en reposo. 
 
Solución 
La velocidad conjugada vale 1/ 2d 1 cos isin i
d 2 2 22
f BBt U W
t r
θ θ− ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Estableciendo el 
balance de cantidad de movimiento en la dirección del eje x en un volumen de control como el 
indicado, como n = icosθ+jsinθ, se tiene: 
 
1
( )dF U sρ− = =∫ V ni 
 
22
0
cos cos cos sin sin d
4 2 2 2
B r
r
π
ρ θ θ θθ θ θ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 
 ( )
22
2
0
11 cos d
8 4
B B
π
ρ θ θ πρ= + =∫ . 
Por otra parte, cerca del borde de ataque de la placa plana, en la solución de Yukovski, tal como se 
explica en el apartado 3.8, la velocidad en el intradós se comporta como 
 
 1 cos 2tan 2
2 1 cos 2
a aU U U U
a
θ θ ξα α α α
θ ξ ε∞ ∞ ∞ ∞
− −
= =
+ +
, 
 
siendo ε = 2a+ξ la distancia al borde de ataque. De aquí se obtiene B = 4αU∞a1/2, y el resto es 
análogo a lo explicado en el mencionado apartado 3.8. 
 
U∞ ξ 
η 
α 
−2a 2a 
Plano τ 
x 
z 
θ 
n 
r 
1 
2 
AERODINÁMICA I A-5
EJERCICIO A09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un obstáculo bidimensional cuya sección recta, tal como se indica en la figura, es un 
triángulo equilátero de lado L = 0,1 m, sometido a una corriente 
incidente de densidad ρ = 1,2 kg/m3 y de velocidad U∞ = 50 m/s. 
Suponiendo que en cada una de las caras del obstáculo la distribución 
de presión es constante y de valor p1 = 11,2 kPa, p2 = 9,4 kPa, y 
p3 = 11,2 kPa, donde los subíndices 1, 2 y 3 indican la cara 
correspondiente, determine el valor del coeficiente de resistencia 
aerodinámica del obstáculo sabiendo que la presión estática corriente 
arriba del obstáculo vale 10 kPa. 
 
Solución 
Como los coeficientes de presión son constantes y el ángulo que forman las caras anteriores del 
prisma con la vertical es π/6, será 
( )1 3 2 1 3 21 1cos cos6 6 2d p p p p p pc c L c L c L c c cL
π π⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
y teniendo en cuenta que cp1 = cp3 resulta finalmente cd = cp1−cp2, donde 21
2
i
pi
p pc
Uρ
∞
∞
−
= . 
EJERCICIO A09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento potencial bidimensional de un 
líquido de densidad ρ = 2 kg·m−3 alrededor de un cilindro 
circular sin circulación de radio R = 1 m. Sabiendo que la 
velocidad U∞ del fluido es uniforme corriente arriba y que las 
presiones sobre el cilindro en los puntos A y B valen PA = 1500 
Pa y PB = 600 Pa, calcule el valor de la velocidad U∞. 
 
Solución 
El potencial complejo del problema es f(t) = U∞(t+R2/t), de modo que la velocidad conjugada vale 
df/dt = U∞(1−R2/t2). Así pues en t = −R (punto A) la velocidad es nula (punto de remanso) y en 
t = −iR (punto B) vale 2U∞. 
Por tanto: ( )212 2A BP P Uρ ∞= + , de donde se deduce que ( )12 2 A BU P P ρ∞ = − . 
 
EJERCICIO A10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento potencial bidimensional generado 
por un manantial de gasto Q = 4 m2·s−1 situado a una altura 
h = 1/π m sobre un suelo plano, en el que existe otro manantial 
que inyecta el mismo gasto Q en el semiplano considerado. Si la 
densidad de fluido es ρ = 1,2 kg·m−3, calcule la fuerza sobre el 
manantial situado en (0,h). 
 
Solución 
Al aplicar el método de las imágenes se obtienen tres manantiales, uno en el origen de intensidad 
2Q, y otros dos, ambos de intensidad Q, situado uno en (0,h) y el otro en (0,−h). La velocidad 
inducida por los dos manantiales inferiores en (0,h) es: 2 1 1 5
2 2 2 4
Q Q Qw
h h hπ π π
= + = , de forma que la 
fuerza sobre el manantial en consideración es, en módulo: 
25
4
QF Qw
h
ρρ
π
= = . 
 
1 
2 
3 
U∞ 
U∞ 
x 
z 
B 
A 
x 
z 
Q 
Q 
h 
AERODINÁMICA I A-6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 60 120 180 240 300 360
θ [grados] 
cp 
EJERCICIO A11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine el valor de los parámetros (reales) A, B, D y E, para que la velocidad conjugada, df/dt, 
dada por la expresión 
 d 1i ( i) ; i
d
f A B D E t x z
t t
= + + + = + 
represente el flujo bidimensional alrededor de 
un perfil de cuerda c de un fluido de densidad 
ρ que incide con velocidad U∞ y ángulo α 
con la dirección del eje x, como se indica en 
la figura. El perfil proporciona una 
sustentación l. Exponga claramente las condiciones que impone para determinar los parámetros 
pedidos. 
 
Solución 
La velocidad conjugada es d 1( )
d
f B Di E Hi
t t
= + + + . Las condiciones que deben cumplirse son que 
el potencial lejos del perfil puede describirse como una corriente incidente más un torbellino 
relacionado con la sustentación. Como el perfil es una línea de corriente cerrada no puede aparecer 
ningún término de tipo manantial. Así pues, 1) Corriente incidente: ieB Di U α−∞+ = , es decir, 
cos ; sinB U D Uα α∞ ∞= = − . 2) Manantial nulo: E = 0 y b3) Sustentación: 
Γ
2π 2π
lH
Uρ ∞
= = . 
 
EJERCICIO A12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un cilindro circular de radio a en presencia de una corriente uniforme de intensidad 
U∞. El cilindro está girando con velocidad angular Ω. Sabiendo que la circulación sobre el cilindro 
vale Γ = 2πa2Ω, dentro de la validez de la teoría potencial, 
calcule en función del parámetro k = aΩ/U∞ la expresión del 
coeficiente de presión sobre el cilindro, y represente dicha 
expresión en el gráfico adjunto en el caso k = 1/2. 
 
Solución 
( )
2 i ln
2π
af t U t t
t∞
⎛ ⎞ Γ
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
2 2 2
2 2 2
d i i1 1 1 i
d 2π 2π
f a a a a a aU U U k
t a t aU t tt t t∞ ∞ ∞∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= − + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( ) ( )
i
2i i i i i i
e
1 d 1 e i e e e e i ie 2sin
d t a
f k k k
U t θ
θ θ θ θ θ θ θ− − − − −
∞ =
= − + = − + = + , 
( )
2
21 d1 1 2sin
dp
fc k
U t
θ
∞
= − = − + , 
Puntos de remanso: cp(θ) = 1, o bien sinθ = k/2 
= 1/4 si k = 1/2, es decir θ ≈ 15º. 
Además con este valor de k se tiene: 
cp(90º) = –5/4 = –1.25, y 
cp(270º) = –21/4 = –5.25, 
de modo que la representación es la de la figura 
 
c U∞ 
α x 
z 
U∞ 
2a Ω 
AERODINÁMICA I A-7
EJERCICIO A13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Para ciertos valores de n y m la función 1( , ) n nx z x mxzφ += − representa el potencial de 
velocidades de un flujo bidimensional de un líquido ideal. Determine en ese caso la ecuación de las 
líneas de corriente divisorias. 
 
Solución 
El potencial de velocidades debe cumplir Δφ = 0, es decir 1 2( 1) ( 1) 0n nn nx mnx n zφ − −Δ = + − − = , 
que se cumple para n = 2 y m = 3, luego 3 23x xzφ = − . 
La función de corriente se obtiene de la condición 2 2 2 23 3 3( )z x x z x zψ φ= = − = − , de modo que 
2 33 ( )x z z g xψ = − + , y aplicando la condición x zψ φ− = se obtiene g(x) = cte.El punto de remanso es x = 0 y z = 0 y la ecuación de la línea de corriente que pasa por ese punto es 
2 33 0x z zψ = − = , es decir, las líneas de corriente divisorias son z = 0 y 3z x= ± . 
 
EJERCICIO A14 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la posición de los puntos de remanso y dibuje las 
líneas de corriente divisorias de la configuración 
representada en la figura. Suponga Γ = kU∞a, con k = 2π . 
 
 
Solución 
( )( ) i ln( ) ln( ) 1
2
kaf t U t a t a
π∞
⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
i , si =2
0 1
/ 2, si =3 / 4
PR
PR
PR
t a kdf kt a
t a kdt
π
ππ
= ±⎧
= → = − ⎨ = ±⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO A15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil que se mueve con velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal de densidad ρ, 
de manera que el campo de velocidades se puede describir por la velocidad conjugada dada por la 
expresión d 1 2( i ) ln
d 1
f t pp m
t t t
−
= − + −
+
. Determine la sustentación generada por el perfil. 
 
Solución 
Cuando t →∞ es d 2 2 2i( i )
d
f p mp m
t t t t
+ − = , por lo tanto, Γ = 4πm y l = 4π ρU∞m. 
 
x 
z 
U∞ 
Γ (−a,0) −Γ (a,0) 
AERODINÁMICA I A-8
EJERCICIO A16 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional representada en 
la figura, formada por un manantial potencial en presencia de 
un obstáculo de sección circular de radio a = 1/π m. Sabiendo 
que la presión dinámica medida sobre el cilindro, en el punto 
(0, a), vale 60 Pa, determine la intensidad del manantial, Q. 
Suponga que la densidad del fluido es ρ = 1,2 kg·m−3. 
 
Solución 
( )( ) ln 2 ln ln
2π 2
Q af t t a t t⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, 
d 1 2 1
d 2π 2 2
f Q
t t a t a t
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
; 
i
2d 1 2 1 2
d 2π 2 i 1 2i i 5π
d
t a
pf Q Q U
t a a ρ=
⎡ ⎤= + − = = =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
, de donde resulta Q = 25 m2/s. 
 
EJERCICIO A17 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Suficientemente lejos de un cierto obstáculo bidimensional, la velocidad conjugada, df/dt, del 
movimiento generado por una corriente uniforme de un líquido ideal, de densidad ρ y de intensidad 
U∞, alrededor de dicho cuerpo se puede aproximar por la expresión 
( )
2
i id
d
M N t K Jf U
t t∞
+ + +
= + 
donde A, B, C y D son constantes reales conocidas. Determine la fuerza que se ejerce sobre el 
obstáculo. 
 
Solución 
A la vista de la velocidad conjugada, df/dt = U∞ + (M + iN)/t + (K + iJ)/t2, el comportamiento a gran 
distancia de las singularidades que representan el cuerpo es equivalente a una corriente incidente 
U∞, un manantial de gasto Q = 2πM en el origen de coordenadas, un torbellino de intensidad 
Γ = 2πN, también en el origen, y un doblete, de igual manera en el origen. 
La fuerza sobre el doblete es nula, sobre el torbellino (teorema de Kutta-Yukovski) vale ρΓU∞ez 
(donde ez es el vector unitario según el eje z), y sobre el manantial −ρQU∞ex. Así pues, la fuerza 
total es 2πρU∞(−Qex + Γez). 
 
EJERCICIO A18 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida formada por una corriente uniforme de intensidad U, dos 
manantiales de intensidad Q , uno en el origen y otro en (–a,0) y un sumidero de intensidad –2Q, 
situado en (a,0), como se indica en la figura. Razone dónde han de estar los puntos de remanso y 
haga un esquema indicando éstos y las líneas de corriente divisorias. Sabiendo que la función de 
corriente es nula, Ψ = 0, en la parte positiva del eje x, corriente abajo del sumidero, escriba el valor 
de Ψ en las líneas de corriente divisorias en el semiplano superior. 
 
Solución 
 
 
 
 
 
2a 
a Q 
x 
z 
U Q Q –2Q 
x 
z 
Ψ=0 
Ψ=0 
Ψ=0 
Ψ=Q/2 
Ψ=–Q Ψ=–Q/2 Ψ=0 Ψ=0 
AERODINÁMICA I A-9
EJERCICIO A19 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Sabido es que el flujo alrededor de cuerpos romos a altos números de Reynolds la presión en la 
cara de barlovento del cuerpo se asemeja mucho a la proporcionada por la solución potencial, 
mientras que en la cara de sotavento la corriente normalmente está desprendida. Para evaluar el 
valor de la resistencia aerodinámica de un cable de sección circular de radio r = 2 cm, sometido a 
una corriente uniforme de un fluido de densidad ρ = 1,2 kg/m3, cuyas propiedades corriente arriba, 
velocidad y presión estática, valen U∞ = 50 m/s y p∞ = 105 Pa, respectivamente, se supone que en la 
cara anterior, 0 ≤ ⏐θ⏐ ≤ π/2, es válida la solución potencial, mientras que en la cara posterior, 
π/2 ≤ ⏐θ⏐ ≤ π, donde la corriente se supone desprendida, la presión es uniforme y de valor igual a 
la alcanzada donde se produce el desprendimiento,⏐θ⏐ = π/2. Determine el valor de la resistencia 
aerodinámica por unidad de longitud de cable. 
 
Solución 
El coeficiente de presión vale cp = 1−4sin2θ en la cara de barlovento y cp = −3 en la de sotavento. 
La contribución de la cara anterior a la resistencia inducida es 
( )
/ 2 / 2
2
0 0
22 cos d 2 1 4sin cos d
3p
q r c q r q r
π π
θ θ θ θ θ∞ ∞ ∞= − = −∫ ∫ 
y la contribución de la cara posterior vale 6 q∞r, de modo que sumando ambas contribuciones la 
resistencia aerodinámica vale16
3
q r∞ , y como q∞ = 1500 Pa, se tiene d = 10
4r N/m2. Por tanto 
d = 80 N/m si r = 1 cm, y d = 160 N/m si r = 2 cm. 
 
EJERCICIO A20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura adjunta se ha representado en función del número de Reynolds, Re = 2aU∞/ν, el 
coeficiente de resistencia cD de esferas de radio a sometidas a una corriente uniforme U∞. La línea 
de puntos representa el comportamiento real y la línea continua gruesa la aproximación que se 
propone utilizar en este ejercicio. En el esquema se ha dibujado un mecanismo formado por dos 
esferas, de radios a y ka, con k>1, unidas entre sí mediante una varilla (irrelevante desde el punto de 
vista aerodinámico). La varilla está anclada a un punto fijo mediante una articulación. Supuesto que 
a = 0,15 m, U∞ = 10 m/s, y ν = 1,5×10–5 m2/s, determine el valor de k para que la configuración del 
esquema (con la varilla que une las esferas perpendicular a U∞) sea de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Para que sea posición de equilibrio las dos fuerzas de resistencia han de ser iguales, es decir 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
104 105 106 Re 
cD 
U∞ 
2a 
2ka 
20a 
20a 
AERODINÁMICA I A-10
2 2 2 2 2
1 2
1 1π π
2 2D D
U a c U k a cρ ρ∞ ∞= , de donde se deduce k = (cD1/cD2)
1/2. Como el número de Reynolds 
de la bola de arriba es 2×105 y el de la de abajo es 2k×105, siempre que este último sea mayor de 
4×105 hay equilibrio, pues entonces cD1/cD2 = 5 y por tanto k = 51/2 > 2. 
 
AERODINÁMICA I B-1
EJERCICIO B01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la velocidad en el punto x=0, 
z=aπ/2 que produce un torbellino de 
intensidad Γ situado en x = aln2, z = aπ/2 
situado en el interior de un semicanal de 
anchura aπ tal como se indica en la figura. 
 
Solución 
Se sabe que la transformación τ = aet/a, 
transforma un canal de altura aπ en el plano 
t (esquema 1) en un semiplano en el plano 
τ. El problema en el plano transformado es el indicado en el esquema 2: un torbellino en presencia 
de un suelo plano con un obstáculo semicircular, y se desea conocer la velocidad en el transformado 
del punto A’, que es (0,ia). El problema del esquema 2 es equivalente al representado en el esquema 
3, dos torbellinos en presencia de un cilindro circular de radio a. Aplicando en teorema del círculo 
el potencial complejo es el correspondiente al representado en el esquema 4. La velocidad debida a 
estas singularidades en el punto A es 1 2 2 1 4
2 3 3 3
U
a a a a aτ π π
Γ Γ⎛ ⎞= − − + − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y por tanto, la 
velocidad en el punto A’ es 
A A A
d d d d 4i i
d d d d 3
f fU W U
t t t aτ
τ τ
τ π′ ′ ′
Γ
= − = = = − , es decir 4
3
W
aπ
Γ
= 
 
 
 
 
 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
A’ 
Esquema 1 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 
Esquema 2 
A 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 2a 
−Γ 
A 
Esquema3 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
2a 
−Γ 
a/2 
a/2 
A 
Esquema 4 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
AERODINÁMICA I B-2
EJERCICIO B02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional representada en la figura formada por un suelo plano 
sobre el que se levanta una colina cuya forma es un arco de circunferencia. Se desea conocer el 
valor de la velocidad sobre la colina en función de la altura de la misma. Para determinar el valor de 
dicha velocidad, transforme el problema propuesto en otro de solución conocida aplicando 
consistentemente una transformación bilineal y las transformaciones auxiliares que sean necesarias. 
Calcule el potencial complejo del problema transformado y el potencial complejo en el plano del 
problema inicial. Calcule la velocidad conjugada en el problema inicial y esquematice la función 
U(0,h)/U∞, donde h = 2H/L. Para expresar los resultados utilice los siguientes parámetros: 
πβ
π γ
=
−
, 1 2
2tan
1
h
h
γ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Nota: para adimensionalizar 
utilice como longitud carac-
terística la distancia L/2. 
 
Solución 
Sean x = 2X/L, z = 2Z/L, 
t = x+iz; la transformación bilineal τ = (t−1)/(t+1) transforma el problema propuesto en un doblete 
de intensidad 2U∞ situado en (1,0) en presencia de un contorno como el indicado (plano τ), y la 
transformación τ’ = τβ, transforma este segundo problema en un doblete de intensidad 2βU∞ situado 
en el punto (1,0) del plano τ’. Así pues: 
( ) 2
1
Uf βτ
τ
∞′ =
′−
, ( ) 2
1
Uf β
βτ
τ
∞=
−
, ( ) 2
11
1
Uf t
t
t
β
β ∞=
−⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠
. 
Por tanto ( ) ( )
( ) ( )
12
2
2
1
i 4
1 1
t
f t u w U
t t
β
β β
β
−
∞
−
= − =
⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦
, que en t = 0+ih vale 
2
21
Uw
h
β ∞=
+
. 
 
 
 
 
 
Para esquematizar la variación de U(0,h)/U∞ = w(0,h)/U∞ con la altura adimensional h basta con 
tener en cuenta que cuando h = 0 no existe colina, con lo que será U(0,h)/U∞ = 1, y que cuando 
h = 1 la colina es una semicircunferencia, en cuyo caso es bien conocido que U(0,h)/U∞ = 2 
(recuérdese que, en un flujo potencial, el mínimo del coeficiente de presión sobre un cilindro 
circular vale –3). 
 
EJERCICIO B03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una familia de perfiles de forma 
elíptica, tal como se indica en la figura. 
Determine, en función del parámetro k, 
(0 ≤ k ≤ 1/2) el valor de la velocidad máxima 
sobre el perfil. 
 
Solución 
La transformación de Yukovski, τ = t + a2/t, 
transforma una circunferencia del plano t, de radio ma, con m ≥ 1 en una elipse en el plano τ. 
2U∞ γ 
Plano τ 
2βU∞ 
Plano τ’ 
X 
H 
Z 
−L/2 L/2 
U∞ γ 
c 
kc 
x 
z 
U∞ 
AERODINÁMICA I B-3
Analizando los puntos de corte con los ejes se tiene, para el eje horizontal: 1 1
2
cm
m a
+ = , y 
1 cm k
m a
− = , para el vertical. De estas dos expresiones se obtienen los valores de m y c/a, que 
resultan ser 
2
4
1 4
c
a k
=
−
, 
2
1 2
1 4
km
k
+
=
−
. La velocidad máxima en el plano t (la solución de una 
corriente incidente con un doblete) es bien conocida y vale Umax = 2U∞. En el plano de la elipse es 
( )
2
max 2
i i
d 12 2 2 1 2
d d d 1kc t ma
t mU U U U k U
t mττ τ
∞ ∞ ∞ ∞
= =
= = = = +
+
. Nótese que cuando k = 0 (placa 
plana) la velocidad vale U∞, y que en el caso k = 1/2 (cilindro circular) la velocidad máxima vale 
2U∞, como era de esperar. 
 
EJERCICIO B04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se ha representado una 
configuración bidimensional formada por un 
cilindro de sección elíptica (de semiejes de 
longitud 5a/2 y 3a/2) y un manantial potencial 
de intensidad Q situado en el punto (0,15/4), 
del que emana fluido de densidad ρ. Calcule la 
fuerza, F, ejercida por el manantial sobre el 
cilindro de sección elíptica. 
 
Solución 
La fuerza sobre el cilindro elíptico es igual y 
contraria a la fuerza sobre el manantial, y la 
fuerza sobre éste, en módulo, es ρWQ, donde 
W es la velocidad (vertical) inducida en el ojo 
del manantial por todas las singularidades del problema excepto por ella misma. 
Para calcular esta velocidad, mediante la transformación de Yukovski τ = t+a2/t, se transforma el 
problema propuesto (plano τ) en un manantial en presencia de un cilindro circular centrado en el 
origen, de radio ka con k>1 (plano t). Transformando cualquiera de los puntos de corte de la 
circunferencia con los ejes se obtiene el valor de k; por ejemplo, en t = ika es τ = ia(k−1/k) = 3ia/2, 
de donde resulta k = 2. Como el homólogo de τ = 15ia/4 es t = 4ia, el problema a resolver en el 
plano t es un manantial de gasto Q, situado en (0,4ia), en presencia de un cilindro circular en el 
origen de radio 2a, cuyo potencial complejo es 
 ( ) ( ) ( ) ( )ln 4 ln ln
2
Qf t t ia t ia t
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ . 
Así pues, la velocidad en el plano τ debida a todas las singularidades del problema, en el entorno 
del ojo del manantial, es 
 
2
2 215
44 4
( ) ( ) 1 1 1 1' '
2 4ia t iat ia
dF df t Q tU iW dd dt t ia t ia t t adtτ
τ
ττ π→ →→
⎛ ⎞= − = = + −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
, 
y excluyendo la propia singularidad 
 
2
2 2 15
4
4
1 1 1 1
2 4 15 4 ia
t ia
Q tU iW
t ia t ia t iat a τπ τ →→
⎡ ⎤
⎛ ⎞⎢ ⎥− = + − −⎜ ⎟⎢ ⎥− − −−⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
(0,−3/2) 
(0,3/2) 
(5/2,0) (−5/2,0) 
z/a 
x/a 
Q (0,15/4) 
AERODINÁMICA I B-4
o bien, en la variable t: 
2
2 2 2
4i
1 1 1i
2 4i i 15i
4 t a
Q t tU W
t a t a t t a a at
t
π
→
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎛ ⎞− = + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2
4i
4i
1 1 1
i2 4i 2 i
4
t a
t a
Q t t Q t
at a t a tt a t atπ π →
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− −⎝ ⎠⎜ ⎟+
⎝ ⎠
. 
El primer sumando proporciona una indeterminación del tipo 0/0, mientras que el límite del 
segundo sumando vale −2Qi/(51πa). Resolviendo la citada indeterminación se obtiene que el límite 
del primer sumando es −2Qi/(172πa), de modo que 
3
2
5 2 40
8673 17
Qi QiU iW
a aπ π
⋅
− = − = −
⋅
, es decir 
40
867
QW
aπ
= , y, por tanto, el módulo de la fuerza vale: 
240
867
QF
a
ρ
π
= . 
 
EJERCICIO B05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine el valor del coeficiente de sustentación producido por una línea de curvatura (un arco 
de circunferencia de cuerda c = 1 m y flecha máxima f = c/20), que vuela con ángulo de ataque nulo 
a través del aire en calma con velocidad U∞ = 30 m/s. 
 
Solución 
La transformación de Yukovski τ = t+a2/t transforma una 
circunferencia de centro t0 = iδa y radio R = a(1+δ2)1/2 situada 
en el plano t en un arco de circunferencia de flecha 2δa en el 
plano τ, de modo que será δ = f/(2a) = c/(2ak). El potencial 
complejo en el plano t es: 
( )
2
0 0
0
( ) ln
2
R if t U t t t t
t t
Γ
π∞
⎛ ⎞
= − + + −⎜ ⎟
−⎝ ⎠
 
y expresando que el homólogo del borde de salida del perfil ha 
de ser punto de remanso se obtiene Γ = 4πU∞aδ = 2πU∞c/k, de 
modo que la sustentación del perfil vale l = ρΓU∞ y el coeficiente de sustentación cl = 4π/k. 
 
EJERCICIO B06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La transformación de Yukovski τ = t+a2/t convierte la 
circunferencia centrada en el origen de radio R = ka, con k = 3/2 
en una cierta elipse en el plano τ. Supuesto que la elipse está 
sometida a una corriente incidente uniforme de velocidad 
U∞ = 26 m·s−1, paralela al eje ξ, calcule la velocidad en el punto 
A sobre la elipse (intersección de la elipse con el eje η). 
 
Solución 
Sobre la circunferencia de radio R la velocidad en el homólogo del punto A (t = iR = ika) vale 2U∞, 
y sobre la elipse es 2 2
1 1( ) ( ) ( )
d d 1
V V t V t
t a t
τ
τ
= =
−
, que en t = ika queda 
2
2
2( )
1
kV U
k
τ ∞= +
. 
 
 
f 
R 
θ0 f/2 
U∞ 
ξ 
η 
A 
plano τ 
AERODINÁMICA I B-5
EJERCICIO B07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dado el dominio fluido representado en la figura y dada 
la transformación conforme: ( )2ln 1a t tτ π= + − ,calcule 
los puntos singulares de la transformación y transforme el 
dominio fluido del plano t biunívocamente en otro dominio 
fluido en el plano τ. 
 
Solución2
2 2
11
1d 1
d π π1 1
ta a
t t t t
τ
+
−= =
+ − −
; 
puntos singulares: t = ±1; t → ∞ 
A: 1 ln(1) 0π
at τ= → = = 
D: i i1 ln( ) iπ
at e e aπ πτ= − = → = = 
AB: } 2ln( 1) (0, )(1, ) πt x a x xx τ τ= ∈ = + − ∈ ∈ ∞∈ ∞ 
BC: 
i
i 2 i2 i i 2
2
e 1ln( e e 1) ln (e eπ π(0,π)
(ln 2 i ) ( i )π πR R
t R a aR R R R
R
a aR
θ
θ θ θ θτ
θ
θ θ
→∞ →∞
⎫= ⎡ ⎤⎪→ ∞ = + − = + −⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦∈ ⎪⎭
→ + → ∞ +
 
CD: 
iπ iπ 2 i2π 2e ln( e e 1) ln( 1) iπ i (0, )π π(1, )
a at r r r r r ar τ α α
⎫= ⎡ ⎤= + − = + − + = + ∈ ∞⎬ ⎢ ⎥∈ ∞ ⎣ ⎦⎭
 
DA: 2 i
cos
(0,π)
az ln( 1 ) ln(e ) i i (0, )π π πz ( 1,1) z
t z a az i z aθ
θ
θ
τ θ ξ ξ
=
∈
= ⎫⎪∈ = + − = = = ∈⎬
∈ − ⎪⎭
 
 
EJERCICIO B08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dada la siguiente configuración fluida, formada por una 
placa plana de cuerda 4a con un manantial en el borde 
derecho de la placa, que inyecta Q m2/s en el campo 
fluido, considere el problema que se obtiene al aplicar la 
transformación de Youkovsky que transforma la placa plana 
en un círculo. ¿Qué gasto inyecta el manantial del plano 
transformado en el dominio fluido transformado? Razone la 
respuesta. 
 
Solución 
( ) ( , ) i ( , )f t x z x zϕ ψ= + ; ( ) ( , ) i ( , )F τ ξ η ξ η= Φ + Ψ 
 
2
( , )
 m /s = 
( , )
A A A
A B
B B B
x z
Q -
x z
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
plano t 
−1 +1 
C D A B 
C´ D´ 
A´ B´ 
plano τ 
2a 
plano t 
−2a 
A 
B 
plano τ 
A´ 
B´ 
AERODINÁMICA I B-6
' ' 2
' ' ' '
' '
( , )
m /s 
( , )
A A A
A B A B A B AB
B B B
- Q - Q Q
ξ η
ξ η
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ = = Ψ Ψ = =⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
EJERCICIO B09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 El potencial complejo del flujo alrededor de un cilindro de radio R sometido a una corriente que 
se acelera desde una velocidad U0 con aceleración a es ( ) ( ) 20 /f t U a t R tτ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ , donde τ 
representa el tiempo transcurrido. Supuesto el fluido incompresible, de densidad ρ, calcule la 
diferencia de presiones entre el punto x = −R, z = 0 y el punto x = 0, z = R. 
 
Solución 
2 2
( ) ( ) ( )o oR Rf t U a t U a x izt x izτ τ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2 2
( )( )o
R x izU a x iz i
x z
τ
⎡ ⎤−+ + + = Φ + Ψ⎢ ⎥
+⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2( ) 1 ( ) 1o o
R RU a x U a z
x z x z
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = + + Ψ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
2
2 21
Rax
x zτ
⎡ ⎤∂Φ = +⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
, 
2
2
d ( ) 1d o
f RU at t
τ ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
A: d 0 2d
fv aRt τ
∂Φ= = = −∂ 
B: d 2( ) 0d o
fv U at τ τ
∂Φ= = + =∂ 
21
2 U p cteρ ρτ
∂Φ + + =∂ , 
212 4( )2A o BaR p U a pρ ρ τ− + = + + , 
22 2 ( )A B op p aR U aρ ρ τ− = + + 
 
EJERCICIO B10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Con la ayuda de la transformación conforme 
t/a = eτ/a, con τ = ξ + iη, calcule la velocidad en 
el punto A, τA = 2a, producida por un manantial 
de gasto Q situado en el interior de un canal de 
anchura aπ, en el punto τ = iaπ/2, como se 
muestra en la figura. 
 
Solución 
( ) ( ) ( )ln i ln i ln
2π 2π 2π
Q Q Qf t t a t a t= − + + − , 
( )
2 2
2 2
d 1 1 1
d 2π i i 2π
f Q Q t a
t t a t a t t t a
−⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
, 
( )
4 42
42 4
d d e 1 e 1(2 ) ed d 2π 2π e 1e e 1
f Q QtV a t aaτ
− −= = =
++
, 
 
 
 
 
 
 
 
A(−R,0) 
B(0,R) 
ξ 
η 
Q 
πa/2 
2a 
πa/2 
A 
Q 
Q 
−Q 
a 
a 
ae2
ξ 
η 
AERODINÁMICA I B-7
EJERCICIO B11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el flujo bidimensional de un fluido ideal 
producido por una corriente incidente de velocidad 
uniforme U∞ alrededor de una elipse, como se muestra 
en la figura. Utilizando la transformación de 
Yukovsky, determine la velocidad en el punto A. 
 
Solución 
Sea τ el plano de la elipse y t el plano del círculo (de radio R); se sabe que la velocidad en el 
homólogo de A es 2U∞. 
El ejercicio se resuelve aplicando la transformación es 2 /t a tτ = + , y para determinar las incognitas 
de la transformación, R y a, se plantea la equivalencia de puntos homólogos, por ejemplo; 
 
2
2
/ / 2
i /(i ) i / 2
R a R c
R a R b
⎫+ =
⎬
+ = ⎭
, 
cuya solución es R = (c + b)/4, y a2 = (c2 – b2)/16, por tanto, como d ( ) d ( ) d
d d d
F f t t
t
τ
τ τ
= , se tiene 
 A 2
2
2 2 1
11
U U bV Uc ba c
c bR
∞ ∞
∞
⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠++
+
 
 
U∞ 
c 
b 
A 
AERODINÁMICA I C-1
EJERCICIO C01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se muestra un torbellino tridimensional de intensidad Γ que discurre según los ejes x 
e y del triedro de referencia. Calcule la velocidad vertical inducida por cada uno de los tramos del 
torbellino, AO y OB, a lo largo de la recta CD situada a una distancia a del eje x, en el plano z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
( ) ( )1 2 3 4cos cos cos cos4 4V a xθ θ θ θπ π
Γ Γ
= − + −
2 2 2 2
1 1
4 4
x a
a xx a x aπ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( )2 24 x a x aaxπ
Γ
= + + + 
 
EJERCICIO C02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere una herradura de torbellinos como la representada en la figura. Calcule el punto o 
puntos del eje x en los que la velocidad inducida por la herradura de torbellinos es nula. 
 
Solución 
Este ejercicio es análogo al ejercicio resuelto en la página 164. Sea ξ = x/b y sea w = 4πW/Γ, donde 
W es la velocidad inducida por el hilo de torbellinos. 
 
En la parte negativa del eje ξ las tres ramas, AB, BC y CD inducen velocidades con el mismo 
sentido, por lo que es imposible que en esta parte del eje exista un punto de velocidad nula. 
 
En la parte positiva del eje la velocidad inducida por las ramas AB y CD se opone a la velocidad 
inducida por la rama BC. 
 
Así pues, en un punto (ξ,0), los módulos de las 
velocidades valen 
wAB = wCD =1 − cosθ1 =
2
1
1
ξ
ξ
−
+
, 
wBC = 2cosθ2 =
2
2
1ξ ξ+
 
y como para todo valor de ξ > 0 es 
wBC > (wAB + wCD), la velocidad vertical en el eje sólo se anula cuando ξ → +∞. 
 
θ1 θ2 
θ3 
θ4 
a 
(x,a) 
y 
z 
C B 
a 
D 
O 
A x 
ξ 
η 
1 
1 Γ 
1 
1 A 
C 
B 
D 
θ2 
θ1 
AERODINÁMICA I C-2
 
EJERCICIO C03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se ha representado un torbellino plano, de intensidad Γ = 2π 
m2/s, con forma de triángulo equilátero de lado L = 1 m. Calcule el módulo de 
la velocidad inducida por el torbellino en el circuncentro del triángulo. 
 
Solución 
Obviamente la velocidad inducida por el torbellino será el 
triple de la velocidad debida a cada uno de los segmentos 
que forman el triángulo equilátero. Tras unas sencillas 
operaciones de geometría elemental se encuentra que el 
circuncentro está a una distancia 3 / 6d L= del lado 
considerado, de modo que será 
1
5 3cos cos
4 6 6 2
V
d L
π π
π π
Γ Γ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y la velocidad total 1
93
2
V V
Lπ
Γ
= = . Tomando Γ = 2π se tiene 
finalmente V = 9/L. 
 
EJERCICIO C04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración de torbellinos 
representada en la figura (Γ = 2π m2·s−1, k = 3, 
h = 1 m). Calcule el módulo de la velocidad 
generada por esta herradura en el punto del eje x 
(∞,0,0). 
 
Solución 
Sean Γ y kΓ (con k >1) las intensidades de los 
torbellinos de la cabeza. Las intensidades de los 
torbellinos de las colas habrán de 
ser Γ la de la cola situada en 
y = −h, (k−1)Γ la intensidad del 
hilo situado en y = h, y kΓ la 
intensidad del hilo situado en 
y = 3h. 
 
El problema a resolver para calcular la velocidad en el punto solicitado es pues un problema 
bidimensional, con tres torbellinos, como se indica en el esquema. La velocidad en (∞,0,0) es por 
tanto ( )2 6 ΓΓ 1 1
2 3 6
kk kw
h h h hπ π
−−⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
EJERCICIO C05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un hilo de torbellinos de intensidad 
Γ m2·s−1, como el representado en la figura, formado 
por dos torbellinos rectos contenidos en el plano z = 0 
unidos por una semicircunferencia de radio a m, 
también contenida en el plano z = 0. Calcule el vector 
velocidad en el punto deleje z situado a una distancia a 
del origen (0, 0, a). 
 
 
Γ 
π/6 
5π/6 
L 
d 
y 
z 
−h h 3h 
Γ (k−1)Γ kΓ 
x Γ 
y 
kΓ 
h 
h 
2h 
Γ x 
y 
a 
AERODINÁMICA I C-3
Solución 
La contribución a la velocidad vertical del tramo curvo, teniendo en cuenta que 3
d
4
ox rV
rπ
×Γ
= ∫ 
es, en módulo, , 3
0
2 2· d 2
8 162 2v c
a aV
aa
π
θ
π
Γ Γ
= =∫ , 
mientras que la debida a los hilos rectos es la 
mitad de la producida por dos hilos de torbellinos 
bidimensionales ,
1 1 22
2 2 2 42v r
V
aaπ π
Γ Γ
= = . 
Por tanto la velocidad vertical total es 
,
2 1
4 4v r
V
a π
⎛ ⎞Γ
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. La horizontal es debida 
únicamente al tramo curvo, y se obtiene proyectando en la dirección del eje x: 
, 3
0
2 2· sin d 2
8 82 2h c
a aV
aa
π
θ θ
π π
Γ Γ
= =∫ . 
 
EJERCICIO C06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el flujo tridimensional axilsimétrico creado por una corriente incidente U∞ y una 
distribución de manantiales, situados en el eje, en –l/2 < x < l/2 de valor q(x) = −q0x/l. Calcule el 
valor de la velocidad en el eje r = 0 para x < −l/2 y x > l/2. 
/ 2
/ 2
d
4
l
o o o
ol
q x xU x
l x xπ∞
−
−
Φ = +
−∫ 
Si 
2
lx < − , 0ox x− < , y 
/ 2
/ 2
d ln ln
4 4 2 2
l
o o o o
ol
q x x q l lU x U x l x x x x
l x x lπ π∞ ∞
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = + = + + − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
ln ln
4 2 2
2 2
oq l l x xu U x x l lx l x xπ
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥∂Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− − −
⎣ ⎦
 
Si 
2
lx > , 0ox x− > , y 
/ 2
/ 2
d ln ln
4 4 2 2
l
o o o o
ol
q x x q l lU x U x l x x x x
l x x lπ π∞ ∞
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = − = + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
ln ln
4 2 2
2 2
oq l l x xu U x x l lx l x xπ
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥∂Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− +
⎣ ⎦
 
 
 
EJERCICIO C07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la velocidad generada por dos hilos de torbellino de intensidad Γ, en forma de anillo 
cuadrado de lado a, en el punto medio entre ambos (x = y = z = 0). Los anillos son paralelos entre sí 
y están separados una distancia 2l, uno en el plano x = l y otro en el plano x = −l, como se 
representa en la figura. 
 
a 
a 
dxo π/4 
Vh 
Vv r 
AERODINÁMICA I C-4
Solución 
La velocidad inducida por un segmento es 
1 1 2 1
/ 2(cos cos ) 2cos
4π 4π 2π 4π
a aV
h h h d hd
θ θ θΓ Γ Γ Γ= − = = = 
con 2 2 2( / 2)d h a= + y 2 2 2( / 2)h l a= + . 
La resultante tiene sólo componente según el eje x 
(negativa) y vale 
2
1 2
/ 28 cos 8
4π 4T
a a aU V
hd h h d
ϕ
π
Γ Γ
= = = . 
 
 
EJERCICIO C08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento axilsimétrico de un líquido definido por la función de corriente de 
Stokes: ψ = Arnx, n > 0. Calcule el potencial de velocidades para aquel o aquellos valores de n para 
los que exista el potencial. 
 
Solución 
2
2 21 ( )
2 2 2 2
n nn n xu r x r f r
r r x
ψ ϕ ϕ
π π π
− −∂ ∂= = = → = +
∂ ∂
, 11 1
2 2
nw r
r x r
ψ ϕ
π π
−∂ ∂= − = − =
∂ ∂
 
3 1( 2) 12 ( )
4 2
n nn n r x f r r
r
ϕ
π π
− −∂ −= + ≡ −
∂
, así pues, para que sean iguales: n = 2, y 
2
( )
4
rf r
π
= − , de 
modo que 2 21 (2 )
4
x rϕ
π
= − 
 
EJERCICIO C09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere el movimiento axilsimétrico de un líquido definido por la función de corriente de Stokes 
ψ = Arbx , b > 0. Supuesto determinado el potencial de velocidades, suponga ahora que se añade a la 
configuración anterior una velocidad azimutal Vθ(r) con Vθ(1) = U. Determine Vθ(r) para que el 
movimiento resultante siga siendo potencial. 
 
Solución 
 1V V Vθ= + , 0V Vθ∇ ∧ = ∇ ∧ = . Como ( )V rθ es el campo de velocidades de un movimiento plano 
(no depende de x), entonces ( ) 1/V r rθ = . 
 
EJERCICIO C10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Determine la velocidad en el punto (0,0) debida a dos 
anillos de torbellinos de radio a y de intensidad Γ, 
paralelos y coaxiales, separados una distancia d, como 
se indica en la figura. 
 
Solución 
La velocidad generada en el eje x por uno de los anillos 
de torbellinos a una distancia d/2 es 
2 2
2 3 3/ 22
0
2
d 1cos
4 2 2
1
4
a aV
aR R d
a
π
θ ϕ
π
Γ Γ Γ
= = =
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 
x 
r 
a a 
Γ Γ
d/2 d/2 
x 
y 
z 
Γ Γ 
2l a 
AERODINÁMICA I C-5
donde cosϕ = a/R y R2 = a2 + d2/4. La velocidad generada 
por los dos anillos es 
3/ 22
2
2
1
4
TV V
da
a
Γ
= =
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Por lo tanto, para los dos casos del examen 
( 2 3 )
8T
V d a i
a
Γ
= = − ; ( 4 2 )
27T
V d a i
a
Γ
= = − 
 
 
EJERCICIO C11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere un hilo de torbellino de intensidad Γ = 6 m2/s, coincidente con las partes positivas de los 
ejes, como se indica en la figura. Calcule y represente esquemáticamente en función del ángulo θ 
(0 < θ < π/2) la velocidad inducida por dicho hilo en un punto de la circunferencia de radio a = 2 m, 
centrada en el origen y contenida en el plano definido por el hilo de torbellino. 
 
Solución 
 1 cos( π/2) cos ( 1)
4π cos sin
V
a
θ θ
θ θ
Γ − + − −⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
1 sin 1 cos
4π cos sin
V
a
θ θ
θ θ
Γ + +⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
El valor mínimo se alcanza en θ = π/4, y vale 
( )
min
1 2
2π
V
a
Γ +
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO C12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine la velocidad generada en el punto medio O entre dos anillos de torbellinos de 
intensidad Γ, paralelos y simétricos respecto al punto O, en forma de éxagono regular de lado a, y 
separados una distancia 3 a, como muestra en la figura. 
 
Solución 
coslados anillos segmentoV n n V γ= × × × 
6, 2lados anillosn n= = , 
2cos
2
b
h
γ = = 
a 
θ 
Γ 
x 
z 
⏐Vmin⏐ 
3⏐Vmin⏐ 
5⏐Vmin⏐ 
0 π/6 π/3 π/2 
θ 
r a
V 
d/2 
x
ϕ 
ϕ 
a 
z 
a 
3 a/2 3 a/2 
x 
y 
O 
AERODINÁMICA I C-6
( )1 2 1cos cos cos4 2seg mentoV h hθ θ θπ π
Γ Γ
= − = 
2 23 3 3, ,
4 2 2
h b a a b a= + = = 
1 2 2
/ 2 1cos
7( / 2)
a
h a
θ = =
+
 
1 1
3 7 422
2
segmentoV a
a
π
π
Γ Γ
= = 
 
 
 
EJERCICIO C13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Sea un dominio turbillonario limitado por un 
tubo estrecho de sección variable, rodeado de un 
flujo irrotacional, como el que se muestra en la 
figura. La ley de áreas de las secciones rectas del 
tubo es 
 ( ) (1 sin )o
xx
l
πσ σ δ= − , 
con δ << 1 y ol σ>> . La vorticidad en la 
sección x = 0 dentro del tubo es constante y de 
valor conocido: oV iω∇ ∧ = . Determine el valor 
de la circulación sobre una línea cerrada contenida 
en el plano x = 0 que rodea al tubo sin cortarlo, y 
la variación del rotor a lo largo del tubo, 
V iω∇ ∧ = , suponiéndolo constante en cada 
sección recta del tubo, ω = ω(x). 
 
Solución 
 La circulación es ( ) d ( 0)o o oV n xσ ω σ ω σ
Σ
Γ = ∇ ∧ ⋅ = = =∫ , y como la circulación se conserva, de 
la expresión anterior se obtiene ( )
( ) 1 sin
o o ox xx
l
ω σ ωω πσ δ
= =
−
 
 
a/2 
a/2 
θ2 
θ1 
γ
γ
b 
h 
π/2 
y 
z 
l x 
σ(x) 
AERODINÁMICA I D-1
EJERCICIO D01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de ala, de cuerda c = 2 m, formado por tres tramos rectos, como se indica en 
la figura, volando a través del aire en calma con velocidad U∞ y ángulo de ataque nulo. Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible, calcule el valor de la 
velocidad de vuelo para la que la sustentación generada por el perfil sea l = 540 N·m−1. Determine 
el ángulo que forma la línea de sustentación nula del perfil con la cuerda del mismo (dibuje, sobre 
el esquema de la línea de curvatura, 
la línea de sustentación nula). 
Suponga 45
3
δ
π
= grados y ρ = 1,2 
kg·m−3. 
 
Solución 
Como z(x) = z(−x) es A0 = A2 = 0. Por tanto, teniendo en cuenta que 
45
3
δ
π
= grados, o bien 
1
4 3
δ = radianes, resulta 
/3
1
0 0 2 /3
2 d 2 2 3 1cos d cos d cos d
d 2
zA
x
π π π
π
δ δθ θ θ θ θ θ
π π π π
⎛ ⎞
= − = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ , de 
modo que 1
12l
c Aπ= = , de donde se obtiene 2
l
lU
ccρ∞
= = 30 m·s−1. Obviamente 3 1
4sn
δα
π π
= = . 
 
EJERCICIO D02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, 
responde a la expresión: 
( )( )21 1 4 1 22cz x xπ= − − , 
 –1/2 ≤ x ≤ 1/2, 
volando a través del aire en calma 
en régimen incompresible con 
velocidad U∞. Si es kπ el coeficiente de peso del perfil (el peso por unidad de envergadura dividido 
por la presión dinámica de la corriente incidente y la cuerda del perfil), que se supone aplicado en el 
punto medio de la cuerda, y supuesto que el perfil está articulado en el borde de ataque a un punto 
fijo, determine el ángulo de ataque de equilibrio, αeq, aplicando consistentemente la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible. 
 
Suponga ahora que la línea de curvatura vuela con ángulo de ataque nulo. Sabiendo que en las 
condiciones de vuelo la velocidad del sonido vale a∞ = 300 m/s, dentro de la validez de la teoría 
potencial linealizada de perfiles calcule y represente esquemáticamente en el gráfico adjunto la 
variación con el número de Mach de vuelo (0 < M∞ < 2) del coeficiente de sustentación y del 
coeficiente de resistencia de la línea de curvatura. 
 
Solución 
En incompresible es ( )21 1 1 31 4 12 2cos cos 22 2
cdz x x
dx
θ θ
π π
⎛ ⎞= − + − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 0
1
2
A
π
= − , 
1
2A
π
= y 2
3
2
A
π
= − . Por tanto 2 1lc πα= + y 
1
8mac
c = − , y tomando momentos respecto al borde 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 U∞ 
x/c 
z/c 
U∞ 
z 
x 
−1/2 1/2 
AERODINÁMICA I D-2
de ataque, 1 1 0
2 4 l mac
k c cπ − + = , se obtiene 3
4eq
kα
π
= − . La resistencia aerodinámica en 
supersónico, con ángulo de ataque nulo, es: 
( )
1 2
22
2 2 2 2
1 2
4 1281 4 12
1 15 1
dc x x dx
M Mπ π−∞ ∞
= + − =
− −
∫ . 
 
En resumen 
M∞<1 M∞>1 
2
1
1
lc
M∞
=
−
 
 
cl = 0 
 
cd = 0 2 2
128
15 1
dc
Mπ ∞
=
−
 
 
EJERCICIO D03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Suponga un perfil de ala, de cuerda c, caracterizado por sus línea de curvatura y distribución de 
espesores. La línea de curvatura, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ c/2, está formada por dos 
tramos rectos que se unen en el punto (−c/4, εc), con ε << 1. La distribución de espesores, tal como 
se indica en el esquema adjunto, tiene una parte elíptica, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ ξ1 (que 
corresponde a una elipse de semiejes c/4 y 
εc, y con centro en (−c/4, 0)), y una parte 
lineal en el intervalo ξ1 ≤ ξ ≤ c/2, siendo 
ξ1 el punto del eje ξ donde la tangente a la 
elipse pasa por el borde de salida. 
Supuesto el perfil volando en régimen 
compresible, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada de perfiles en 
régimen compresible, calcule la variación 
con el número de Mach de vuelo del 
ángulo formado entre la línea de 
sustentación nula del perfil y su cuerda, 
αsn(M∞). Acote en la solución anterior el o los rangos de valores de número de Mach donde no es 
válida la solución obtenida. 
 
 
Solución 
En régimen subsónico el ángulo pedido será el que se 
obtenga al aplicar la teoría potencial linealizada de 
perfiles en régimen incompresible (en el ejercicio propuesto el problema de espesor es, obviamente 
irrelevante), y por tanto αsn(M∞)/αsn(0) = 1. En régimen supersónico el único efecto sustentador es 
el de la placa plana, de modo que αsn(M∞)/αsn(0) = 0. Estas soluciones dejan de valer, 
evidentemente, cerca de M∞ = 1, donde es de aplicación la limitación transónica ⎟1− M∞⎟3/2 >> ε ó δ 
(el mayor de ambos). Respecto a αSN(0) = −αi+A1/2, el proceso de cálculo es del todo semejante al 
empleado en cualquier problema de perfiles que se resuelva por el método de Glauert. En nuestro 
caso es dzc/dx = −4ε/3, 0 ≤ θ ≤ 2π/3, y dzc/dx = 4ε, 2π/3 ≤ θ ≤ π, de modo que se tiene 
4
9i
εα = 
y 1
16 3
3
A ε
π
= , y así se obtiene ( ) 8 3 40
3 9SN
α ε
π
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 ξ1 
−c/4 
αSN 
AERODINÁMICA I D-3
EJERCICIO D04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de ala de cuerda c = 1,6 m cuya línea de curvatura es un polinomio de 
segundo grado: 
 
2
0
n
c
n
n
z xa
c c=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ , 12
x
c
≤ . 
Determine la flecha máxima de la línea de curvatura y el ángulo de ataque del perfil cuando éste 
vuela a M∞ = 0,6 con velocidad U∞ siguiendo una trayectoria horizontal y rectilínea a través del aire 
en calma (densidad ρ). Suponga que la masa del perfil es M kg/m, y que el centro de masas está en 
el punto medio del perfil. 
 
Solución 
En variables adimensionalizadas con la cuerda c, la ecuación del perfil es zc = δ(1 – 4x2). En 
régimen incompresible (haciendo 2x/c = cosθ, de modo que d d 8 4 coscz x xδ δ θ= − = − ) se obtiene 
que el coeficiente de sustentación vale cl,i = 2π(α + 2δ), y que el coeficiente de momento respecto al 
centro aerodinámico vale cmac,i = −πδ. 
 Llamando 21
2
M
Mgc
U cρ ∞
= , las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos en régimen 
compresible son βcM = 2π(α + 2δ) y βcM = 4πδ, respectivamente, siendo 21 M 0,8β ∞= − = , y de 
estas ecuaciones resulta 
4
Mcβδ
π
= y α = 0. 
 
EJERCICIO D05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil de cuerda c = 1,4 m vuela con ángulo de ataque α = 0,05 rad a través del aire en calma 
(ρ = 1,2 kg·m−3) con una velocidad de 90 m/s. En estas condiciones la distribución de coeficiente de 
sustentación a lo largo de la cuerda vale cl(θ) = k(1 – cosθ), con cos2
cx θ= , 
2
cx ≤ , donde k es una 
constante adimensional de valor k = 0,2. Determine el valor de la circulación sobre el perfil. 
 
Solución 
El coeficiente de sustentación global del perfil, integrando, por ejemplo, en la variable x 
(2x/c = cosθ), vale 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
1 2( )d 1 d
c c
l l
c c
k xc c x x x k
c c c
− −
⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ , así pues, de la igualdad 
21
2 l
l U cc Uρ ρ∞ ∞= = Γ , se obtiene 
1 1
2 2l
U cc U ck∞ ∞Γ = = . 
 
EJERCICIO D06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Conocida la ecuación de Euler-Bernoulli: ( )21 d
2
p F t
t
Φ Φ
ρ
∂
+ ∇ + =
∂ ∫ , calcule el valor mínimo 
de la velocidad local del sonido, a, sobre una línea de curvatura parabólica que se mueve con 
ángulo de ataque nulo en régimen estacionario, con un número de Mach M∞ = 0,6 a través de un gas 
perfecto, sabiendo que la velocidad del sonido corriente arriba, lejos del perfil, es a∞ = 300 m/s. 
 
Para determinar de forma sencilla las magnitudes necesarias del campo fluido sobre la línea de 
curvatura, de ecuación z = εc[1−(2x/c)2], con ε = 1/30, c = 0,75 m y –1 ≤ 2x/c ≤ 1, suponga 
aplicable la teoría potencial linealizada de perfiles. 
 
AERODINÁMICA I D-4
Solución 
Resolviendo el perfil dado en régimen incompresible, aplicando el método de Glauert, se tiene 
d 24 4 cos
d
z x
x c
ε ε θ= − = − , de forma que A1 = 4ε, y por tanto ui = 4εU∞sinθ, que es máxima en 
θ = π/2, donde vale uimax = 4εU∞. La velocidad de perturbación máxima al número de Mach dado es 
pues maxmax 2 2
4 M 0,1
1 M 1 M
iuu a aε ∞ ∞ ∞
∞ ∞
= = =
− −
, y en consecuencia Umax = U∞+ umax = a∞(M∞+0,1) = 
0,7a∞. En el caso de un gas perfecto, en régimen estacionario, de la ecuación de Euler-Bernoulli se 
obtiene: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2min max1 11 0,6 0,7 0,9742 2a a U U a a
γ γ
∞ ∞ ∞ ∞
− −⎧ ⎫⎡ ⎤= + − = + − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭
, habiendo 
tomado γ = 1,4. Así pues es amin ≅ 0,987a∞ ≅ 296 m/s. 
 
EJERCICIO D07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Ensayos en túnel con un perfil simétrico de cuerda c = 0,5 m y de espesor relativo 0,06 indican 
que la sustentación máxima producida por el perfil vale 480 N/m. Sabiendo que en los ensayos la 
densidad del aire valía ρ = 1,2 kg/m3 y que la velocidad era U∞ = 40 m/s, aplicando 
consistentemente la teoría potencial linealizada de perfiles indique cuanto valdrá el máximo 
coeficiente de sustentación del perfilcuando vuele a M∞ = 0,6 (suponga a∞ = 340 m/s). 
 
Solución 
La relación entre los coeficientes de sustentación en régimen compresible e incompresible es 
clc = cli/β, donde ( )212lic l U cρ ∞= y 21 Mβ ∞= − . 
 
EJERCICIO D08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil idealizado por una placa plana de 
cuerda c = 3 m volando en régimen incompresible con 
velocidad U∞ = 60 m/s. El perfil está provisto de un flap 
simple de cuerda c/2. Sabiendo que en régimen de crucero, 
con el flap sin deflectar, el coeficiente de sustentación del 
perfil vale cl = 1/3 y que la velocidad de despegue es U∞/2, 
determine el ángulo de deflexión del flap en el despegue 
suponiendo que la parte fija del perfil mantiene el mismo 
ángulo de ataque que en vuelo de crucero. Desprecie el efecto 
de la cercanía del suelo sobre la sustentación. 
 
Solución 
Si en régimen de crucero, con velocidad U∞, el coeficiente 
de sustentación vale cl cruc. = k, en el despegue, con 
velocidad U∞/2, habrá de ser cl desp. = 4k. En el primer caso 
se tiene 2πα = k, de donde resulta α = k/(2π), y en el 
segundo será cl desp. = cl cruc. +Δcl flap, o bien Δcl flap = 3k. Δcl flap se debe únicamente a la deflexión 
del flap, y es la solución del problema de la figura adjunta. 
Aplicando el método de Glauert (dz/dx = 0 para π/2≤θ≤π, y dz/dx = −δ para 0≤θ≤π/2) será 0 2
A δ= , 
2
1
0
2 2cos dA
π
δ δθ θ
π π
= =∫ , de modo que Δcl flap = 3k = δ(2+π), y por tanto 32
kδ
π
=
+
. 
 
U∞ 
α 
U∞/2 
α 
δ 
δ 
AERODINÁMICA I D-5
EJERCICIO D09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una placa plana volando en régimen compresible (M∞ = 0,6). Calcule el valor del 
ángulo de ataque para el que el coeficiente de momento respecto al borde de salida valga cmc = 3/4. 
 
Solución 
El coeficiente de momento respecto al borde de salida de un placa plana en régimen incompresible 
es 3 3
4 2mi l
c c πα= = . En régimen compresible subsónico, llamando 21 Mβ ∞= − , será 
3
2mc
c πα
β
= , 
de modo que 2 8
3 15
mc mcc cβα
π π
= = radianes, pues β = 4/5. 
 
EJERCICIO D10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil simétrico de cuerda c = 3 m se desplaza con velocidad U∞ = 200 m·s−1 a través de un 
fluido en reposo cuyas propiedades físicas corriente arriba valen ρ∞ = 1 kg·m−3, a∞ = 250 m·s−1. Si 
en estas condiciones la sustentación producida por el perfil es de 20 kN·m−1, determine el valor de 
su ángulo de ataque. 
 
Solución 
El número de Mach vale 4/5 y por tanto β = 3/5. El coeficiente de sustentación del perfil en régimen 
incompresible, cli, es cli = βcl = 2πα. De este modo resulta 22
lc l
U c
β βα
π πρ ∞
= = , 
 
EJERCICIO D11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la línea de curvatura dada, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, por la 
expresión: 
 ( ) ( )2 4 11 2 8 ;18 2c
kz x x x x
π
= − − ≤ , k = 5 
Calcule el ángulo de ataque ideal, αi, de esta línea de curvatura. 
 
Solución Como zc(x) = zc(−x) será dzc(x)/dx = −dzc(−x)/dx, lo que asegura que la integral 
0
d d
d
cz
x
π
θ∫ 
es nula y en consecuencia el ángulo de ataque ideal es nulo 
 
EJERCICIO D12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles, calcule la fuerza por unidad de 
longitud que se ejerce sobre cada uno de los dos apoyos de la cubierta bidimensional representada 
en la figura (supuesta suficientemente lejos del suelo) cuando incide sobre ella un viento horizontal 
con velocidad U ∞ en una atmósfera de densidad ρ∞. Suponga que los apoyos no perturban el campo 
fluido y que es δ << 1. 
 
Solución 
2 0d 2 2
d 2 0 02 2
c xz
cx x
πδ θ π
πδ θ
⎧ − ≤ ≤ ≤ ≤⎪
⎨
− ≤ ≤ ≤ ≤⎪⎩
 
0
1 d d 0do
zA x
π
θπ= − =∫ , 
/ 2
1
0 / 2
2 8( 2 )cos d (2 )cos dA
π π
π
δδ θ θ δ α θπ π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , A2 = 0. 
U∞ 
c/2 c/2 
δc 
AERODINÁMICA I D-6
21 8 1 12 2 8 82 2 2l o
AC A l U cδπ π δ ρ δπ ∞
⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( ) 2 21 2 8 12 ( 2 )4 4 2m acacC A A m U c
π π δ δ ρ δπ ∞= − + = − = − = − 
Estableciendo el equilibrio de momentos respecto al borde de ataque 
(A) y al borde de salida (B) 
04B ac
cf c l m− + = , 21 (2 2 )2Bf U cρ δ δ∞= + , 
21 42Bf U cρ δ∞= 
3 04A acf c l c m− − = , 
21 (6 2 )2Af U cρ δ δ∞= − , 
21 42Af U cρ δ∞= 
 
EJERCICIO D13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Una placa plana bidimensional, de cuerda c = 2 m, volando en régimen incompresible a 
velocidad U∞ = 100 m/s en el seno de una atmósfera en reposo de densidad ρ = 1 kg/m3, 
proporciona una sustentación l = 6280 N/m. 
Considere que esa misma placa vuela a la misma velocidad y ángulo de ataque en el seno de un 
fluido que tiene la misma densidad que en el caso anterior, pero ahora el número de Mach de vuelo 
es M∞ = 0,6. Calcule la fuerza de succión que actúa en el borde de ataque de la placa. 
 
Solución 
La fuerza de succión (ver “Paradoja de D’Alembert”) es sf lα= , donde l es la sustentación y α el 
ángulo de ataque. El ángulo de ataque es el mismo que en incompresible: 0,628 0,1 rad2π 2π
licα = = 
donde cli es el coeficiente de sustentación en régimen incompresible, 2 0,6281
2
i
li
lc
U cρ ∞
= = . 
La sustentación a M∞ = 0,6 es 2 21 1 8000 N/m2 2
li
l
cl U cc U cρ ρ β∞ ∞= = , con 
21 0,8Mβ ∞= − = y 
li
l
cc β= . Por lo tanto 8000 N/m 0,1 800 N/msf × 
EJERCICIO D14 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil de cuerda c, cuya línea de curvatura es una parábola de flecha máxima εc, vuela a 
ángulo de ataque nulo y número de Mach M∞ = 0,8 en el seno de la atmósfera en reposo. El perfil 
dispone de un timón que está articulado en el punto medio del perfil. Calcule el momento que se 
debe aplicar en dicho timón para mantenerlo sin deflectar. 
 
Solución 
La línea de curvatura en régimen incompresible es 
( )221c xz c cε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ , de modo que 
d 8 4 cosd
cz x
x cε ε θ= − = − , obteniéndose A0 = 0 y A1 = 4ε, 
4 sinUU ε θ∞
= , 4 16 sinl Uc U ε θ∞
= = . 
En régimen incompresible el momento M0 vale 
/ 2 0 / 2
20
0 / 2 0
( ) d 16 sin cos ( sin )d 2 sin 2 sin d2 2
c
l
M c cc x x x cq
π
π
ε θ θ θ θ ε θ θ θ= = − = =∫ ∫ ∫ 
l 
mac 
fB fA 
−c/2 −c/2 
x 
z 
AERODINÁMICA I D-7
 ( )
/ 2 / 22 2 2
0
0
1 1 42 (cos cos3 )d sin sin 32 3 3c c c
π π
ε θ θ θ ε θ θ ε= − = − =∫ , 
y por tanto, en régimen compresible el momento es 243
oMM q cεβ β= = 
 
EJERCICIO D15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c 
es zc(x) = ε(a − x)(1 − 4x2), con ε << 1, |x| ≤ 1/2. Dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible determine el valor del parámetro adimensional a 
para que el centro de presiones coincida con el centro aerodinámico. 
 
Solución 
Se tiene ( ) ( )2 2d 1 31 8 12 1 4 cos 3cos 4 cos cos 2
d 2 2
cz ax x a a
x
ε ε θ θ ε θ θ⎛ ⎞= − − − = − − + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; de 
modo que A1 = 4a, A2 = −3/2, y de la condición cmac = 0, A1 + A2 = 0 resulta a = 3/8. 
 
EJERCICIO D16 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La distribución del coeficiente de sustentación a lo largo de la línea de curvatura de un perfil de 
cuerda c es elíptica. El valor máximo de dicha distribución, que se presenta en el punto medio de la 
cuerda, vale 4A/π. Dentro de la validez de la teoría potencial de perfiles en régimen incompresible, 
calcule el coeficiente de sustentación global del perfil cuando éste vuela al ángulo de ataque ideal. 
 
Solución 
 1 42 2l
Ac Aπ π= = 
 
EJERCICIO D17 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La distribución del coeficiente de sustentación a lo largo de la línea de curvatura de un perfil de 
cuerda c es elíptica. El valor máximo de dicha distribución, que se presenta en el punto medio de la 
cuerda, vale 4A/π. Dentro de la validez de lateoría potencial de perfiles en régimen incompresible, 
calcule la ecuación de la línea de curvatura. 
 
Solución 
 
( )/ 2 / 2
2
/ 2 / 2 0
sin sin( ) 21 1 2
4 (cos cos )2
c c
o o ol o o
o
o o oc c
u c dc x dxUw A AxdxU x x x x c c
π θ θ θ
π π ππ θ θ
∞
∞
− −
−
− − −= = = =− − −∫ ∫ ∫ , 
4 42 sinl pe
u Ac c U θπ∞
= − = = , ( )22 214dz A x z A xdx c c cπ π ⎡ ⎤−= → = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
EJERCICIO D18 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil cuya línea de curvatura está dada por la expresión, en variables 
adimensionalizadas con la cuerda c: zc(x) = ε(1 − 4x2), con |x| ≤ 1/2 y ε << 1. Sabiendo que el perfil 
vuela con ángulo de ataque nulo en régimen compresible a M∞ = 0,8, determine la flecha de la 
curvatura, ε, para que en esta condición de vuelo el coeficiente de sustentación valga cl = 2π/30. 
 
Solución 
En régimen incompresible es cli = βcl, con β = 0,6. Por otra parte cli = πA1, pues A0 = 0 (el perfil 
vuela al ángulo de ataque ideal), y A1 = 4ε (solución bien conocida tras los ejercicios resueltos 
durante el curso). Así pues cli = βcl = πA1 = 4πε, de donde se deduce ε = βcl /(4π) = 0,01. 
AERODINÁMICA I D-8
EJERCICIO D19 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una familia de líneas de curvatura de cuerda c, de ecuación 
2
2
4( ) 1 1c
x axz x c
c c
ε
⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
, 
con ε << 1, |x| ≤ c/2, y |a| ≤ 1/2. Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada, calcule y 
represente la variación del ángulo de ataque ideal con el parámetro a. 
 
Solución 
Llamando z = zc/c, y empleando el mismo símbolo x para la variable adimensional según el eje 
horizontal (x = x/c), se tiene z = ε(1 – 4x2)(1 – ax), y derivando e introduciendo el cambio 2x = cosθ, 
dz/dx = ε[–a(1 – 4x2) – 8x(1 – ax)] = ε(– a – 8x + 12ax2) = ε(– a – 4cosθ + 3acos2θ), 
dz/dx = ε(a/2 – 4cosθ + (3a/2)cos2θ) = – A0 – A1cosθ – A2cos2θ 
Así pues A0 = α – αi = –εa/2, y como al hacer los cálculos se ha supuesto α = 0 resulta αi = εa/2. 
 
EJERCICIO D20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Para diseñar una marquesina de cuerda c para una estación de tren se admiten como válidas las 
siguientes hipótesis simplificativas: 1) se supone que la marquesina está a una altura tal sobre el 
suelo que son despreciables los efectos de éste, 2) se admite que en cada sección de la marquesina 
el comportamiento es bidimensional, y que el diseño del perfil se puede acometer en el entorno de 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles. 
 
Sabiendo que la cuerda del perfil es paralela al suelo (situada a una altura hc) y que se desea que 
frente a una corriente horizontal el coeficiente de sustentación valga cl = πk, y que el coeficiente de 
momento en el soporte (borde de salida) sea 
nulo cmbs = 0, determine la ecuación del perfil 
de la marquesina. 
 
Escriba las integrales que permitirían resolver 
el problema si la altura hc fuera tal que no se 
pudiera despreciar el efecto del suelo. Suponga 
en este caso que el dato conocido es la 
distribución de sustentación medida a lo largo 
de la cuerda, cl(x), en vez de los coeficientes 
globales. 
 
Solución 
En lo que sigue se supone que tanto x como z están adimensionalizadas con la cuerda de la 
marquesina. El coeficiente de sustentación de un perfil vale cl = 2π(A0 + A1/2) y el coeficiente de 
momento respecto al borde de salida 
( ) ( )1 2 0 1 0 1 2
3 12 6 2
4 4 2 4mbs
c A A A A A A Aπ ππ ⎛ ⎞= − + + + = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
por tanto, de los datos suministrados (cl = πk y cmbs = 0) se deduce que 2A0 + A1 = k, y 
6A0 + 2A1 − A2 = 0, de donde se obtiene A1 = k − 2A0, A2 = 6A0 + 2A1 = 2k + 2A0, de modo que 
2
0 1 2 0 2 1 2
d cos cos 2 2 8
d
z A A A A A A x A x
x
θ θ= − − − = − + − − , pues cosθ = 2x, y cos2θ = 8x2 − 1. 
Sustituyendo (A1 = k − 2A0, A2 = 2k + 2A0), e integrando se obtiene 
( ) ( ) ( ) 20 0 0
d 2 2 2 16
d
z k A k A x k A x
x
= + − − − + , ( ) ( ) ( )2 30 0 0
162 2
3
z k A x k A x k A x d= + − − − + + , 
c/2 c/2 
z 
x 
hc 
U∞
AERODINÁMICA I D-9
y como la cuerda es horizontal: ( ) ( ) ( )0 0 0
1 1 1 22 2 0
2 2 4 3
z k A k A k A d⎛ ⎞± = ± + − − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∓ 
así pues ha de cumplirse que ( ) ( )0 0
1 22 0
2 3
k A k A+ − + = , de donde resulta A0 = 2k (y por tanto 
A1 = −3k, A2 = 6k), y además debe ser ( )0
1 2 0
4
k A d− − + = , de donde se obtiene 3
4
d k= − . Con 
estos valores, la ecuación del perfil de la marquesina (situado a una altura adimensional h sobre el 
suelo) resulta ser 2 33 4 3 16
4
z k x x x⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
En el segundo caso se puede aplicar el método de imágenes, simulando el suelo por una distribución 
de torbellinos de intensidad conocida situada en z = −2h (en variables adimensionalizadas con la 
cuerda). La intensidad de los torbellinos que simulan el perfil (distribuidos a lo largo de la cuerda, 
de acuerdo con la teoría linealizada) es 
γ(x,0) = 2u(x,0)/U∞, y como 
cl(x,0) = 4u(x,0)/U∞, resulta γ(x,0) = cl(x,0)/2. 
La intensidad de los torbellinos del perfil 
imagen es por tanto γ(x,−2h) = −cl(x,0)/2. 
Ahora hay que aplicar la integral de Cauchy 
al conjunto formado por el perfil y su imagen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1,2,3,4
, i ,1, i , d
2πi
o o o o
o
o
u x z w x z
u x z w x z t
t t
−
− =
−∫ , de donde, tras operar, teniendo en cuenta 
que se trata de un problema antisimétrico, se obtiene 
 
( ) ( ) ( )( )
( )
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
2 ,0 2 ,01,0 d d
2π 4
c c
o o o
o o
oc c o
u x u x x x
w x x x
x x x x h
+ +
− −
⎡ ⎤−
⎢ ⎥= × −
− − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
EJERCICIO D21 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c, cuya distribución de espesor responde a la expresión 
 η = ±5τ(0.29690ξ1/2 – 0.12600ξ – 0.35160ξ2 + 0.28430ξ3 – 0.10150ξ4), 
con 0 ≤ ξ ≤ 1, donde τ es el espesor relativo (τ = 0.15), y ξ = x/c, η = z/c. El radio de curvatura del 
acuerdo entre extradós e intradós en el borde de ataque vale r/c = 1.1019τ2. El perfil está provisto de 
un timón articulado en el punto 3c/4. Llamando α al ángulo que forma la cuerda del perfil (con el 
timón sin deflectar) con la corriente incidente y δ el ángulo que forma el timón respecto a la cuerda, 
dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen compresible calcule la 
variación con el número de Mach de vuelo (0 ≤ M∞ < 1) del coeficiente de sustentación del perfil, 
cl, y del coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico, cmca. 
c/2 c/2 
z 
x 
hc 
U∞
hc 
4 
3 
2 
1 
AERODINÁMICA I D-10
Explique claramente el procedimiento que sigue para resolver el problema. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Descomponiendo en perfil en los efectos de espesor, curvatura y ángulo de ataque, como el espesor 
no contribuye, en teoría linealizada, ni a la sustentación ni al momento, se tiene, para el ángulo de 
ataque A0α = α, Anα = 0, n > 0; y para la línea de curvatura, como el timón está articulado en θ = π/3, 
en régimen incompresible los coeficientes valen 
/3
0
0
d
3
A
π
δ
δ δθ
π
= =∫ , 
/3
1
0
2 3cos dA
π
δ
δ δθ θ
π π
= =∫ , 
/3
2
0
2 3cos2 d
2
A
π
δ
δ δθ θ
π π
= =∫ , y así, 
0 0 12 2 2
1 1 2 1 32
2 3 21 M 1 M 1 M
li
l
cc A A Aα δ δ
ππ α δ
π
∞ ∞ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= = + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥− − − ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
( )caca 1 22 2 2
1 3 3
41 M 1 M 8 1 M
m i
m
cc A Aδ δ
π δ
∞ ∞ ∞
− −
= = + =
− − −
 
 
EJERCICIO D22 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c, definido por las expresiones 
 z = –4kεx2/c, en –c/2 ≤ x ≤ 0, 
 z = –4εx2/c, en 0 ≤ x ≤ c/2, 
con ε << 1 y k un parámetro que identifica a los miembros de la familia de perfiles (–1 ≤ k ≤ 1). 
Calcule, dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible, 
la variación con el parámetro k del ángulo de ataque ideal αi. Represente dicha variación en el 
gráfico adjunto (complete el eje αi indicando valores apropiados). 
 
Solución 
0
0 0
dd1 1d d 0
d d
pc
i
zzA
x xπ π
α α α θ θ
π π
= − = − = − =∫ ∫ , 
y como ( )1 kα ε= − se tiene 
( )
/ 2
0 0 / 2
d1 4 2 2d 1 d d
d
p
i
z x xk k
x c c
π π π
π
εα α θ ε θ θ
π π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + = − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ 
( )
/ 2
0 / 2
41 cos d cos dk k
π π
π
εε θ θ θ θ
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 41 1 1 1k k kεε ε
π π
⎛ ⎞= − − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
α 
δ 
3c/4 
c x 
z 
U∞ 
0 
k 
–1 0 1 
4 1
iα
ε
π
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 
–1 
–2 
AERODINÁMICA I E-1
 
EJERCICIO E01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala de alargamiento Λ=6 de forma en planta rectangular, y envergadura b = 6 m, 
cuyos perfiles tienen una línea de curvatura formada por tres tramos rectos, el tramo central paralelo 
al eje x, y los extremos formando un ángulo δ(y) << 1 con dicho eje, como se indica en la figura. 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen incompresible, calcule el 
valor de la distribución de δ(y) 
para que el ala tenga resistencia 
inducida mínima cuando el 
coeficiente de sustentación del 
ala vale cL = 1/2. 
 
Solución 
En el problema del perfil se sabe que 3( ) ( )sn y yα δπ
= . En el ala, de 12L
c AπΛ= se obtiene 
1
1
6
A
π
= , de modo que, de la ecuación de Prandtl, resulta 2
1 1( ) sin
12
α θ θ
ππ
= + , y la torsión vale 
por tanto ( )2
1( ) sin 1ε θ θ
π
= − , de manera que ( )1( ) sin 1
3
δ θ θ
π
= − . 
 
EJERCICIO E02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala de forma en planta elíptica y alargamiento Λ = 16/π, está provista de una torsión 
antisimétrica, ε(y) = −ε(−y). Sabiendo que en cierta situación de vuelo tanto el coeficiente de 
sustentación como los coeficientes de momento de guiñada y de balance son no nulos, y en la 
hipótesis de que en esta situación el coeficiente de momento de guiñada vale cMz = 25/2δ2, con 
δ << 1, determine, dentro de la validez de la teoría del ala larga de Prandtl, los valores de los 
coeficientes de sustentación y de balance, con la condición de que el coeficiente de resistencia 
inducida sea mínimo. 
 
Solución 
Como la torsión es antisimétrica es I2n−1 = 0, n = 1,2,3,...., como cMx ≠ 0 es A2 ≠ 0, y como el ala es 
de forma en planta elíptica en la adicional unitaria sólo hay término en a1. Así pues, en a 
distribución adimensional de circulación sólo puede haber A1 = a1 y términos pares: A2, A4, .... 
En consecuencia, como cMz es conocido: cMz = −A1A2 = 25/2δ2, se tiene una ligadura entre estos dos 
coeficientes que condiciona el valor del coeficiente de resistencia inducida, será pues: 
 ( )
5 4
2 2 2
1 2 22
2
22 4 2
4Di
c A A A
A
π δ⎛ ⎞Λ
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
para que cDi sea mínimo habrá que determinar el valor de A2 para el que dcDi/dA2 = 0, que resulta ser 
A2 = ±2δ, y por tanto 3/ 21 2A δ= ∓ , 
9 / 22Lc δ= ∓ , 4Mxc δ= ± , 
5 / 22Mzc δ= y finalmente 
6 22Dic δ= . 
 
EJERCICIO E03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10, vuela a través del aire en calma 
en régimen compresible subsónico. Sabiendo que el ángulo de ataque del ala es α = 1/20 radianes, y 
sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cL = π/10, determine, dentro de la validez de 
la teoría potencial linealizada, el valor del número de Mach de vuelo. 
 
Solución 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 U∞ 
x/c 
z/c 
AERODINÁMICA I E-2
El ala a resolver en incompresible ha de tener un alargamiento Λi = βΛ, siendo 21 Mβ ∞= − ; si se 
mantiene el valor del coeficiente de sustentación, cLi = cL, el ángulo de ataque del ala tendrá que ser 
αi = α/β. Así pues, como en el caso de un ala plana de forma en planta elíptica es a1 = 4/(Λ+2), 
será: 4 4
2 2 2 2
i
Li i L
i
c cπ πβ αα
β β
Λ Λ
= = =
Λ + Λ +
, de donde se deduce 2 L
L
c
c
παβ Λ −=
Λ
, que, con los 
datos numéricos del enunciado, proporciona los valores M∞ = 0,8 (β = 0,6), si α = 1/25 radianes, o 
bien M∞ = 0,6 (β = 0,8), en el caso en el que el ángulo de ataque del ala vale α = 1/20 radianes. 
 
EJERCICIO E04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala larga, recta, de alargamiento Λ=6 y con una superficie en planta de 10 m2, que 
se desplaza horizontalmente a través del aire en calma con velocidad U∞=80 m/s. De medidas 
realizadas se deduce que la velocidad vertical inducida en la línea de puntos 1/4 es constante y vale 
−1 m/s. Calcule el peso del ala y su resistencia inducida. Suponga que la densidad del aire es ρ = 
1.2 kg.m−3 
 
Solución 
El ángulo de ataque inducido vale 1/80 radianes. Como el ángulo de ataque inducido es constante, 
la distribución de circulación adimensional es elíptica, de modo que A1 = 1/40. Conocido A1 es 
12L
c AπΛ= , 
2
L
Di
cc
πΛ
= , L = qScL, y Di = qScDi, con 2
1
2
q Uρ ∞= . Aplicando los valores numéricos del 
enunciado se obtiene: L = 2880π N y Di = 36π N. 
 
EJERCICIO E05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala larga de forma en planta elíptica, cuya torsión, simétrica (ε(y) = ε(−y)) es tal que 
la línea de sustentación nula del ala coincide con la línea de sustentación nula del perfil central, 
volando en régimen incompresible a través del aire en calma (ρ = 1,2 kg·m−3) con ángulo de ataque 
α = 2 grados y velocidad U∞ = 100 m/s. Sabiendo que la envergadura del ala es b = 6 m y su 
superficie en planta S = 6 m2, calcule el coeficiente de sustentación del ala así como el coeficiente 
de momento de guiñada. 
 
Solución 
Como la línea de sustentación nula del perfil central coincide con la del ala es I1 = 0, y como la 
torsión es simétrica también es nulo I2. Así pues, al ser el ala de forma en planta elíptica, será 
A2 = 0. Por tanto cMz = 0, y el coeficiente de sustentación vale 1
2
2 2L
c aπ πα αΛ Λ= =
Λ +
; como el 
alargamiento es Λ = 6, y el ángulo de ataque del enunciado está expresado grados en vez de 
radianes, llamando α a este ángulo en grados, finalmente queda 
23
2 180 120L
c π π πα α= = . 
 
EJERCICIO E06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala plana de forma en planta elíptica, con una superficie en planta de 10 m2 y una 
envergadura de 10 m, volando a través del aire en calma con una trayectoria horizontal, rectilínea y 
uniforme, con velocidad U∞ = 200 m/s (M∞ = 0,6). Si el peso del ala es W = 2,4×104 N, y 
suponiendo que la densidad del aire vale ρ = 1,2 kg/m3, determine el valor del ángulo de ataque del 
ala 
 
Solución 
De los datos del enunciado se obtiene Λ = 10 y cL = 0,1. Aplicando ahora la analogía de Prandtl-
AERODINÁMICA I E-3
Glauert (cLi = cLc, Λi = βΛc, αi = αc/β), en régimen incompresible habrá que resolver un ala también 
plana y de forma en planta elíptica, pero de alargamiento Λi = 8 (pues β = 0,8). Este es un problema 
bien conocido (a1 = 2/5), de modo que de la expresión del coeficiente de sustentación del ala, 
12
i
L ic a
π αΛ= , se obtiene que en incompresible el ángulo de ataque vale 1
16i
α
π
= radianes, y en 
consecuencia el ángulo de ataque pedido (αc = βαi), es 
1
20c
α
π
= radianes. 
 
EJERCICIO E07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala de envergadura b = 10 m volando horizontalmente a través del aire (ρ = 1 
kg/m3) en calma con una velocidad de 80 m/s. Sabiendo que el peso del ala es de (2π/3)×104 N y 
que las cuerdas del ala siguen la ley: 
 ( ) ( )sin sin 3
2
bc θ θ δ θ
π
= + 
con δ<<1 y θ = cos−1(2y/b), determine el ángulo de ataque del perfil central, α(π/2), y la torsión del 
ala, ε(θ), para que ésta tenga resistencia inducida mínima. Calcule el valor del parámetro δ sabiendo 
que la torsión en los bordes marginales vale ε(±b/2) = −1/32 radianes. 
 
Solución 
El área de la forma en planta es ( ) ( )
/ 2 2 2
/ 2 0
d sin sin 3 sin d
4 8
b
b
b bS c y y
π
θ δ θ θ θ
π
−
= = + =∫ ∫ , el 
coeficiente de sustentación vale
21 6
2
L
Lc
U S
π
ρ ∞
= = , y por tanto 1 2 2 2
2 2 4 1
24
L Lc c S WA
b U bπ π πρ ∞
= = = =
Λ
 
(nótese que no es