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Macroeconomı́a II: Compilado de ejercicios
Profesor: Francisco Dı́az-Valdés
Universidad de los Andes
Índice
1. Dinero e inflación en el largo plazo 1
1.1. Comentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Cálculos monetarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Teoŕıa cuantitativa del dinero y ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Demanda por dinero y teoŕıa cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Classic Baumol-Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Baumol-Tobin y descuentos electrónicos (C1 S2-2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Baumol-Tobin y demanda por dinero real (P1 S2-2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Demanda y velocidad del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9. Baumol-Tobin con algunos retiros gratis (P1 S2-2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1. Dinero e inflación en el largo plazo
1.1. Comentes
Comente brevemente si las siguientes afirmaciones son verdaderas, falsas o inciertas (se valora la cohe-
rencia de la respuesta más que si le apunta a su veracidad):
1. Suponga precios totalmente flexibles. Un aumento en la tasa de crecimiento de la cantidad de
dinero produce un aumento en la inflación, un salto en el nivel de precios y en el tipo de cambio.
RESPUESTA:
Según teoŕıa cuantitativa un aumento en la tasa de crecimiento del dinero produce un aumento en
la inflación:
π = ∆ %M + ∆ %y
⇒ ∂π
∂∆ %M
= 1
A su vez, sabemos que:
MV = Py ⇔ P = MV
y
Por lo tanto, al aumentar la tasa de crecimiento del dinero habrá un salto en el nivel de precios.
Finalmente, sabemos que:
∆ %e = π − π∗
⇒ ∂∆ %e
∂π
= 1
Al subir la cantidad de dinero sube la inflación, lo que a su vez aumenta la tasa de depreciación
del tipo de cambio. Se concluye que el comente es verdadero.
2. Si la tasa de crecimiento del dinero interna es igual a la externa, entonces la tasa de depreciación
del tipo de cambio nominal es cero.
RESPUESTA:
Falso. Recuerde que:
∆ %e = π − π∗
Pero podemos reescribir la ecuación anterior usando la relación entre inflación, tasa de crecimiento
del dinero y tasa de crecimiento del producto:
∆ %e = (∆ %M −∆ %M∗)− (∆ %y −∆ %y∗)
1
Se puede observar que solo en el caso particular en el que ninguna economı́a crece se da lo que dice
el comente. Sin embargo en la práctica todas las economı́as crecen o decrecen, por lo que el tipo
de cambio no depende solo de las tasas de crecimiento de la cantidad de dinero de las economı́as.
3. No es posible hacer una buena evaluación de poĺıticas económicas con modelos que no especifiquen
adecuadamente la conducta subyacente de los agentes económicos.
RESPUESTA:
Verdadero, la evaluación de poĺıticas con modelos que no especifican el comportamiento de los
agentes, puede llevar a conclusiones equivocadas, pues el comportamiento de los agentes puede
cambiar si cambia algún aspecto fundamental de la economı́a.
4. La ecuación de Fisher se cumple solo cuando no hay rigideces nominales.
RESPUESTA:
Falso. La ecuación de Fisher i = r + πe se cumple siempre pues es una definición, pero el efecto
Fisher, por el cual un aumento de la inflación esperada (o inflación efectiva si no hay incertidumbre
sobre su valor futuro) sube la tasa de interés nominal en la misma magnitud (uno a uno) solo cuando
no hay rigideces de precios, de otra forma la tasa de interés real cambiaŕıa con cambios nominales
(con cambio en la inflación esperada, por ejemplo). Lo importante del comente es identificar que
con rigideces nominales cambios en variables nominales tienen efectos sobre variables reales.
5. Tradicionalmente se ha pensado que la innovación financiera lleva a una cáıda de la demanda por
dinero, pero si pensamos en un contexto donde hay cajeros automáticos con un número dado de
retiros gratis, entonces la demanda por dinero podŕıa incluso subir.
RESPUESTA:
Incierto, si la tasa de interés es baja y el costo de retirar dinero es muy alto, el hecho de tener
retiros gratis hará que aumente la demanda por dinero. Básicamente, se retira más dinero hoy
aprovechando que es gratis para ahorrar el costo fijo que podŕıa ser muy alto. Por otro lado, si
el costo fijo es pequeño y la tasa de interés muy alta la demanda por dinero podŕıa caer. No me
servirá de nada tener un par de retiros gratis si el costo de oportunidad es muy grande, seŕıa un
par de retiros gratis entre muchisimos retiros (para evitar el costo de oportunidad).
6. En una economı́a donde el dinero crece en el largo plazo más rápido que en otra, necesariamente
tendrá más inflación en el largo plazo.
RESPUESTA:
Falso, puede ser que en la economı́a con mayor crecimiento del dinero también tenga un creci-
miento del producto más rápido, o sea la demanda por dinero crece más rápido, lo que no resulta
necesariamente en una mayor inflación pues el aumento del dinero no representa una mayor oferta
sino que es compensado por un mayor crecimiento de la demanda.
7. Cuando se grafica la relación entre inflación (eje vertical) y crecimiento de la cantidad de dinero
(eje horizontal) en periodos prolongados se observa que la relación es lineal pero algo por debajo
de la ĺınea de largo plazo (45 grados). Esto evidencia que no hay neutralidad del dinero ni en el
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largo plazo.
RESPUESTA:
Falso, esto puede ser explicado por el hecho que las economı́as al crecer permiten que el crecimiento
de la cantidad de dinero sea algo mayor a la inflación, pero igual habŕıa neutralidad.
8. La eliminación del impuesto a las transacciones financieras (impuesto al cheque o a retiros de
cajeros automáticos) tiene como consecuencia un fuerte aumento en la demanda por dinero.
RESPUESTA:
En el modelo de Baumol-Tobin esto es análogo a que disminuya Z, por tanto se reducirá la demanda
por dinero al aumentar el número de retiros.
9. Economı́as con un mayor nivel de crecimiento económico experimentarán mayores incrementos en
sus precios en el largo plazo al tener asociado un mayor incremento en la demanda por bienes.
RESPUESTA:
En el modelo de Baumol-Tobin esto es análogo a que disminuya Z, por tanto se reducirá la demanda
por dinero al aumentar el número de retiros.
10. Se puede inferir del modelo de Baumol-Tobin que la elasticidad ingreso de la demanda por dinero
es 1/2. Comente la siguiente afirmación: la gente de menores ingresos mantiene más dinero como
porcentaje de su ingreso comparado con quienes tienen mayores ingresos.
RESPUESTA:
Verdadero, considere el ratio Md/Y . Si Y crece linealmente observe que Md crece a ráız cuadrada.
Por ende, aquellos con menor Y tendrán mayor parte de su ingreso en tenencias en dinero.
11. El hecho que la teoŕıa cuantitativa de dinero no sea corroborada por los datos en el corto plazo es
una indicación clara de que esta no se cumple.
RESPUESTA:
Incierto, en efecto no se cumple en el corto plazo con lo cual no hay neutralidad y el dinero tiene
efectos reales. Pero en el largo plazo probablemente se cumpla, lo que indica que en el largo plazo
el dinero es neutral.
12. Explique por qué para que el dinero no sea neutral es necesario asumir que hay rigideces de precios
nominales.
RESPUESTA:
Si existen rigideces nominales, una baja en la tasa de interés implicará que habrá más dinero en la
economı́a, lo que a su vez estimula la demanda. Esta presión de demanda, en presencia de rigideces
de precios, no se traducirá en presiones inflacionarias, sino que en mayor producto.
3
13. En una economı́a donde el dinero es neutral la inflación es siempre igual a la tasa de crecimiento
de la cantidad de dinero.
RESPUESTA:
Falso, recordar que:
π =
∆M
M
− gȳ
Por tanto, si gȳ > 0 no se cumplirá lo del enunciado. Lo expresado en el enunciado se cumple solo
si gȳ = 0.
14. Usted es consejero del Banco Centraly enfrenta una situación de aumento de la inflación. Luego,
en la Reunión de Poĺıtica Monetaria otro consejero afirma que el dinero no tiene efectos en el largo
plazo. ¿Qué respalda esto? ¿En qué supuestos descansa? ¿Qué le diŕıa usted?
RESPUESTA:
La teoŕıa de la dicotomı́a clásica. Esta descansa en los supuestos que en el largo plazo el producto
corresponde al de pleno empleo (precios flexibles), y además que la velocidad de circulación del
dinero es constante. Esta afirmación corresponde a lo que en macroeconomı́a se conoce como dico-
tomı́a clásica. Este concepto plantea una separación cuando hablamos de componentes nominales
y reales de la economı́a. En śıntesis, asegura que ambos componentes son independientes, es decir,
las variables reales se determinan en la parte real (mercado de bienes) de la economı́a, mientras
que las nominales se determinan en la parte nominal (mercado de dinero). Por ende, se dice que a
largo plazo (variables en sus valores de equilibrio), el dinero no afecta a variables reales (es neutral
en la parte real de la economı́a). Finalmente, en el corto plazo cambios en las variables nominales
śı tendrán efectos en las reales.
15. Si los cambios en la inflación no se traducen uno a uno en cambios en la tasa de interés nominal,
entonces el dinero no seŕıa neutral.
RESPUESTA:
Verdadero, suponiendo que πe = π, eso es que no se cumpla el efecto Fischer. Dado i = r + π si
sube π y la tasa de interés no lo hace en la misma magnitud, la tasa real bajará, con lo cual habrá
efectos reales.
16. Imagine una economı́a en la que el dinero es neutral. El producto se encuentra en su nivel de pleno
empleo y se cumple paridad de poder de compra (PPP). Con lo anterior se puede afirmar que, si el
crecimiento de la masa monetaria en esta economı́a es de x%, entonces el tipo de cambio nominal
se depreciará en x%.
RESPUESTA:
Sabemos que:
∆e
e
=
∆M
M
− π∗
4
Reemplazando los valores del enunciado:
∆e
e
= x%− π∗
Es decir, el tipo de cambio nominal presentará una tasa de depreciación de la variación en la
masa monetaria menos la inflación internacional. Recordar que cuando aumenta el tipo de cambio
nominal implica una depreciación de este.
17. En el modelo de Baumol-Tobin visto en clases un aumento en el costo de retirar dinero disminuye
el número de retiros, por ende, la demanda por dinero también disminuye. Justifique con la ecua-
ción correspondiente.
RESPUESTA:
El comente es falso. Efectivamente disminuirá la cantidad de retiros cuando aumenta el costo de las
transferencias, sin embargo, debido a que se está haciendo menos retiro se están haciendo retiros
más grandes, lo que implica que la demanda por dinero aumentará.
Es fácil corroborar esto con las ecuaciones para el número de retiros óptimos y demanda óptima
por dinero en el modelo visto en clases. Solo hay que hacer la derivada con respecto al costo de
las transferencias.
1.2. Cálculos monetarios
La función de demanda por dinero real de una economı́a es la siguiente:
log
(
M
P
)
= 0,8 log(Y )− 0, 5 log(i)
Donde Y es producto real e i tasa de interés nominal.
(a) Calcule el crecimiento de la cantidad de dinero necesario si desea reducir la tasa de interés en un
1 % y si se espera que el producto real crecerá en un 4 %, de forma que se mantenga constante el
nivel de precios.
RESPUESTA:
Definiendo en minúsculas las variables escritas en logaritmo [x = ln(X)] tenemos que la función
de demanda por dinero se puede escribir como:
m− p = 0,8y − 0, 5i
Luego, tomando diferencias:
∆m−∆p = 0,8∆y − 0, 5∆i (1)
En este caso, ∆i = −1 y ∆y = 4. Además se quiere mantener constante el nivel de precios, lo que
significa que ∆p = 0. Usando la ecuación (1) tenemos que ∆m = 3, 7.
5
(b) Suponga ahora que el gobierno está dispuesto a aceptar una inflación del 5 %. Rapita sus cálculos
para la parte (a).
RESPUESTA:
En este caso ∆p = 5. Con eso, se tiene que ∆m = 3, 7 + 5 = 8, 7.
(c) El PIB crece a una tasa de un 5 % anual, la inflación acaba siendo de un 10 % y el banco central
ha elevado la cantidad de dinero en un 8 %. ¿Qué habrá ocurrido con la tasa de interés?
RESPUESTA:
En este caso ∆y = 5, ∆p = 10 y ∆m = 8. Usando nuevamente la ecuación (1) llegamos a que
∆i = 12, es decir, un aumento de 12 % en la tasa de interés.
1.3. Teoŕıa cuantitativa del dinero y ajustes
Suponga una economı́a que lleva diez años con inflación de 8 % anual y la tasa de interés real es de 5 %.
No hay crecimiento del producto ni de los salarios reales (w/P ) y la inflación mundial es de 2 %.
(a) ¿Cuál seŕıa una aproximación razonable de las expectativas de inflación de los agentes de esta
economı́a para el próximo año si no ha habido modificaciones estructurales en la economı́a?
RESPUESTA:
Debido a que no ha habido cambios estructurales y que la economı́a lleva 10 años con inflación de
8 % las expectativas de inflación razonablemente serán 8 % también: πe = 8 %.
(b) Dada su respuesta en (a), ¿cuál debe ser la tasa de interés nominal y en cuánto ha de estar au-
mentando la cantidad de dinero año a año?
RESPUESTA:
i = 8 % + 5 % = 13 %
Por otro lado:
∆M
M
= 8 % +
∆y
y
= 8 %
ya que no hay crecimiento del producto ∆y/y = 0.
(c) ¿En cuánto se estarán reajustando los salarios y el tipo de cambio cada año dado que el dinero es
neutral y no hay crecimiento del producto?
RESPUESTA:
Debido a que no hay crecimiento del producto y el dinero es neutral los salarios también se
6
ajustarán en un 8 % anual. Por otro lado, recordando la ecuación para el cambio porcentual en el
tipo de cambio nominal tenemos que:
∆e
e
= 8 %− 2 % = 6 %
(d) ¿Cómo puede el gobierno bajar la inflación a 0 %?
RESPUESTA:
Para bajar la inflación, según la teoŕıa cuantitativa simple del dinero, debe desacelerarse el aumento
del dinero de manera de llegar a la inflación meta de 0, matemáticamente:
∆M
M
= πmeta +
∆y
y
Para poder hacer esto, y dado que el producto no crece, se debe reducir el aumento del dinero a
cero.
(e) ¿En cuánto se reajustarán los salarios si nadie cree que el gobierno pueda llevar a cabo su programa
antiinflacionario y se sigue esperando una inflación de 8 %?
RESPUESTA:
Los salarios se ajustarán de manera de mantener el valor del salario real w/P constante. Esto
implica que aumentarán en un 8 % en ĺınea con las expectativas de inflación esperada. Note que
en este caso, es importante tener en cuenta las expectativas de inflación. Si el gobierno anuncia
que bajará la inflación pero no es creible, los agentes se comportarán esperando una inflación del
8 %, no menos.
(f) ¿Qué sucederá con el PIB si el gobierno insiste en su inflación meta de 0 % aun cuando no han
cambiado las expectativas de inflación? ¿Cuál es el rol de las expectativas?
RESPUESTA:
La inflación será de 8 % y el crecimiento del dinero será 0 % por ende el producto caerá en 8 %.
En esta pregunta se evidencia que si el gobierno quiere bajar la inflación sin que esto tenga
repercusiones sobre el producto el anuncio debe ser totalmente créıble.
(g) ¿En cuánto se reajustarán los salarios el periodo siguiente si: (i) no se ajustaron hoy, (ii) la inflación
hoy fue de 8 % y (iii) todos creen que el gobierno va a poder lograr su meta antiinflacionaria y,
por tanto, esperan una inflación de 0 %?
RESPUESTA:
Si todos creen que la inflación será de 0 % debido a que la meta antiinflacionaria es créıble, entonces
los salarios se ajustarán en 8 %, con el fin de mantener el salario real constante. Esto debido a que
hoy la inflación es 8 % pero el periodo siguiente la inflación será 0 %, por tanto, los salarios deben
ajustarse en un 8 % mañana para mantenerse constante.
7
1.4. Demanda por dinero y teoŕıa cuantitativa
La demanda por dinero en una economı́a está dada por la siguiente función:
Md
P
= 500 + 0,2Y − 1000i
(a) Suponga que P = 100, Y = 1000 e i = 0,1. Encuentre la demanda real por dinero, la demanda
nominal por dinero, y la velocidad de circulacióndel dinero.
RESPUESTA:
Para encontrar la demanda real y nominal reemplazamos los valores entregados por el enunciado.
De tal manera que:
Md
P
= 500 + 0,2 ∗ 1000− 1000 ∗ 0,10
Md
P
= 600
Md = 600 ∗ P = 60000
Donde la velocidad del dinero se obtienee del uso de la teoŕıa cuantitativa del dinero:
V =
Y
Md
P
=
1000
600
=
5
3
(b) Los precios se duplican de P = 100 a P = 200. Encuentre la demanda real por dinero, la demanda
nominal por dinero, y la velocidad de circulación del dinero.
RESPUESTA:
La demanda real por dinero no ha cambiado, ya que tanto Y como i no han cambiado. Por tanto,
la demanda nominal por dinero tiene que aumentar en la misma proporción:
Md
200
= 600
Md = 120000
La velocidad de circulación se mantiene constante ya que ni Y ni Md/P han variado.
(c) Usando la función de la demanda por dinero, determina cómo la velocidad es afectada por:
(c.1) Un aumento en el ingreso real (Y).
RESPUESTA:
Un aumento de Y aumenta la demanda por dinero menos que proporcionalmente. Por tanto,
la velocidad aumenta. Por ejemplo, si ∆Y = 100, entonces ∆M
d
P
= 20, por lo tanto ∆+V .
(c.2) Un aumento en la tasa de interés nominal (i).
8
RESPUESTA:
Si ∆+i, entonces ∆−M
d
P
(recordar que la demanda real del dinero depende negativamente de
la tasa de interés nominal), por tanto ∆+V .
(c.3) Un aumento en el nivel de precios (P).
RESPUESTA:
Si ∆+P , entonces ∆+Md, por lo que M
d
P
se mantiene constante, por lo tanto, V se mantiene
constante.
1.5. Classic Baumol-Tobin
Un individuo recibe un ingreso de Y cada periodo, el que consume de manera lineal sobre este. Supon-
dremos que los periodos tienen una duración de 1. El ingreso, que es recibido al comenzar el periodo,
es depositado directamente en la cuenta del individuo. El individuo puede mantener sus ingresos en la
cuenta que le paga intereses al final del periodo sobre el promedio del balance de la cuenta o puede tener
su ingreso en forma de dinero, que no paga intereses. Sin embargo, el dinero es necesario para hacer
transacciones. Para retirar dinero de la cuenta el individuo debe ir al banco, lo que implica un costo fijo
de b por cada vez que va al banco.
El individuo elige el número de veces que va al banco para maximizar los intereses que obtiene por tener
el dinero en la cuenta, neto de los costos de viajes al banco. En este ejercicio, a diferencia de lo visto en
clases, asuma que el dinero Y solo se gasta en retiros, es decir, Y = nR.
(a) Asuma por simplicidad que los viajes al banco se realizan de manera equidistante durante el perio-
do. ¿Cuál es el promedio de las tenencias en dinero del individuo cada periodo si este va al banco
N veces? ¿Cuál es el promedio del balance en la cuenta del individuo cada periodo?
RESPUESTA:
Sabemos de clases que el saldo promedio que tiene en dinero es:
R
2
Dado que Y = nR (por enunciado), el saldo promedio, como función de n, es:
R
2
=
Y
2n
Por ende, el saldo promedio que tiene en su cuenta de ahorro será simplemente el total de ingreso
recibido Y menos el saldo promedio en tenencias de dinero:
Y − Y
2n
=
Y (2n− 1)
2n
(b) Escriba el problema del individuo. Encuentre el número de viajes óptimos N∗.
9
RESPUESTA:
Los costos de las tenencias de dinero son el costo de oportunidad por haber tenido dinero y no
haber ganado los intereses:
i
R
2
= i
Y
2n
Los costos de retirar dinero son:
nb
Por ende, el problema del individuo es:
mı́n
n
i
(
Y
2n
)
+ nb
Resolviendo el problema encontramos que:
n∗ =
√
iY
2b
(c) Utilizando (a) y (b) encuentre el promedio de las tenencias de dinero en cada periodo del individuo.
Compute la elasticidad interés de la demanda por dinero.
RESPUESTA:
Sabemos que las tenencias de dinero que tiene el individuo en el tiempo (las tenencias promedio)
son:
R
2
=
Y
2n
Sabemos que el número óptimo de retiros es:
n∗ =
√
iY
2b
Por ende la demanda por dinero nominal de individuo será:
Md =
√
bY
2i
Denotando b̃ como el costo real de retirar dinero, b̃ = b/P e ỹ como el ingreso real del individuo,
ỹ = Y/P , tenemos que la demanda real del individuo es:
Md
P
=
√
b̃ỹ
2i
Para obtener la elasticidad de la demanda por dinero real respecto a la tasa de interés aplicamos
10
logaritmo a la demanda real:
log
(
Md
P
)
= 1/2 log(b̃) + 1/2 log(ỹ)− 1/2 log(i)− log(2)
Luego, la elasticidad será:
∂ log(Md/P )
∂ log(i)
= −1/2
1.6. Baumol-Tobin y descuentos electrónicos (C1 S2-2019)
Suponga el modelo de Baumol-Tobin donde un individuo gasta linealmente su ingreso, el periodo en
cuestión es de largo 1 y realiza n retiros de igual magnitud (R), de manera de minimizar el costo de
oportunidad de mantener efectivo y el costo que incurre por cada retiro (Z) que cobra el banco en
cuestión.
(a) Plantee el problema de minimización de costos e identifique claramente el trade-off entre número
de retiros e intereses ganados en la cuenta de ahorro. Note que no es necesario que resuelva el
problema para responder esta pregunta.
Sabemos que el problema de minimización de costos es:
mı́n
n
i
(
Y
2n
)
+ nZ
de donde se puede apreciar claramente el trade-off, por un lado, retiros más grandes implican que
haré menos número de retiros, pero significa que mi costo de oportunidad por intereses que podŕıa
haber ganado son mayores, por otro lado, si se realizan muchos retiros con el fin de no perder
ingreso proveniente de los interereses tendré que pagar muchas veces el costo de retirar dinero. El
individuo balancea estos dos costos.
(b) ¿Cuál es la conclusión más importante de este modelo y cuáles son los supuestos fundamentales?
RESPUESTA:
. Los supuestos fundamentales del modelo son que (i) el dinero es necesario para hacer transac-
ciones, (ii) el obtener liquidez (efectivo) tiene un costo asociado, (iii) el individuo gasta su dinero
linealmente a través del tiempo y los retiros son de igual magnitud, es decir, asumimos dado el
comportamiento del agente.
La conclusión del modelo es que a pesar de que el dinero tiene un costo de oportunidad el hecho
que sea necesario para realizar transacciones justifica una demanda por este.
(c) Usando solo su intuición, ¿cómo cree que seŕıa afectada la demanda por saldos reales si aumenta
la cantidad de bancos? Piense qué ocurre cuando aumenta el número de competidores (bancos),
qué parámetro(s) se veŕıa(n) afectado(s) y por qué.
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RESPUESTA:
Si aumenta la cantidad de bancos entonces habrá más competencia entre ellos. Si hay más com-
petencia entre los bancos entonces estos cobrarán menos por el hecho de transferir recursos de la
cuenta de ahorro a la cuenta corriente. Es decir, el parámetro afectado será Z, el cual disminuirá.
Por ende, la demanda por dinero disminuirá, ya que se realizarán más retiros, ya que estos cuestan
menos.
(d) Suponga que existe otra forma de llevar a cabo transacciones, a través de descuentos electrónicos
(T ), donde T es el total de recursos descontados de la cuenta de ahorro. Este sistema es recibido
en todos los negocios y no se descuenta el dinero de la cuenta de ahorro hasta el momento de
llevarse a cabo la transacción por lo que no implica el costo de oportunidad i. Suponga además
que el uso de los descuentos electrónicos no tiene costo alguno. Plantee el problema del individuo
bajo este nuevo escenario. ¿Cuál será la nueva demanda por dinero en la cuenta corriente? ¿Cuál
será la demanda por estos descuentos electrónicos? ¿Existirá dinero circulante en esta economı́a?
RESPUESTA:
Intuitivamente, si existe otro medio, que tiene lo mejor de las dos alternativas existentes, es decir,
que los fondos en los descuentos electrónicos pagan intereses y además se puede utilizar estos
fondos como medio de pago, entonces, los descuentos electrónicos dominarán al dinero (ya que el
dinero no percibe intereses y además tiene un costo de retiro asociado). Por ende, el agente no
tiene ninguna razón para tener dinero en la cuenta corriente, su medio de pago serán los descuentos
electrónicos.
Por ende,la demanda por descuentos electronicos será simplemente:
Y = T
El problema de demanda por dinero del individuo sabemos que dará como solución que el óptimo
serán cero retiros, pero para ilustrar:
mı́n
n
i
(
Y − T
2n
)
+ nZ
Como sabemos que Y = T , entonces el problema del individuo será:
mı́n
n
nZ
Dado que la gente no puede realizar retiros negativos, es decir, n ≥ 0, la ecuación anterior se
minimiza cuando n = 0.
(e) Suponga ahora que los descuentos electrónicos y el dinero no son perfectos sustitutos en todos los
escenarios y que del ingreso del individuo se gasta una proporción λY en actividades informales
(almacenes) y (1− λ)Y en actividades formales (mall), obviamente 0 < λ < 1. Note que el dinero
destinado tiene que tener en consideración los costos que conlleva usar dinero (cuenta corriente). Si
los almacenes no aceptan pagos electrónicos pero śı el efectivo, encuentre la demanda por dinero
en función de (n, λ). ¿Cómo evoluciona la demanda por dinero si λ se acerca a 0? ¿Cuál es la
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intuición de lo anterior?
RESPUESTA:
Las personas destinarán λY de su dinero a comprar en almacenes, lo que es equivalente a,
λY = nR
Por tanto, el problema de minimización será:
mı́n
n
i
(
λY
2n
)
+ nZ
Esto dará como solución que:
n∗ =
√
λY i
2Z
Siλ tiende a cero es equivalente a decir que no utilizará dinero para comprar en almacenes sino
que comprará todo en malls, si no necesita dinero, entonces n∗ = 0, que es lo mismo que se obtiene
reemplazando λ = 0 en n∗.
1.7. Baumol-Tobin y demanda por dinero real (P1 S2-2019)
Considere el modelo de Baumol-Tobin visto en clases, pero esta vez tendrá modificaciones.
Recuerde que en este modelo una persona recibe un ingreso nominal de Y > 0 en su cuenta de ahorro en
cada periodo. Normalizaremos el largo del periodo a 1. Esta persona necesita dinero para transacciones
ya que gasta linealmente su dinero a través del tiempo. Para obtener dinero debe transferirlo (retira una
cantidad R) de su cuenta de ahorro, la que paga un interés i > 0, a su cuenta corriente, la que no pa-
ga intereses. Transferir dinero no es gratis si no que tiene un costo nominal Z > 0 cada vez que transfiere.
El dinero depositado en su cuenta de ahorro solo en los retiros, por lo que, Y = nR. Sin embargo, aun
tiene que tener en consideración el pago Z de cada retiro en el problema del individuo.
(a) Recuerde que en este modelo el agente enfrenta dos costos, identif́ıquelos, interprételos e interprete
el trade-off que está detrás. Además, plantee el problema de minimización de costos del individuo
y expĺıquelo en palabras.
RESPUESTA:
Los costos que enfrenta el individuo por manejo de dinero son dos:
(i) Por un lado, cada vez que hace un retiro de la cuenta de ahorro tiene un costo nominal de Z.
(ii) Por otro lado, dinero que tiene fuera de la cuenta de ahorro es dinero que no genera intereses,
por tanto, la tenencia de dinero en la cuenta corriente (o en efectivo) conlleva un costo de
oportunidad, los intereses que no genera ese dinero.
El trade-off se puede evidenciar viendo los siguientes casos:
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(i) Realiza pocos retiros, pero cada vez retira mucho dinero. Esta estrategia conlleva pocos costos
por retirar dinero, sin embargo, implica muchos costos de oportunidad, especialmente si la
tasa de interés es alta.
(ii) Por otro lado, podŕıa hacer muchos retiros, pero cada vez retira poco dinero. Este plan de
acción conlleva pocos costos de oportunidad, ya que, retira lentamente el dinero de la cuenta
de ahorro, sin embargo, debe pagar cada vez que hace un retiro, por ende, el costo total por
realizar retiros seŕıa muy alto.
El trade-off es entre el aumento de los costos por retirar poco dinero pero muchas veces v/s el
aumento de los costos por retirar pocas veces pero mucho dinero.
Sabemos de clases que el problema del individuo será:
mı́n
n
i
(
Y
2n
)
+ nZ
Por tanto, debe balancear los costos generados por el hecho de retirar dinero y por el hecho de que
tener efectivo (o dinero en la cuenta corriente) conlleva un costo de oportunidad.
Del problema de minimización que usted planteo en el inciso (a) se puede mostrar (no necesita hacerlo)
que la demanda por dinero real está dada por:
Md
P
=
√
yz
2i
(b) Teniendo en mente cómo funciona y los supuestos del modelo conteste en palabras, sin matemática,
las siguientes preguntas:
(b.i) ¿Por qué la demanda real por dinero es creciente en y?
RESPUESTA:
A mayor ingreso real el individuo realiza más transacciones, para realizar más transacciones
el individuo debe poseer dinero en efectivo (cuenta corriente). El hecho que mayor ingreso
implique más transacciones viene del hecho que uno de los supuestos del modelo es que el
individuo gasta todo su ingreso en el periodo en cuestión.
(b.ii) ¿Por qué la demanda real por dinero es creciente en z?
RESPUESTA:
Si aumenta el costo real de retirar fondos de la cuenta de ahorro el individuo realizará menos
retiros, debido a que realiza menos retiros y debe gastar todo su ingreso, cada vez que realiza
un retiro retira más dinero, con el fin de evitar pagar el costo fijo por retirar.
(b.iii) ¿Por qué la demanda real por dinero es decreciente en i?
14
RESPUESTA:
Dinero en la cuenta corriente es dinero que no percibe intereses, por ende, si la tasa de interés
crece, el agente querrá reducir el costo de oportunidad por el hecho de tener dinero en su
cuenta corriente reduciendo las magnitudes de los retiros.
Suponga ahora que el modelo de Baumol-Tobin es una representación exacta de como se
comportan los agentes y además que la economı́a es habitada por 1 persona, de modo que la demanda
por dinero real de la economı́a coincide con la demanda por dinero real de la persona.
(c) Considere ahora a un econometrista que duda del modelo de Baumol-Tobin como fiel representación
de la demanda por dinero, en consecuencia, él estima la siguiente regresión:
log
(
Mt
Pt
)
= α0 + α1 log(yt) + α2 log(zt) + α3 log(it) + εt
La muestra del econometrista es muy grande, por tanto, los parámetros que él estime serán muy
precisos, casi iguales al verdadero valor de estos1. ¿Qué valor de los parámetros obtendrá en sus
estimaciones? Es decir, ¿cuáles serán los valores de α̂0, α̂1, α̂2 y α̂3 que debiese obtener el econo-
metrista? ¿Cuál es la interpretación de los párametros estimados α̂1, α̂2 y α̂3?
RESPUESTA:
Los datos de la demanda real por dinero son generados por la ecuación de demanda por dinero
real que derivamos del modelo de Baumol-Tobin, es decir, para cada t tenemos que:
Mdt
Pt
=
√
ytzt
2it
En equilibrio la demanda por dinero Md debe ser igual a la oferta de este M , por ende,
Mt
Pt
=
√
ytzt
2it
Luego, aplicando logaritmo a la ecuación anterior obtenemos que:
log
(
Mt
Pt
)
= 1/2 log(yt) + 1/2 log(zt)− 1/2 log(it)− 1/2 log(2)
En consecuencia, el econometrista obtendrá los siguientes parámetros estimados:
α̂0 ≈ −1/2 log(2)
α̂1 = α̂2 ≈ 1/2
α̂3 ≈ 1/2
1Para evitar problemas con el logaritmo y posibles tasas de interés iguales a cero suponga que it > 0 para toda la
muestra del econometrista
15
Los coeficientes estimados son elasticidades, ya que, por ejemplo:
∂ log(Mt/Pt)
∂ log(yt)
= εy = α̂1
Interpretaciones de los coeficientes:
(i) La interpretación de α̂1 es que si el producto real sube en 1 % la demanda por dinero real
aumentará en α̂1 %. Análogo para α̂2.
(ii) Por otro lado, si la tasa de interés sube en un 1 % la demanda por dinero real disminuirá en
α̂3 %.
Las interpretaciones económicas son las mismas que las del ı́tem (d).
En la realidad el modelo de Baumol-Tobin no es una representación exacta de la demanda
por dinero real de la economı́a, pero es una buena aproximación. Sin embargo, estimaciones
emṕıricas de la demanda por dinero real evidencian que la elasticidad ingreso real de esta es cercana a
1, lo que dista significativamente de la elasticidad que se obtiene a partir del modelo tal y como está.
(d) Frente a lo anterior usted modifica el modelo de Baumol-Tobin.Ahora el costo real de retirar
dinero es z = βy, con β > 0, es decir, el costo real de retirar dinero es proporcional al ingreso real
que posee el agente. ¿Cuál es la elasticidad ingreso de la demanda por dinero que se obtiene del
modelo con esta modificación? ¿Logra esta modificación que la elasticidad ingreso de la demanda
obtenida a partir del modelo esté acorde con los datos?
RESPUESTA:
Note que el problema es exactamente el mismo, solo que ahora z = βy, por tanto, reemplazando
z en la expresión para la demanda por dinero real tenemos que:
Md
P
= y
√
β
2i
Aplicando logaritmo:
log
(
Md
P
)
= log(y) + 1/2 log
(
β
2i
)
Luego,
∂ log(Md/P )
∂ log(y)
= 1
La elasticidad respecto al ingreso real de esta nueva demanda por dinero es 1, lo que coincide con
las estimaciones emṕıricas.
16
1.8. Demanda y velocidad del dinero
Suponga la siguiente demanda por dinero real:
L(y, i) = Ayα exp (−βi) , A > 0, 0 < α ≤ 1, β > 0 (2)
Donde y es el producto real e i es la tasa de interés nominal. Asuma que los precios son totalmente
flexibles y que no existe incertidumbre.
(a) Teniendo en mente la teoŕıa cuantitativa y que el mercado monetario está en equilibrio exprese la
velocidad del dinero como función de y e i. Luego, a partir de lo anterior muestre que:
∆ %V = (1− α)∆ %y + β∆i (3)
Donde V es la velocidad del dinero.
RESPUESTA:
Sabemos que:
MV = Py
⇔ V = P
M
y
Del equilibrio del mercado monetario tenemos que:
M
P
= L(y, i)
Utilizando estas dos últimas ecuaciones:
V (y, i) =
y
Ayα exp(−βi)
=
y1−α exp(βi)
A
Aplicando logaritmo y luego diferenciando:
log(V (y, i)) = (1− α) log(y) + βi− log(A)
⇒ ∆ %V = (1− α)∆ %y + β∆i
Suponga que inicialmente la tasa de interés es constante y que no hay crecimiento del producto.
(b) Interprete económicamente qué consecuencias tiene para ∆ %V los siguientes escenarios, los que
son excluyentes entre ellos, es decir, si ocurre uno no ocurre el otro y viceversa:
Tenga en cuenta que se le está pidiendo una interpretacion económica. Si su respuesta
solo señala que, cuando el producto crece porcentualmente en ∆ %y entonces la velocidad crece
porcentualmente en (1− α)∆ %y, no tendrá puntaje.
(b.i) El producto crece a una tasa ∆ %y > 0.
RESPUESTA:
Si el producto crece significa que habrá más dinero circulando por la economı́a aumentando la
17
velocidad del dinero, ya que se necesita que el dinero circule más rápido para hacer más tran-
sacciones. Sin embargo, al aumentar el producto, manteniendo la tasa de interés constante,
aumenta la demanda por dinero en α∆ %y, o lo que es lo mismo, aumenta M en equilibrio en
esa cantidad, reduciendo la cantidad de veces tiene que circular el dinero, en otras palabras,
disminuyendo la velocidad.
¿Cuál efecto domina? Note que cuando aumenta ∆ %y en una unidad ∆ %V también lo hace
en una unidad, por otro lado, cuando ∆ %y aumenta en una unidad la velocidad del dinero
cae en α∆ % unidades. Sumando estos dos efectos tenemos que la velocidad del dinero au-
menta en (1− α)∆ %y.
(b.ii) La tasa de interés aumenta en ∆i > 0.
RESPUESTA:
Al aumentar ∆i cae la demanda por dinero, lo que en equilibrio, reduciŕıa la cantidad de
dinero M . Esto implica que la velocidad del dinero tiene que aumentar para poder hacer
las mismas transacciones pero con menor stock de dinero. ¿Cuánto aumenta ∆ %V ? Si ∆i
aumenta en una unidad la demanda por dinero cae en β unidades, por tanto, ∆ %V subiŕıa
en β unidades.
1.9. Baumol-Tobin con algunos retiros gratis (P1 S2-2020)
En el modelo de Baumol-Tobin visto en clases el largo del mes es 1 (por normalización) y un individuo
recibe un pago mensual nominal Y que se le deposita en su cuenta de ahorro. El dinero en la cuenta de
ahorro percibe un interés i. Cada vez que el agente decide retirar dinero de su cuenta de ahorro, para
transferirlo a cuenta corriente, deberá pagar un costo nominal igual a Z. El individuo gasta todo su
ingreso en el mes y este gasto lo hace de manera lineal, haciendo n retiros, todos del mismo monto R.
Cada retiro ocurre cuando se acaba el retiro anterior.
(a) Explique con sus palabras qué tipos de costos enfrenta el individuo. Explique el trade-off que
enfrenta. Luego, plantee (no resuelva) el problema de optimización del agente, indentificando cla-
ramente los tipos de costos.
RESPUESTA:
Sabemos que el problema de minimización de costos es:
mı́n
n
i
(
Y
2n
)
+ nZ
de donde se puede apreciar claramente el trade-off, por un lado, retiros más grandes implican que
haré menos número de retiros, pero significa que mi costo de oportunidad por intereses que podŕıa
haber ganado son mayores, por otro lado, si se realizan muchos retiros con el fin de no perder
ingreso proveniente de los interereses tendré que pagar muchas veces el costo de retirar dinero. El
individuo balancea estos dos costos.
18
La evidencia señala que la elasticidad de la demanda por dinero respecto a la tasa de interés no es
constante. En este ejercicio extenderemos el modelo de Baumol-Tobin para dar cuenta de este hecho.
La modificación consiste en que el individuo puede hacer p transferencias (retiros) gratis.
(b) Teniendo en mente los costos y la modificación propuesta responda, solo usando su intuición sin
matemática, ¿por qué el número de retiros óptimos, n∗, siempre será n∗ ≥ p? Esto es, ¿por qué no
tendremos nunca que n∗ < p? Explique además qué sucede cuando p→∞.
RESPUESTA:
Suponga lo contrario, es decir que n∗ < p. Si sucediera lo anterior no estamos en un óptimo, debido
a que el individuo podŕıa realizar p − n∗ retiros más, disminuyendo la cantidad de dinero en su
cuenta corriente, por ende, disminuyendo los costos de oportunidad de manejar dinero. Por tanto,
se tiene que dar que en el óptimo n> = p. Es decir, la mı́nima cantidad de retiros que podŕıa
hacer en el óptimo será n∗ = p o n∗ > p. En el caso que se realicen más retiros que la cantidad
gratuita el individuo prefiere pagar el costo de retiros para disminuir los costos de oportunidad.
Probablemente, si n∗ > p significa que la tasa de interés es muy alta.
Por otro lado, si tenemos infinitos retiros gratis p→∞ el individuo hará infinitos retiros (también
sirve si escriben que harán muchisimos retiros). Cada vez que hace un retiro lo utiliza para pagar.
En otras palabras, es análogo al caso Z = 0, en cuyo caso es como si pagara directamente de
la cuenta de ahorro, sin pasar por la cuenta corriente. En este escenario los costos serán ceros,
no paga costos por transferencias y tampoco tiene el costo de oportunidad de tener dinero en su
cuenta corriente.
Se puede mostrar, no es necesario que lo haga, que los costos por retirar dinero ahora son:
Z ×máx {n− p, 0}
donde el operador “máx” toma el valor máximo entre las opciones indicadas, por ejemplo, máx {x,w} =
x, si x ≥ w.
Con lo anterior el problema del individuo es:
mı́n
n
{
iY
2n
+ Z ×máx {n− p, 0}
}
(4)
(c) Muestre que la demanda por dinero óptima está dada por:
Md =

√
ZY
2i
si n∗ > p
Y
2p
si n∗ = p
(5)
19
Además, explique intuitivamente por qué está dividida en dos partes.
Ayuda: Para encontrar la demanda por dinero nominal óptima evalúe y resuelva el problema (4)
en dos escenarios (i) n∗ > p y (ii) n∗ = p.
RESPUESTA:
Primero, supongamos que n > p. En este caso máx{n− p, 0} = n− p. En consecuencia,
mı́n
n
{
iY
2n
+ Z × (n− p)
}
Este problema tiene la mima condición de primer orden que el problema original de baumol-tobin.
En consecuencia, la solución será la misma, que es lo que se nos presenta en (5).
Por otro lado, si n∗ = p, entonces la demanda por dinero óptima estará dada por:
Md =
Y
2n∗
=
Y
2p
que es lo que obtenemos en la ecuación (5).
La intuición de que esté dividida en dos partes la demanda por dinero es consecuencia de lo que
señalamos en el inciso (b). Es decir, el mı́nimo de retiros, dada la tasa de interés y el costo de
transferencia, el mı́nimo de retiros que hará será p, en consecuncia, el máximo de dinero que
demandaráserá Y/2p. Si la tasa de interés es muy alta, entonces, observaŕıamos la demanda de
Baumol-Tobin t́ıpica.
(d) Se puede mostrar, no necesita hacerlo, que:
n∗ = máx
{√
iY
2Z
, p
}
(6)
y que
Md =

√
ZY
2i
si i ≥ 2Zp
2
Y
Y
2p
si i <
2Zp2
Y
(7)
¿Cuál es la elasticidad de la demanda por dinero nominal respecto a la tasa de interés? ¿Presenta
una elasticidad constante o esta cambia según variemos la tasa i? ¿Por qué existe un umbral para
la tasa de interés? ¿Cuál es la intuición detrás de estos resultados?
Ayuda: nuevamente, piense en los costos y los trade-off del modelo.
RESPUESTA:
20
La ecuación de la demanda por dinero presentada confirma nuestras intuciones, dado el costo de
transferencia, si la tasa de interés es superior a cierto umbral entonces el individuo hará más retiros
que los gratis. Por otro lado, si la tasa de interés no supera el umbral entonces el individuo hará
solo p retiros.
La elasticidad tasa de interés de esta demanda por dinero es:
ηMd,i =

−1/2 si i ≥ 2Zp
2
Y
0 si i <
2Zp2
Y
Por tanto, la elasticidad no será constante. La intuición de lo anterior es que cuando la tasa es muy
baja, menor que el umbral, y esta sube un poco, el individuo no tendrá la necesidad de realizar
más que los p retiros gratis, que ya estaba haciendo antes de que subiera. Sin embargo, cuando la
tasa de interés es muy alta, entonces un aumento de esta hará que el individuo quiera hacer más
retiros y de esta forma disminuir marginalmente el costo de oportunidad.
(e) Grafique la demanda por dinero nominal (7), colocando la tasa de interés nominal en el eje vertical.
Al graficar tenga en cuenta que la función de demanda por dinero está divida en dos partes, según
sea valor de i. ¿Qué ocurre gráficamente cuando aumenta el número de retiros gratis? Provea la
intuición económica correspondiente de su respuesta gráfica.
RESPUESTA:
Figura 1: Demanda por dinero
" "
÷.IZP
La demanda tiene pendiente negativa hasta el umbral para la tasa de interés 2zp2/y.
21
Si aumenta el número de retiros entonces cambia el intercepto con el eje x y sube la tasa de interés
umbral. La intuición es que ahora demanda menos dinero ya que está haciendo más retiros, cada
uno de un monto menor. Por lo tanto, solo cuando la tasa de interés sea muy alta (superior al
umbral) va a querar hacer más retiros (demandar menos dinero).
Figura 2: Cambio en el número de retiros gratis
¡
nah
i. ÷
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