Pauta_Compilado_Oferta_Monetaria___Budnevich

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Macroeconomı́a II: Compilado de ejercicios
Profesor: Francisco Dı́az-Valdés
Universidad de los Andes
Índice
1. Oferta de dinero y poĺıtica monetaria 1
1.1. Demanda por dinero y la Gran depresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Equilibrio en el mercado monetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Evolución a través del tiempo de variables nominales (P1 S1-2020, ver pauta en pdf adjunto) 4
1.4. Dinero, Precios e Inflación (propuesto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Equilibrio en el mercado monetario (P1 S2-2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Dinero y señoreaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. Señoreaje y crecimiento del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Dinero, Inflación, Impuesto inflación y Señoreaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Demanda por dinero, inflación y señoreaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10. Dinero, inflación, impuesto inflación y señoreaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11. Señoreaje y crecimiento (P1 S2-2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.12. Señoreaje e inflación (P1 S1-2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1. Oferta de dinero y poĺıtica monetaria
1.1. Demanda por dinero y la Gran depresión
Entre 1930 y 1933 más de 9.000 bancos suspendieron sus operaciones en Estados Unidos. Cada vez
que uno de estos bancos entró en falencia, los clientes perdieron el valor de los depósitos que teńıan en
el banco (no exist́ıa un seguro estatal a los depósitos) con la consiguiente disminución de la oferta de
dinero.
La escuela monetaria argumenta que la Gran Depresión se pudo haber evitado si el Banco Central de
Estados Unidos hubiera tomado medidas para evitar la cáıda en la oferta de dinero que se produjo como
consecuencia de la crisis bancaria.
El cuadro siguiente muestra datos del sistema monetaria de Estados Unidos antes y después de la crisis
del sistema bancario (1929-1933).
Agosto 1929 Marzo 1933
Oferta de dinero 26,5 19,0
Circulante 3,9 5,5
Depósitos 22,6 13,5
Base monetaria 7,1 8,4
Circulante 3,9 5,5
Reservas 3,2 2,9
Multiplicador monetario 3,7 2,3
Razón reservas-depósitos 0,1 0,2
Razón circulante-depósitos 0,2 0,4
(a) Utilice la ecuación cuantitativa del dinero para explicar por qué una combinación de velocidad
constante, precios ŕıgidos a la baja y una cáıda abrupta de la oferta de dinero llevan a una cáıda
del producto.
RESPUESTA:
La ecuación cuantitativa del dinero nos dice que:
MV = Py
es decir, la oferta de dinero por la velocidad del dinero (número de veces que el dinero cambia
de mano) es igual al nivel de precios por el número de transacciones de la economı́a. Es directo
verificar que ante V constante y P ŕıgidos a la baja, una cáıda de M provocará una cáıda en y
(PIB) de manera que la identidad se siga cumpliendo.
(b) Explique por qué aumentó la razón circulante-depósitos.
RESPUESTA:
Las quiebras de los bancos elevaron el cociente entre efectivo y los depósitos al reducir la confianza
de la gente en el sistema bancario. La gente temı́a que siguieran registrándose quiebras bancarias y
comenzó a ver en el efectivo un tipo de dinero más deseable que los depósitos a la vista. Al retirar
1
sus depósitos, agotaron las reservas de los bancos. El proceso de creación de dinero se invirtió, al
responder los bancos a la disminución de las reservas reduciendo sus volúmenes de préstamos.
(c) Explique por qué aumentó la razón reservas-depósitos a pesar de que la tasa de encaje requerida
por el Banco Central no varió significativamente.
RESPUESTA:
Las quiebras bancarias elevaron el cociente entre las reservas y los depósitos al obligar a los bancos
a ser más cautos. Después de observar numerosos pánicos bancarios, los bancos se resistieron a
operar con una pequeña cantidad de reservas , por lo que estas aumentaron muy por encima
del mı́nimo legal. De la misma manera que las economı́as domésticas respondieron a la crisis
bancaria aumentando su cantidad relativa de efectivos, los bancos respondieron manteniendo una
mayor proporción de reservas. Estos cambios provocaron conjuntamente una gran reducción del
multiplicador monetario.
(d) ¿Se habŕıa evitado la cáıda en la oferta de dinero si hubiese existido un seguro estatal a los de-
positos en 1929? Explique cómo habŕıa variado la evolución de las razones circulantes-depósitos y
reservas-depósitos de haber existido este seguro.
1.2. Equilibrio en el mercado monetario
Suponga una economı́a en la cual los agentes no usan circulante y los bancos tienen que guardar por ley
un 20 % de los depósitos de las personas en sus bóvedas. La demanda por dinero está dada por:
M = Y (0,2− 0,8i)
donde Y es el ingreso nominal e i es la tasa de interés nominal. Inicialmente la base monetaria es 100 y
el ingreso nominal de 5.000.
(a) Recuerde que los agentes mantienen una fracción c̄ entre circulantes y depósitos, es decir, C = c̄D,
donde C representa al circulante y D a los depósitos. ¿Cuál será el valor de c̄ según la información
que nos entrega el enunciado?
RESPUESTA:
La gente no quiere poseer circulante por tanto, c̄ = 0. Es decir, por cada peso depositado las
personas quieren tener cero de circulante.
(b) Determine la oferta de dinero. Recuerde que la relación entre base monetaria (emisión) y oferta
monetaria es:
M =
(
1 + c̄
θ + c̄
)
H
donde H es la emisión y M la oferta.
2
RESPUESTA:
Sabemos que c̄ = 0 y que θ = 0,2 por tanto:
M =
(
1 + c̄
θ + c̄
)
H =
1
0,2
100 = 500
(c) Calcule la tasa de interés de equilibrio.
RESPUESTA:
La tasa de interés de equilbrio es la que iguala la oferta de dinero con la demanda por dinero.
Sabemos que la oferta por dinero es 500 y la demanda será:
Md = Y (0,2− 0,8i)
Note que Y = 5000, por tanto:
Md = 5000(0,2− 0,8i)
En consecuencia, la tasa de interés que equilibra la oferta de dinero con la demanda por dinero es:
5000(0,2− 0,8i) = 500⇒ i∗ = 0,125
Ahora suponga que el ingreso de los agentes aumentó durante el año a 5.750. Y en ese mismo periodo el
banco central aumentó la base monetaria en 123. Si la velocidad de circulación se mantiene constante:
(d) Encuentre la nueva tasa de interés que equilibra el mercado.
RESPUESTA:
La nueva oferta monetaria será M =
1
0,2
123 = 615, por lo que la tasa de interés que equilibra el
mercado es tal que:
Md = 5,750(0,2− 0,8i) = 615⇒ i∗∗ = 0,116
(e) Calcule la inflación y el crecimiento del PIB real (ingreso real) de ese periodo.
RESPUESTA:
Podemos usar la teoŕıa cuantitativa para ver que:
Py = MV ⇔ π + ∆y
y
=
∆M
M
donde y es el ingreso real (PIB real).
Note sin embargo, que nosotros no tenemos el crecimiento del PIB real (y) sino del PIB nominal
(Y). Es decir, nosotros tenemos:
∆Y
Y
=
5,750− 5,000
5,000
= 0,15 = π +
∆y
y
3
Por lo que no podemos separar qué parte de ese 15 % proviene de inflación y que parte del creci-
miento del PIB real. En otras palabras, tenemos una ecuación para dos incógnitas. Por tanto, no
podemos responder lo pedido sin información extra.
1.3. Evolución a través del tiempo de variables nominales (P1 S1-2020, ver
pauta en pdf adjunto)
Considere la ecuación de equilibrio del mercado monetario:
L(i, y) =
M
P
(1)
Suponga que el tiempo es discreto t = T0, T1, T2, . . . , Tn−1, Tn, Tn+1, . . . y que desde t = T0 hasta t = Tn−1
el nivel de precios se ha mantenido constante en P0, la tasa de interés de equilibrio en i0 y la oferta
monetaria nominal en M0.
Asuma que el nivel de precios se ajusta lentamente, que la tasa de interés puede ”saltar 2
que el producto es constante.
(a) Suponga que desde t = Tn en adelante la oferta monetaria incrementa de golpe a M1. Explique
cómo evolucionaŕıan a través del tiempo las siguientes variables: (i) elnivel de precios, (ii) la tasa
de interés de equilibrio, (iii) la oferta monetaria real (M/P ) y (iv) la inflación.
Apoye su explicación mediante gráficos, en espećıfico, el gráfico de equilibrio en el mercado mo-
netario visto en clases y gráficos de la evolución temporal de las variables, uno por cada variable.
En los gráficos de la evolución temporal debe poner en el eje x el tiempo y el eje y la variable en
cuestión.
Ahora suponga que los precios son totalmente flexibles.
(b) Suponga que desde t = Tn en adelante el Banco Central disminuye de golpe la tasa de encaje re-
querida a los bancos desde θ0 a θ1. Explique cómo evolucionaŕıan a través del tiempo las siguientes
variables: (i) el nivel de precios, (ii) la tasa de interés de equilibrio, (iii) la oferta monetaria real
(M/P ) y (iv) la inflación.
Apoye su explicación mediante gráficos, en espećıfico, el gráfico de equilibrio en el mercado mone-
tario visto en clases y gráficos de la evolución temporal de las variables, uno por cada variable en
cuestión.
1.4. Dinero, Precios e Inflación (propuesto)
Suponga una economı́a en la que todos los precios son flexibles. La oferta nominal de dinero es M , el
multiplicador monetario es 1, y la demanda por dinero (saldos reales) está dada por:
L(y, i) = ky − hi
El nivel de precios se denota por P . La tasa de interés real es exógena r y la inflación, decidida por el
Banco Central es π. El producto de pleno empleo y es constante. Suponga P = 1.
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Parte 1
(a) Escriba la ecuación de equilibrio del mercado del dinero. ¿Cuál es la tasa de interés nominal,
la base monetaria y la tasa de crecimiento de la cantida de dinero?
(b) Suponga que el Banco Central decide aumentar la cantidad de dinero, por una sola vez, en
θ× 100 %, es decir llevarla a (1 + θ)M . ¿A cuánto se ajustará de manera instantánea el nivel
de precios?
(c) Suponga ahora que la cantidad demandada de dinero, producto por ejemplo de un aumento
por una sola vez en y, sube en un θ× 100 %. Nuevamente, viendo al equilibrio en el mercado
del dinero indique qué pasa con el nivel de precios.
Parte 2
Suponga que el Banco Central decide aumentar la velocidad de crecimiento del dinero de π a π+ε
(d) ¿Qué pasa con la tasa de interés nominal? ¿Qué pasa con la tasa de interés real?
(e) ¿Qué pasa con la demanda por dinero? ¿Qué debe pasar en consecuencia con el nivel de
precios? Grafique la evolución del nivel de precios y el dinero en el tiempo desde antes del
cambio hasta despúes de este (el eje vertical puede ser en log pues como sabrá aśı las tasas
de crecimiento constantes corresponden a ĺıneas rectas). Suponga que el cambio ocurre justo
en un momento como en el descrito en la parte (a).
(f) No haga ningún cálculo, solo intuición. Suponga que los precios no pueden saltar ni hacia
arriba ni hacia abajo, solo evolucionan lentamente. ¿Cómo debeŕıa ser la evolución de la
inflación para que el mercado del dinero se equilibre? (piense qué debe ocurrir en el largo
plazo). Grafique la evolución de la inflación en conjunto con la evolución del dinero.
1.5. Equilibrio en el mercado monetario (P1 S2-2020)
En todo lo que sigue suponga que el Banco Central fija la cantidad de dinero real M/P y que la tasa
de interés se determina en el equilibrio del mercado monetario.
Asuma que la demanda por dinero es:
L(i, y) = Ay exp(−ai), donde A > 0 y a > 0 son constantes
(a) Encuentre la tasa de interés de equilibrio. ¿Cómo responde la tasa de interés de equilibrio frente
a un aumento en (i) M/P e (ii) y? Cada aumento es un escenario independiente (si ocurre (i) no
ocurre (ii), por ejemplo). Explique usando gráficos. En su argumentación explique en detalle cómo
se obtiene el nuevo equilibrio cuando ocurre (i) y (ii).
RESPUESTA:
En equilibrio:
L(i, y) =
M
P
5
En consencuencia,
Ay exp(−ai) = M
P
⇔ log(A) + log(y)− ai = log
(
M
P
)
⇔ i∗ = 1
a
[
log(A) + log(y)− log
(
M
P
)]
Como se puede observar un aumento en M/P disminuye la tasa de interés de equilibrio. Esto se de-
be a que un exceso de oferta de dinero conduce a una disminución en la tasa de interés de equilibrio
para que las personas demandanden más dinero. Por otro lado, un aumento en el producto provoca
un aumento en la tasa de interés de equilibrio debido a que las personas ahora demandan más dine-
ro, por motivo de transacción, lo que presiona la tasa de interés al alza para restraurar el equilibrio.
Figura 1: Aumento de la oferta monetaria
÷
÷ .-.
¥ ¥
Figura 2: Aumento del producto
¡
¥
iiii:
6
(b) Definiremos la elasticidad nivel-log de la variable x respecto a la variable z como:
∆x
∆ %z
Note que esta elasticidad no es la que vimos en clases1, pero dado que estudió sabrá cómo interpre-
tar esta nueva definición de semi-elasticidad. Obtenga e interprete la semi-elasticidad nivel-log de
la tasa de interés de equilbrio con respecto a la cantidad de dinero real y con respecto al producto.
RESPUESTA:
Primero la semi-elasticidad respecto al producto,
∂i∗
∂ log(y)
=
1
a
Escrito de otra manera:
∆i∗ =
1
a
∆ %y
Esto es, un aumento porcentual de producto de ∆ %y se traduce en un aumento en niveles en la
tasa de interés iguala a ∆i =
1
a
∆ %y.
Ahora la semi-elasticidad respecto al dinero real,
∂i∗
∂ log
(
M
p
) = −1
a
Escrito de otra manera:
∆i∗ = −1
a
∆ %
(
M
P
)
Esto es, un aumento porcentual de la cantidad de dinero real de ∆ %M/P se traduce en una
disminución en niveles en la tasa de interés iguala a ∆i = −1
a
∆ % (M/P ).
La razón del signo de estas semi-elasticidades es la misma que la del inciso (a).
(c) Suponga ahora que A no es constante, sino que ahora es una variable estocástica, puede pensar en
que es un shock a la demanda por dinero. En espećıfico,
log(A) ∼ N
(
A, σ2A
)
esto es, el logaritmo de A se distribuye normal con media A y varianza σ2A. Encuentre la esperan-
za (media) y varianza de la tasa de interés de equilbrio. Explique, con el argumento económico
1En clases vimos la semi-elasticidad log-nivel
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correspondiente, por qué la varianza de la tasa de interés de equilibrio disminuye cuando aumenta
el parámetro a.
Ayuda: ¿se hace más o menos sensible la demanda por dinero respecto a cambios en la tasa de
interés cuando aumenta a?
RESPUESTA:
La media es:
E(i∗) = E(i∗) =
1
a
[
log
(
A
)
+ log(y)− log
(
M
P
)]
y la varianza es:
V(i∗) =
1
a2
σ2A
Como se puede observar la varianza de la tasa de interés de equilibrio es menor cuanto mayor
sea el parámetro a. Note que el parámetro a representa la sensibilidad de la demanda por dinero
frente a aumentos en la tasa de interés, mientras mayor sea el parámetro a más fuerte responderá
la demanda por dinero. Por tanto, si ocurren variaciones en la variable estocástica A, significa
que cuando a es mayor se necesitarán pequeños cambios en la tasa de interés para restaurar el
equilibrio en el mercado monetario, ya que con pequeños cambios en la tasa de interés la demanda
por dinero cambiará lo suficiente, ya que es más sensible a esta.
1.6. Dinero y señoreaje
En una economı́a viven N individuos, que mantienen el dinero tanto como circulante, como también en
sus depósitos en el banco. Se ha determinado que el multiplicador monetario es µ̃ > 1. La demanda por
dinero de los habitantes de la economı́a es:
L(i, y) = ay(b− i)
donde y es el producto real (o ingreso real), i es la tasa de interés y a y b son constantes.
(a) Suponga que todos los individuos tienen ingreso real ỹ. Calcule el señoreaje si la inflación es de
un 10 %. ¿Qué supuestos debe hacer para poder calcular el señoreaje? Importante, note que el
multiplicador monetario es mayor a cero, ¿qué significa esto? ¿existen depósitos en los bancos
comerciales? También note que si la cantidad de individuos es N y cada uno tiene un ingreso real
ỹ, entonces el ingreso de la economı́a es Nỹ.
RESPUESTA:
El señoreaje es definido por:
S =
∆H
P
Como en este caso el multiplicador es mayor a cero significa que haydepósitos, por lo que es
8
conveniente escribir el señoreaje en función de la masa monetaria:
M = µ̃H
Por lo tanto, el señoreaje expresado en función de M queda como:
S =
∆M
µ̃P
Si la inflación es de un 10 % entonces el señoreaje viene dado por:
S = πL(i, y) = 0,1
a
µ̃
ỹN(b− (r + 0,1))
Los supuestos que se tienen que cumplir son que la tasa a la cual crece la cantidad de dinero sea
igual a la inflación, lo cual se cumple solo en el largo plazo.
(b) Suponga que b > r, donde r es la tasa de interées real. Calcule la tasa de inflación que maximiza los
ingresos del gobierno. ¿Qué sucede con la inflación, que ested calculó, si sube la tasa de interés real?
RESPUESTA:
Para encontrar la inflación óptima tenemos que derivar:
S = πL(y, i) = π
a
µ̃
ỹN(b− (r + π))
respecto a π, igualar esto último a cero y despejar. Esto nos da:
π =
b− r
2
Si la asa de interés real sube entonces la inflación óptima disminuye. La razón detrás es que al
subir la tasa de interés real sube también la tasa de interés nominal y la gente decide mantener
menos circulante, por lo cual el señoreaje que puede obtener el gobierno es menor.
(c) Suponga que el multiplicador en realidad es aµ̃, donde a > 1. ¿Qué efecto tiene este anuncio sobre
su respuesta en la parte anterior? Piense cuáles son las variables que componen al multiplicador
monetario antes de responder.
RESPUESTA:
Depende, si el aumento del multiplicador viene por el lado que la fracción de circulante depósitos
aumenta, c, entonces las personas tendrán más dinero en circulante, o lo que es lo mismo, las
personas demandarán más dinero, por ende, aumentará el señoreaje. Por otro lado, si el aumento
del multiplicador viene por el hecho de que aumentó la tasa de encaje θ, entonces no hay ningún
efecto sobre el señoreaje, ya que la tasa de encaje no afecta la decisión de las personas sobre cuánto
mantener de circulante.
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1.7. Señoreaje y crecimiento del producto
Basado en Friedman (1971). Considere una economı́a donde la demanda por dinero está dada por
M/P = α − βi + γy. Suponga además que π = πe, que el producto no crece y que las tasas de interés
real igual a cero.
(a) Calcule el señoreaje (S) y discuta cómo se relaciona con la inflación π. ¿Por qué debe suponer que
β > 0 y γ > 0? Mire con detenimiento la demanda por dinero.
RESPUESTA:
Del hecho que no hay crecimiento del producto podemos expresar la demanda por dinero como:
L(y, i) = L(y, r + πe) = L(π)
En particular, para la economı́a, la demanda por dinero será:
L(y, i) = α− βi+ γy
= α− β(r + π) + γy
L(π) = α− βπ + γy
Sabemos que el señoreaje puede expresarse como:
S = πL(π)
Luego,
S = πL(π) = π(α + γy − βπ)
(b) De existir, calcule la tasa de inflación que maximiza el señoreaje.
RESPUESTA:
Para analizar la relación entre S y π tomamos la primera derivada del señoreaje respecto a π,
igualamos a cero y despejamos:
π∗ =
α + γy
2β
Suponga ahora que en esta economı́a el producto crece a una tasa igual a g > 0.
Ayuda: ¿cuál es la expresión para el señoreaje que derivamos en clases cuando hay crecimiento del
producto?
(c) Escriba el señoreaje como función de los parámetros α, β, γ, el log del producto y, su tasa de
crecmiento g, de la inflación π y de la tasa de interés. Haga uso de la ecuación de Fisher para la
relación entre i y π.
RESPUESTA:
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Si el crecimiento del producto es mayor a cero, entonces el señoreaje se puede expresar como:
S =
(
π + �L,y
∆y
y
)
m = (π + �L,yg)L(π, y)
Donde �L,y es la elasticidad producto de la demanda por dinero L. La expresión anterior fue
derivada en clases. Luego, note que:
�L,y =
∂L(π, y)
∂y
y
L(π, y)
=
γy
L(π, y)
Luego, el señoreaje puede expresarse como:
S =
(
π +
γy
L(π, y)
g
)
L(π, y)
S = πL(π, y) + γgy
(d) Encuentre la tasa de inflación π que maximiza el señoreaje. ¿Cómo se compara con el resultado
encontrado en (b) (sin crecimiento del producto)?
RESPUESTA:
Note que el problema de maximización es el mismo que antes salvo la suma de una constante. Por
tanto, tenemos que la inflación óptima no cambia:
π∗ =
α + γy
2β
Pero el señoreaje óptimo será mayor debido al crecimiento del producto:
S∗ = π∗L(π∗)︸ ︷︷ ︸
señoreaje óptimo en (b)
+ γgy︸︷︷︸
debido a crecimiento producto
1.8. Dinero, Inflación, Impuesto inflación y Señoreaje
Suponga una economı́a en que todos los precios son plenamente flexibles, de modo que siempre está en
pleno empleo. Suponga que la cantidad de dinero es 20 % del PIB nominal, el multiplicador monetario
es 1, y la inflación es 5 %. Esta economı́a no crece.
(a) ¿A qué tasa crece la cantidad de dinero y cuánto es el señoreaje como porcentaje del PIB real?
RESPUESTA:
Dado que no hay crecimiento del producto y los precios son plenamente flexibles la cantidad de
dinero crecerá a la misma tasa que la inflación 5 %.
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Sabemos por otro lado que:
S
y
=
∆M
M
M
Py
= π
M
Py
= 5 %× 20 % = 1 %
Es decir, el señoreaje es igual a 1 % del PIB real.
(b) Suponga que la elasticidad de la demanda por dinero respecto al PIB es unitaria y la economı́a
crece (PIB real) a un 5 %. Si se mantiene la tasa de inflación. ¿Cuánto es en este caso el señoreaje
como porcentaje del PIB y a cuánto crece la cantidad de dinero? Asuma por ahora que la demanda
por dinero no reacciona a la tasa de inflación. ¿Si se desearea mantener el mismo señoreaje como
proporción del PIB que en la parte anterior (a), cuánto debeŕıa ser la tasa de inflación?
RESPUESTA:
La demanda por dinero crecerá en un 5 % y la nominal debido al 5 % de inflación lo hace a un
10 %. Por tanto,
∆M
M
=
∆y
y
+ π = 10 %
La cantidad de dinero como fracción del PIB siguen en 20 % pues ambos M/P e y crecen a la
misma tasa, o sea M/Py queda igual. En consecuencia, eñ señoreaje como porcentaje del PIB
aumenta a 2 %.
Si se quiere mantener el señoreaje en 1 % del PIB, se necesita:
∆M
M
=
∆y
y
+ π = 5 %
Dado que ∆y/y = 5 % la inflación seŕıa cero.
Para el resto del problema asuma la siguiente demanda por dinero:
M
P
= A exp(−2π)y
siga suponiendo que la economı́a no crece. Ahora miraremos al impuesto inflación.
(c) Suponga una inflación de 5 % y que el dinero como fracción del produto es 20 %. ¿Cuál es el valor
de A?
RESPUESTA:
Simplemente reemplazando llegamos a que A = 0,221.
(d) Si la autoridad aumenta la tasa de inflación a un 10 %. ¿Cuánto es la cantidad de dinero cómo
porcentaje del PIB? ¿Y cuánto el impuesto finlación como fracción del PIB?
RESPUESTA:
Reemplazando se llega a que M/Py = 18, 1 %, es decir cae 10 % producto del aumento de la
12
inflación y la semi-elasticidad de 2. En consecuencia, con una tasa de inflación del 10 % el impuesto
inflación será 1,8 %.
(e) Calcule la tasa de inflación que maximiza el impuesto inflación y a cuánto ascendeŕıa el impuesto
inflación como proporción del PIB?
RESPUESTA:
En este caso hay que maximizar πAye−2π, lo que lleva a que la inflación que maximiza el impuesto
inflación es 50 %, lo que reemplazando en la demanda por dinero lleva a que la cantidad real de
dinero seŕıa de 8,1 % del PIB, lo que se traduce en un impuesto inflación máximo de aprox. 4 %
del PIB.
1.9. Demanda por dinero, inflación y señoreaje
Suponga una economı́a con precios completamente flexibles donde la demandapor dinero es:
M
P
= Y exp(−i)
donde M es del dinero nominal, P es el nivel de precios, Y el PIB e i la tasa de interés nominal.
(a) Suponga que esta economı́a crece a un 5 %, la tasa de interés real es 4 %, y la cantidad nominal
de dinero crece a un 20 % (la gente espera que siga creciendo a esta tasa). ¿Cuánto es la tasa de
inflación y la tasa de interés nominal en esta economı́a?
RESPUESTA:
Sabemos por la teoŕıa cuantitativa que:
π =
∆M
M
− ∆y
y
⇔ π = 20 %− 5 % = 15 %
Si la gente espera que siga creciendo la cantidad de dinero a esa tasa entonces: πe = π = 15 %,
por dende, la tasa de interés nominal i = r + πe = 19 %.
(b) Suponga ahora que el banco central deciderepentinamente reducir la tasa de crecimiento del di-
nero a 10 % (y la gente espera que seguirá creciendo a esta tasa). ¿Qué pasa con el nivel de precios
en el momento que se hace el anuncio? ¿Qué pasa con la inflación y la tasa de interés nominal?
Dibuje en un diagrama la evolución temporal del logaritmo del nivel de precios (solo recuerde que
en un gráfico logaŕıtmico un crecimiento constante es una ĺınea recta).
RESPUESTA:
Si la tasa de crecimiento es ahora 10 %, la inflación será 5 % y la tasa de interés nominal 9 %. En
el instante inmediatamente anterior al anuncio tenemos que:
M0
P0
= Y0e
−0,19
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y en el instante inmediatamente posterior al anuncio ni M ni Y han cambiado, pero la inflación
esperada se ajustará de inmediato en conjunto con la inflación. Por ende, tenemos que:
M0
P1
= Y0e
−0,09
Diviendo las ecuaciones anteriores:
P1
P0
= e−0,19+0,09 = 0, 905
es decir, el nivel de precios cae en un 9,5 % para luego seguir creciendo a una tasa del 5 %.
El gráfico es una ĺınea con pendiente 0,15, se produce una cáıda abrupta de 9,5 % cuando se hace
el anuncio y después es una ĺınea que tiene una pendiente igual a 0,05.
(c) Suponga ahora que la tasa de crecimiento de la economı́a es γ y la tasa de interés real es 0. ¿Cuál
es la tasa de inflación que maximiza el señoreaje como proporción del PIB? ¿Por qué esta tasa
depende de la tasa de crecimiento de la economı́a?
RESPUESTA:
El señoreaje será:
S =
∆M
P
Debido a que M=H (se asume que el multiplicador monetario es 1). Si asumimos que r = 0.
Podemos escribir el señoreaje como (ver fórmula derivada en clases cuando hay crecimiento del
producto):
S = (π + γ)Y e−π
Derivando respecto e igualando a cero:
π∗ = 1− γ
Nota: el problema señala que nos fijemos en el señoreaje como proporción del producto real (que
en este caso está denotado por Y), en tal caso, el señoreaje como proporción del ingreso real:
S/Y = (π + γ)e−π
Si derivan respecto a π e igualan a cero llegarán a la misma respuesta.
1.10. Dinero, inflación, impuesto inflación y señoreaje
Suponga una economı́a en que todos los precios son plenamente flexibles, de modo que siempre está
en pleno empleo. Suponga que la cantidad de dinero real es 25 % del PIB nominal, el multiplicador
monetario es 1, y la inflación es 8 %. Esta economı́a no crece.
14
(a) ¿A qué tasa crece la cantidad de dinero y cuánto es el señoreaje como porcentaje del PIB real?
RESPUESTA:
El dinero debe crecer a la misma tasa que la inflación, es decir, 8 %.
S
y
=
∆M
M
M
Py
= π
M
Py
= 8 %× 25 % = 2 %
(b) Suponga que la elasticidad de la demanda por dinero respecto del PIB es unitaria y la economı́a
crece (PIB real) un 4 %. Si se mantiene la tasa de inflación, ¿cuánto es en este caso el señoreaje
como porcentaje del PIB y a cuánto crece la cantidad de dinero? ¿Cuánto es el impuesto inflación
como porcentaje del PIB? Asuma por ahora que la demanda por dinero no reacciona a la tasa
de inflación, ¿si se desara mantener el mismo señoreaje como proporción del PIB que en la parte
anterior (a), ¿cuánto debeŕıa ser la tasa de inflación?
RESPUESTA:
A partir de:
M
P
= L(i, y)
se puede obtener la siguiente relación vista en clases:
S = IT + �y
∆y
y
m
S
y
=
IT
y
+ �y
∆y
y
m
y
donde m = M/P y �y es la elasticidad de la demanda por dinero respecto del PIB. EL señoreaje
como porcentaje del PIB corresponde a:
S/y = 8 %× 25 % + 4 %× 25 % = 3 %
La cantidad de dinero crece a:
∆M
M
= π + �y
∆y
y
= 8 %
Como la tasa de crecimiento del producto real es 4 % se necesita una inflación del 4 % para mantener
el mismo señoreaje como proporción del PIB de la pregunta anterior.
Para el resto del problema asuma la siguiente demanda por dinero:
M
P
= 0,3 exp(−3π)y
y vuelva a suponer que la economı́a no crece.
(c) Si la inflación es de 10 %, ¿cuánto es la cantidad de dinero cómo porcentaje del PIB nominal? ¿Y
cuánto el impuesto inflación como fracción del PIB real?
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RESPUESTA:
Es directo que:
M
Py
= 0,3 exp(−3π) = 0,3 exp(−0,3) = 0, 22
Luego, el dinero como fracción del producto nominal es 22 %. Por tanto, el impuesto inflación como
fracción del PIB es πm/y = 0,022 = 2,22 %.
(d) Calcule la tasa de inflación que maximiza el impuesto inflación. ¿A cuánto ascendeŕıa el impuesto
inflación como proporción del PIB real? ¿Y la cantidad de dinero como porcentaje del PIB nominal?
RESPUESTA:
La tasa de inflación que maximiza el señoreaje se obtiene de resolver:
máx
π
0,3π exp(−3π)y
Resolviendo se obiene que:
π∗ = 1/3
Luego, el impuesto inflación como porcentaje del PIB real asciende a: IT/y = πm/y = π0,3 exp(−3π) =
3, 67 %. Y la cantidad de dinero real como porcentaje del PIB real es:
m/y = 0,3 exp(−3π) = 11 %
1.11. Señoreaje y crecimiento (P1 S2-2019)
Considere una economı́a con precios totalmente flexibles donde el dinero es neutral. La demanda por
dinero real en esta economı́a está dada por:
Md
P
= ye−3i
Donde y es el producto real e i es la tasa de interés nominal.
(a) Suponga que el producto crece a 3 % (∆y/y), la inflación es 2 % (π), la tasa de interés real es 4 %
(r) y que ∆i = 0 (la tasa de interés nominal no cambia). Considere además que el multiplicador
monetario es igual a 1. ¿Cuál es la tasa de interés nominal (i), la tasa de crecimiento de la cantidad
de dinero (∆M/M) y el señoreaje (S) e impuesto inflación (IT) (estos dos últimos como porcentaje
del ingreso real)?
RESPUESTA:
Por la ecuación de Fisher sabemos que:
i = r + π = 4 % + 2 % = 6 %
16
Aplicando log diferenciación aprendida en clases a la demanda por dinero real tenemos que:
∆ %M − π = ∆ %y − 3∆i
∆ %M = π + ∆ %y − 3∆i
∆ %M = 2 % + 3 % = 5 %
Sabemos que el señoreaje como fracción del ingreso real será:
S = (π + εy∆ %y)
Md
P
⇔ S
y
= (2 % + 3 %)e−3∗6 %
El impuesto inflación como porcentaje del ingreso real será:
IT = π
Md
P
⇔ IT
y
= 2 %e−3∗6 %
Para lo que sigue olvide los datos del inciso (a) y suponga que (i) r = 0 y (ii) existe crecimiento en la
economı́a, es decir, ∆ %y > 0.
(b) Calcule la tasa de inflación que maximiza el señoreaje. ¿Cómo responde la inflación óptima cuando
aumenta la tasa de crecimiento del producto? ¿Cuánto es el máximo señoraje? ¿Cuánto aumen-
ta porcentualmente el señoreaje cuando aumenta la tasa de crecimiento del producto? Interprete
económicamente estos resultados.
Ayudas: (i) recuerde que ecuación de señoreaje con crecimiento del producto es:
S = (π + εy∆ %y)
Md
P
Maximice esta función con respecto a la inflación. Encontrará que la inflación óptima y el señorea-
je máximo serán funciones de la tasa de crecimiento del producto y (ii) recuerde que d log(x) =
∆ log(x) = ∆ %x
RESPUESTA:
S = (π + εy∆ %y)ye
−3π
S = πye−3π + εy∆ %ye
−3π
S = πye−3π + ∆ %ye−3π
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La condición de primer orden es:
∂S
∂π
= ye−3π − 3πye−3π − 3∆ %ye−3π = 0
⇔ π∗ = 1
3
−∆ %y
El señoreaje óptimo como función del crecimiento del producto será:
S∗ = (π∗ + ∆ %y)ye−3π
∗
⇔ S∗ =
(
1
3
−∆ %y + ∆ %y
)
ye−1+3∆ %y
⇔ S∗ = 1
3
ye−1+3∆ %y
Aplicando logaritmo:
log(S∗) = log(1/3) + log(y)− 1 + 3∆ %y
Diferenciando lo anterior:
d log(S∗) = ∆ %S∗ = ∆ %y + 3d∆ %y
Es decir, el cambio porcentual en S∗ será la tasa de crecimiento del producto más tres veces el
cambio en la tasa de crecimiento del producto. Hasta acá la respuesta, pero se puede seguir un
poco más. Si asumimos que el producto crece a una tasa constante entonces d∆ %y = 0, es decir,
la tasa del crecimiento del producto no cambia, en cuyo caso ∆ %S∗ = ∆ %y, es decir, el señoreaje
óptimo cambia porcentualmente en la misma magnitud que la tasa de crecimiento del producto,
lo que es intuitivo, con crecimiento del producto se puede recaudar mayor señoreaje, inclusive con
menor inflación que el caso sin crecimiento.
1.12. Señoreaje e inflación (P1 S1-2020)
Considere una economı́a cuya demanda por dinero real sigue la siguiente formulación:
ln
(
M
P
)
= a− bi+ ln(y)
donde M es la cantidad de dinero,P el nivel de precios, i la tasa de interés nominal e y el PIB real. Los
parámetros a y b son positivos.
Usaremos la notación r para referirnos a la tasa de interés nominal, π para la inflación, πe para la
inflación esperada y ∆ %M para la tasa de crecimiento de la oferta monetaria.
Analizaremos trayectorias de mediano plazo (es decir, producto está constante). Se cumple la ecuación
de Fisher en todo momento.
(a) Suponga que la tasa de interés real y la producción están fijas en el mediano plazo, que no hay
incertidumbre y que no existe rezago en el ajuste de expectativas. Justifique que se debe cumplir
18
que:
πe = π
RESPUESTA:
Si no existe incertidumbre las personas sabrán con exactitud cuál será el nivel de inflación efectiva
y como sus expectativas no tienen rezago estas responderán inmediatamente a cambios en el nivel
de esta. Todo lo anterior implica que πet+1 = πt. Si existiera rezago en las expectativas y no
incertidumbre la inflación esperada seŕıa una función de la inflación efectiva hoy y pasadas.
(b) El gobierno financia su gasto v́ıa la creación de dinero. La cantidad de gasto público real S se
determina de la siguiente manera:
S =
∆M
P
Muestre que:
S = πB exp(−bπ)
con B = exp(a− br + ln(y)).
RESPUESTA:
Algunos alumnos usaron r = 0, lo que es válido ya que no cambia la mecánica del ejercicio.
Note que
S =
∆M
P
está señalando que el multiplicador monetario es 1. Continuemos...
S =
∆M
P
=
∆M
P
M
M
=
∆M
M
M
P
= πL(i, y)
donde usamos que ∆M/M = π y M/P = L(y, i). Por la ecuación de fisher sabemos que i = r+π,
por tanto,
S = πL(r + π, y)
Note que ln(L) = a− bi+ ln(y), aplicando exponencial recuperamos L = exp(a− b(r+ π) + ln(y).
Luego,
S = πB exp(−bπ)
con B = exp(a− br + ln(y)).
(c) Calcule la derivada de S con respecto a π y represente gráficamente la relación entre S y π.
Explique económicamente porqué esta relación no es siempre creciente. ¿Por qué se habla de que
19
la inflación es un impuesto? ¿En qué se relaciona la gráfica que usted dibujó con la curva de Laffer?
RESPUESTA:
dS
dπ
= B exp(−bπ)− bπB exp(−bπ)
= B exp(−bπ) (1− bπ)
= L(π) (1− bπ)
Notar que la elasticidad de la demanda por dinero respecto a la inflación es:
επ =
dL(π)
π
π
L(π)
= −bB exp(−bπ) π
B exp(−bπ)
= −bπ
Por tanto, la derivada de señoreaje respecto a inflación es lo mismo que visto en clases:
dS
dπ
= L(π)(1 + επ)
Cuando −1 < επ < 0 aumentos en la inflación se traduciŕıan en aumentos en señoreajes, sin em-
bargo, cuando επ < −1 aumentos en la inflación se traduciŕıan en disminuciones de señoreaje. Por
tanto, el señoreaje como función de la inflación tiene una curva de U invertida.
Se dice que la inflación es un impuesto ya que mediante inflación se puede recolectar recursos. La
inflación seŕıa en consecuencia el impuesto a la demanda por dinero, la que seŕıa la base impositiva..
La curva de Laffer nos dice que existe un nivel de impuesto óptimo, es decir, que maximizan la
recaudación fiscal. Niveles de impuestos menores o mayores al óptimo disminuiŕıan la recaudación.
Esto es lo mismo que tenemos con señoreaje.
(d) Algunos estudios estiman el parámetro b igual a 1/2. ¿Cuál es la tasa de inflación que maximiza
el señoreaje dado este valor de b?
RESPUESTA:
Existen dos maneras de resolver este ejercicio. En clases vimos que se puede derivar la expresión
S = πB exp(−bπ)
o que podemos derivar
ln(S) = ln(π) + ln(B)− bπ
Ambos procedimientos son válidos, sin embargo es más fácil derivar los logaritmos.
d ln(S)
dπ
=
1
π∗
− b = 0⇔ π∗ = 1
b
Si b = 1/2 entonces π∗ = 2.
20
(e) Los páıses con problemas de inflación t́ıpicamente enfrentan una inflación más alta en el corto
plazo que en el mediano plazo. Un ejemplo es el caso de Perú: en el año 1990 la tasa de inflación
alcanzaba niveles de alrededor del 70 % mensual para los años posteriores mantenerse en niveles
alrededor del 10 % mensual, que son todav́ıa altos pero más bajos que la explosión inicial en 1990.
Vamos a analizar en esta pregunta como nuestro modelo puede generar este hecho suponiendo que
en el corto plazo las expectativas son distintas a las que se caracterizan en el mediano plazo.
Consideremos una situación de más corto plazo que se define por las siguientes expectativas:
πe = λπ
con 0 < λ < 1. ¿Qué representa económicamente el parámetro λ? Muestre que la tasa de inflación
que maximiza el señoreaje en el corto plazo se ubica más allá de su nivel de mediano plazo. ¿De
qué depende esta diferencia? Explique la intuición económica detrás.
RESPUESTA:
En clases vimos que el parámetro λ representa la velocidad con la que se ajustan las expectativas.
Mientras más bajo es λ más lento se ajustan las expectativas. Mientras más grande sea λ más
rápido se ajustan las expectativas. Cuando λ = 1 tenemos que las expectativas se ajustan de
manera inmediata.
d ln(S)
dπ
=
1
π∗
− bλ = 0⇔ π∗ = 1
λb
>
1
b
La inflación óptima cuando existen rezagos de ajuste en las expectativas es mayor que la inflación
óptima cuando las expectativas se ajustan de manera inmediata.
¿Por qué la inflación es mayor en este caso? Como las expectativas no se ajustan de manera
inmediata la autoridad monetaria se puede aprovechar de esto emitiendo más dinero, creando más
inflación y recaudando mayor señoreaje. Recuerde que la demanda por dinero depende de la tasa
de interés nominal, que es i = r + πe, por tanto al haber este rezago la demanda por dinero caerá
menos rápido de lo que cae cuando no hay rezago en las expectativas, Esto último es el mecanismo
que permite recaudar mayor señoreaje a través de mayor inflación.
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	Oferta de dinero y política monetaria
	Demanda por dinero y la Gran depresión 
	Equilibrio en el mercado monetario
	Evolución a través del tiempo de variables nominales (P1 S1-2020, ver pauta en pdf adjunto)
	Dinero, Precios e Inflación (propuesto)
	Equilibrio en el mercado monetario (P1 S2-2020)
	Dinero y señoreaje
	Señoreaje y crecimiento del producto
	Dinero, Inflación, Impuesto inflación y Señoreaje
	Demanda por dinero, inflación y señoreaje
	Dinero, inflación, impuesto inflación y señoreaje
	Señoreaje y crecimiento (P1 S2-2019)
	Señoreaje e inflación (P1 S1-2020)