Pauta Examen 2015

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Universidad de los Andes
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Ingeniería Comercial
Segundo Semestre 2015
Tiempo: 2 horas
60 puntos 
Examen
Optimización
Profesores: José Manuel Izquierdo & Matías Rojas
Ponga nombre a todas las hojas.
No separe las hojas del cuadernillo.
No tendrán derecho a recorrección pruebas hechas con lápiz mina, ni siquiera si el puntaje está mal contado.
Problema 1 (20 puntos)
Problema 1.1 (5 puntos)
Una empresa dedicada a la importación de ropa femenina enfrenta el dilema de que por un lado parte de su nueva colección puede quedar obsoleta al fin de la temporada y tendrá que salir a liquidar a un precio equivalente al 30% del valor de lista, y por otro lado la demanda por prendas de vestir es incierta y estima que se comportará Normal (μ = 3.140, σ = 522). El precio de compra promedio por prenda es de $18.700 mientras que la empresa tiene como precio de lista promedio por prenda $24.500 y un vendedor promedio obtiene como bono por desempeño un 5,2% del precio de lista. De acuerdo a lo anterior se solicita:
a) (5 puntos) Determinar la cantidad óptima de prendas que debe solicitar el importador a su proveedor (utilice la tabla normal adjunta)
Solución
(1 punto) 
(1 punto) 
 (0,5 puntos) 
(1 punto) 
(1,5 puntos) 
Problema 1.2 (7 puntos)
La cantidad de dinero cobrado por la Autopista Central por concepto de peajes durante 2014 alcanzó los $135.000 millones, esta cifra depende fuertemente de la cantidad de automóviles en la región metropolitana y la propensión a utilizar el automóvil la cual es inversamente proporcional precio de las gasolinas ($/litro). Según las cifras del MOP en 2014 la cantidad de automóviles en la RM alcanzó los 1,8 millones, la población en la RM fue 6,1 Millones de habitantes, y el precio promedio de las gasolinas alcanzó los 735 ($/litro). De acuerdo a las estimaciones de la Autopista Central un incremento de un 0,7% en la cantidad de automóviles en la RM representaría un aumento de un 3,9% en los ingresos por peajes, mientras que una reducción de un 2,5% en el precio de los combustibles aumentaría estos ingresos en un 0,47% por cada automóvil en la RM. 
Según las cifras del MOP, se espera que la tasa de motorización (número de autos por habitante) en la RM alcance los 0,34 autos/habitante durante el año 2020, mientras que el INE pronostica que la población en la RM debiese crecer a una tasa del 2,1% anual. Por su parte, la Empresa Nacional del Petróleo ENAP estima que las gasolinas debiesen disminuir su precio a razón de un 1,1% anual durante los próximos 7 años. 
· (7 puntos) Conforme a lo anterior realice mediante una aproximación por incrementos la cantidad de dinero que esperaría recaudar por concepto de peajes la Autopista central durante el año 2020. 
Solución
(0,25 puntos) 
(1 punto) 
(1,5 puntos) 
(0,25 puntos) 
(1 punto) 
(1 punto) 
(0,25 puntos) 
(0,25 puntos) 
(1 punto) 
(0,5 puntos) 
Problema 1.3 (8 puntos)
WATER IC es una compañía que se dedica al transporte de agua potable. La empresa posee una red de consumos con estaciones de bombeo para transportar el vital elemento (ver figura adjunta).
La compañía debe transportar un flujo conocido de F (en miles de m3 por hora) desde la estación 1 a las estaciones de demanda 2 y 4, en donde cada una le demandará las cantidades conocidas de F2 y F4 respectivamente (en miles de m3 por hora), considere que no hay pérdidas en la red, de modo que F2 + F4 = F. 
La empresa desea transportar el agua de la forma más económica posible; asuma que el costo de transportar una unidad de flujo (en miles de m3 por hora) de la estación i a la j, es de cij.
Considere también que por condiciones técnicas las tuberías tienen capacidades máximas de transporte, en donde la cantidad máxima que se puede transportar por la tubería que conecta la estación i con la j, es de Kij.
a) (6 puntos) Se le pide elaborar un modelo que le permita a la empresa transportar de manera más económica el agua de modo de satisfacer la demanda sin sobrepasar las capacidades de las tuberías.
b) (2 puntos) Suponga que en la tubería que conecta el arco 1 y 3 tiene un 10% de pérdidas y que la que conecta el arco 2 y 3 tiene un 20% de pérdida, señale que cambios hay que hacerle al modelo en a) 
F
F2
1
3
2
4
F4
Solución
a) Tenemos: 
Sea el flujo que va desde el nodo i al nodo j por el arco ij.
1 punto
Tendremos 
(Nótese que como la red es dirigida xij=0 cuando se va en contra del sentido del arco)
El modelo será:
(La restricción no es necesaria, pero no es incorrecto ponerla, no tiene puntaje)
b) Debemos satisfacer las demandas, por lo que no conocemos F.
Agregamos F como variable
0,5 puntos
El balance del Nodo 3 queda así:
1,5 puntos
Problema 2 (20 puntos)
Problema 2.1 (10 puntos)
Usted trabaja en una embotelladora de gaseosas y desea lanzar un nuevo sabor al mercado: Berries Soda. Su gaseosa debe cumplir con requerimientos mínimos de color, dulzor y acidez. 
Usted dispone de dos concentrados base para la mezcla: Arándano y Frambuesa. Los requerimientos (en puntos) y cantidades de cada atributo se muestran en la tabla adjunta:
	
	Arándano
	Frambuesa
	Nivel mínimo aceptado (ptos)
	Color (ptos/mg)
	20
	50
	100
	Dulzor (ptos/mg)
	5
	5
	20
	Acidez (ptos/mg)
	5
	1
	10
Considere que cada mg de concentrado de Arándano cuesta $6 y que cada mg de concentrado de Frambuesa cuesta $5; y se busca encontrar la combinación de concentrados que cumpla con los requerimientos nutricionales de la manera más económica posible.
El modelo de programación lineal de este problema es el siguiente:
Sea la cantidad de mezcla tipo i, en miligramos, para hacer la bebida. Con i={1=Arándanos, 2=Frambuesa}.
a) (2 puntos) Grafique el dominio del problema usando a como eje horizontal[footnoteRef:1]. [1: Hint: Tiene 4 vértices.] 
b) (2 puntos) Resuelva el problema con el método gráfico (recuerde que está minimizando) e indique la solución óptima y el valor de la función objetivo en el óptimo.
c) (2 puntos) Exprese el Lagrangiano y calcule los multiplicadores de Khun Tucker del problema (compare su respuesta con los de la tabla adjunta)
d) (1 puntos) Si pudiera bajar en 1mg el requerimiento mínimo de uno de los compuestos, ¿cuál escogería y por qué?
e) (1,5 puntos) Determine el rango en que puede estar el costo del concentrado de arándano sin que cambie la solución óptima.
f) (1,5 puntos) Determine el rango en que puede estar el costo del concentrado de frambuesa sin que cambie la solución óptima.
Solución
a) Tenemos: 
2 puntos (1 por las rectas + 1 por el resultado correcto)
b) Se considera correcto si se bosquejan las curvas de nivel o si bien se revisan los vértices solamente.
Tendremos 4 vértices y evaluamos la función objetivo en dichos puntos:
	x1
	x2
	Función Objetivo
	0
	10
	50.0
	1.5
	2.5
	21.5
	3.333
	0.667
	23.3
	5
	0
	30.0
El óptimo será el punto (1,5; 2,5).
2 puntos (1 por solución correcta + 0,5 por valor función objetivo correcto + 0,5 por metodología (puede ser curvas de nivel o probar los vértices)
c) El Lagrangiano será:
Sabemos que R1 no está activa, luego , así también sabemos que y son distintos de cero, luego hacemos:
0,25 punto
1,25 puntos
Resolviendo obtenemos:
0,5 puntos
d) Bajaría el de endulzante ya que tiene un precio sombra mayor.
1 punto
e) De la tabla tendremos que será entre [6-1;6+19], es decir entre 5 y 25.
1,5 puntos
f) De la tabla tendremos que será entre [5-3,8;5+1], es decir entre 1,2 y 6.
1,5 puntos
Problema 2.2 (10 puntos)
Usted es el encargado de marketing de la empresa de cervezas Dubi, la cual operaen 300 comunas del país. 
La gerencia general le ha pedido que coloque a lo largo de todo chile (sólo en las comunas en que operan) un total de 50 pantallas gigantes publicitarias haciendo alusión a la marca (no puede haber más de una pantalla por comuna). 
Usted ha estimado que el impacto de instalar una pantalla en la comuna i se traduce en un incremento de las ventas de vi millones de pesos con un costo fijo de mantención de ci millones de pesos (con i=1...300). Ahora bien, lo que muestre cada pantalla debe estar sincronizado por lo que existe un costo adicional de sincronización de sij millones de pesos, que se da cuando se tiene una pantalla en la comuna i y en la comuna j (aplica a cada par de comunas, no duplique los costos, ya que sij=sji) (con i y j =1…300).
· (10 puntos) Su misión es hacer que la contribución del proyecto (ingresos – costos) sea la más alta posible, por eso se le pide hacer un modelo de optimización que le permita determinar dónde instalar las pantallas de modo de maximizar la utilidad del proyecto. 
Solución
Sea si se instala un cartel en la comuna i y 0 si no.
Sea si se instala un cartel en la comuna i y uno en la j (si existe el par ij) y 0 si no.
2 puntos
Tendremos:
3 puntos
(Se puede imponer que , o bien en la doble sumatoria, expresar que i≠j)
Sujeto a:
2 puntos
2 puntos
1 punto
Problema 3 (20 puntos)
IMPORTANTE: El problema 3 es obligatorio para todos los alumnos y servirá como pregunta recuperativa para aquellos que hayan justificado la inasistencia a alguna evaluación. Además quienes hayan rendido todos los controles podrán remplazar la peor nota de estos con la nota de esta pregunta si es conveniente.
Debido al reciente escándalo de colusión de dos empresas en el segmento de papel higiénico (PCMM y ACS) la gerencia general de un supermercado le ha encargado a usted analizar las cuentas de clientes de las ese segmento, donde se encuentran las 2 empresas sancionadas más otras dos que no han sido sancionadas, las cuales son: Cisne Negro (CN) y Suavidad Amigable (SA). Comercialmente cada cliente tiene un formato de venta distinto que se comercializa en el supermercado, lo cual implica que se aplican distintos precios de venta, costos de adquisición, espacio de góndola y plazo de pago, los cuales se resumen en la siguiente tabla: 
	Marca
	Sanción FNE
	Formato
(Rollos/unidad)
	Precio
($/unidad)
	Costo ($/unidad)
	Condición de Pago
(días)
	Espacio Góndola promedio
(cm lineales/unidad)[footnoteRef:2] [2: Asuma que el espacio de góndola promedio por unidad de papel higiénico ya fue previamente optimizado por la gerencia de logística del supermercado
] 
	PCMM
	Coludida
	12 rollos
	3.610
	1.900
	90
	45
	ACS
	Coludida
	6 rollos
	1.900
	1.050
	90
	21
	CN
	No Coludida
	3 rollos
	1.000
	600
	35
	11
	SA
	No Coludida
	1 rollo
	300
	180
	30
	4
El supermercado dispone de 18 metros lineales de góndolas para la sección de papel higiénico y se pide que el plazo promedio ponderado por ventas totales en $ de pago de la sección de papel higiénico no sea superior a 60 días. 
Ante el actuar poco ético de las empresas sancionadas, la Fiscalía Nacional Económica (FNE) ha dispuesto las siguientes condiciones para sancionar de manera ejemplar a las empresas coludidas y aquellos supermercados que habiendo negociado con las empresas sancionadas no hicieron público el hecho: 
I. Se debe de utilizar al menos el 95% todo el espacio disponible en góndolas de los supermercados en el segmento de papel higiénico.
II. Si una empresa sancionada es ofrecida en un supermercado y la otra empresa sancionada no lo hace, se puede disponer como máximo de un 30% del espacio disponible en góndolas para una empresa sancionada.
III. Si ambas empresas sancionadas son ofrecidas en un supermercado al mismo tiempo, se puede disponer como máximo de un 45% del espacio de góndolas para ofrecer ambas marcas sancionadas en conjunto.
En la actualidad el caso se encuentra siendo analizado por el Tribunal de la Libre Competencia (TDLC), lo cual implica que las sanciones impuestas por la FNE solo pueden ser implementadas cuando falle el TDLC, ante esta situación el análisis de optimización debe dividirse en dos etapas: 
a) (6 puntos) Construya un modelo de optimización que le permita al supermercado maximizar sus beneficios económicos de cada local ajustándose a los requerimientos físicos y comerciales sin considerar las medidas de la FNE:
b) (9 puntos) Considerando que se están implementando las medidas de sanción de la FNE, construya un modelo de optimización que le permita al supermercado maximizar sus beneficios económicos en cada local cumpliendo tanto con las condiciones físicas y comerciales como el cumplir con las todas restricciones impuestas por la FNE. (Si considera que es necesario repetir una restricción o reutilizar variables anteriormente definidas debe volver a escribir las restricciones y definir variables).
c) (3 puntos) Desde el punto de vista de la optimización y de su intuición económica. Por qué cree usted que la FNE exige que al menos el 95% del espacio de góndolas dedicado al segmento de papel higiénico, que en este caso particular corresponde a 0,95*18=17,1 metros, debe ser ocupado con productos de esa categoría y este espacio no puede ser reducido arbitrariamente por los supermercados.
d) (2 puntos) Qué otra medida introduciría usted a las sanciones que pretende implementar la FNE.
Solución
a. Modelo de Optimización sin sanciones de la FNE
a.1 Definición de variables (0,5 puntos)
a.2 Definición de componentes de Función Objetivo
a.2.i Función Ventas (0,5 puntos)
a.2.ii Función Costos (0,5 puntos)
a.2.iii Función Utilidad (0,5 puntos)
a.2.iv Función Objetivo (0,3 puntos)
Si los alumnos escriben directamente la función objetivo utilidad y está correcta, proceder a asignar todo los subpuntajes al ítem de función objetivo.
a.3 Definición de restricciones
a.3.i Máxima capacidad de venta en góndolas (1 punto)
a.3.ii Plazo máximo de pago a proveedores ponderado por ventas (2,2 puntos)
a.3.iii Tipo de variables (0,25 puntos)
a.3.iv No Negatividad (0,25 puntos)
b. Modelo de Optimización aplicando sanciones de la FNE (Modelo propuesto con multiplicación de Binarias), Existe como complemento en esta pauta de solución un modelo con suma de Binarias
b.1 Definición de variables
b.1.i Variables enteras (0,3 puntos)
b.1.i Variables binarias (0,5 puntos)
b.2 Definición de componentes de Función Objetivo
b.2.i Función Ventas (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
b.2.ii Función Costos (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
b.2.iii Función Utilidad (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
b.2.iv Función Objetivo (0,2 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
Si los alumnos escriben directamente la función objetivo utilidad y está correcta asignar todo los subpuntajes al ítem de función objetivo.
b.3 Definición de restricciones
b.3.i Máxima capacidad de venta en góndolas (1,6 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
b.3.ii Plazo máximo de pago a proveedores ponderado por ventas (1,5 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
b. 3.iii Sanción FNE para empresa PCMM individual (1 punto)
b. 3.iv Sanción FNE para empresa ACS individual (1 punto)
b. 3.v Sanción FNE para empresas PCMM y ACS en conjunto (1 punto)
b. 3.v Equilibrio para variables binarias y enteras (0,5 puntos)
Las expresiones y corresponden a términos que buscan representar en la práctica un número “grande”, en este caso particular se utilizó como referencia los valores máximos que eventualmente pudiesen tener las variables , de todas maneras se debe considerar correcto la utilización de algún valor de referenciaque busque hacer la conexión entre que las variables deben de ser 0 si son 0 respectivamente.
b.3.vi Tipo de variables (0,1 puntos)
b.3.vii No Negatividad (0,1 puntos)
bb. Modelo de Optimización aplicando sanciones de la FNE (Modelo propuesto con suma de Binarias), Existe como complemento en esta pauta de solución analizado anteriormente con multiplicación de Binarias
bb.1.i Variables enteras (0,3 puntos)
bb.1.i Variables binarias (0,5 puntos)
Sea si se contrata a la empresa i y 0 si no, i=1..4
Sea si se ofrece sólo una empresa sancionada y 0 si no.
Sea si se ofrecen las dos empresas sancionadas y 0 si no.
bb.2 Definición de componentes de Función Objetivo
bb.2.i Función Ventas (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
bb.2.ii Función Costos (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
bb.2.iii Función Utilidad (0,4 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente 
bb.2.iv Función Objetivo (0,2 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente
Si los alumnos escriben directamente la función objetivo utilidad y está correcta asignar todo los subpuntajes al ítem de función objetivo.
bb.3 Definición de restricciones
bb.3.i Máxima capacidad de venta en góndolas (1,6 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente
bb.3.ii Plazo máximo de pago a proveedores ponderado por ventas (1,5 puntos) también considerar correcto si aparecen multiplicados por respectivamente
bb. 3.iii Equilibrio para variables binarias y enteras (1 punto)
La expresión M corresponden a términos que buscan representar en la práctica un número “grande”, en este caso particular se utilizó como referencia los valores máximos que eventualmente pudiesen tener las variables , se sugiere M= 1.800 por ejemplo, de todas maneras se debe considerar correcto la utilización de algún valor de referencia que busque hacer la conexión entre que las variables deben de ser 0 si son 0 respectivamente.
bb. 3.iv Sanción FNE para empresa PCMM y ACS de manera individual (1,5 puntos)
b. 3.v Sanción FNE para empresas PCMM y ACS en conjunto (1 punto)
bb.3.vi Tipo de variables (0,1 puntos)
bb.3.vii No Negatividad (0,1 puntos)
c. Criterio empleado por la FNE para aplicar restricción del 95% del espacio de góndola (3 puntos)
c.i Criterio de optimización (1,5 puntos)
La idea detrás de la aplicación de no poder reducir arbitrariamente la cantidad de espacio disponible en góndolas obedece a que ocupando los principios de optimización, si la restricción de tener que reducir el espacio de góndolas pierde su condición de restricción activa, los supermercados podrían tener el incentivo a exhibir una cantidad de unidades menor o significativamente menor de productos de papel higiénico dado que les es más óptimo y beneficioso en dinero seguir operando con las empresas coludidas aun cuando la superficie sea menor y por ende la restricción no se encuentre activa, por lo cual la FNE busca asegurarse que no exista un reducción significativa del espacio de venta para lo cual al introducir una superficie mínima obligaría a que tal reducción activaría la nueva restricción. 
c.ii Aplicación de mercados competitivos (1,5 puntos)
Por lo anterior es de buen criterio que se exija a los supermercados no reducir la superficie disponible a fin de no perjudicar a los consumidores. La FNE busca evitar el hecho que al disponer de una cantidad menor de productos en la categoría de papel higiénico cuando vayan a comprar a los supermercados estos productos se encontrarían agotados. Adicionalmente, es una buena medida ya que propiciará la introducción de nuevas marcas. Considerando la obligación de asegurar una cantidad mínima de productos y restringir la cantidad de productos que pueden ofrecer las empresas coludidas, los supermercados debiesen de buscar la posibilidad de negociar la incorporación de otras marcas de papel higiénico que sufrieron los efectos de la colusión de PCMM y ACS.
d. Implementación de medidas adicionales (2 puntos)
Sugerencia de Ideas: A las empresas coludidas no bajar los precios a consumidores, pero aplicar un impuesto a la venta que recaudará cada supermercado como sanción y que financiará campañas de marketing de empresas no coludidas.
 Aplicar proporciones de espacios de góndola: ej. por cada unidad de empresa coludida deben de ofrecerse al menos 2 unidades equivalentes de empresas no coludidas.
 Por cada nueva marca introducida en un supermercado se permite un relajamiento progresivo de la superficie máxima que pueden disponer las empresas coludidas en las góndolas
Etc. Buscar ideas que combinen principios de optimización con principios de microeconomía. 
 
Celdas de variables
FinalReducidoObjetivoPermisiblePermisible
CeldaNombreValorCosteCoeficienteAumentarReducir
$A$2x11,506191
$B$2x22,50513,8
Restricciones
FinalSombraRestricciónPermisiblePermisible
CeldaNombreValorPrecioLado derechoAumentarReducir
$G$6R11550100551E+30
$G$7R2200,9520304,782608696
$G$8R3100,25107,3333333336
012345678910110123456x
2
x
1
R1R2R3
Dominio
 
 
 
Examen
 
Optimización
 
 
Profesores: 
José Manuel Izquierdo &
 
Matías Rojas
 
 
Ponga nombre a todas las 
hojas.
 
No separe las hojas del cuadernillo.
 
No tendrán derecho a recorrección pruebas hechas con lápiz mina, ni siquiera si el puntaje está mal contado.
 
 
 
Problema 1
 
(20 puntos)
 
 
Problema 1.1 (
5
 
puntos)
 
 
Una empresa dedicada a la importación de ropa 
femenina 
enfrenta el dilema de que 
por un lado parte 
de 
su nueva colección puede quedar obsoleta al fin de la temporada y tendrá que salir a liquidar a un precio 
equivalente al 30% del valor de lista
, 
 
y
 
por otro 
lado 
la demanda por prendas de vestir es 
incierta y estima 
que se comportará 
Normal (μ
 
=
 
3.140, σ
 
=
 
522)
. El
 
precio de compra promedio por prenda es de $1
8
.700 
mientras que la
 
empresa tiene como precio de lista promedio por prenda $24.500 y un vendedor promedio 
obtiene como bono por desempeρo un 5,2% del preci
o de lista. De acuerdo a lo anterior se solicita:
 
 
a)
 
 
(
5
 
puntos)
 
Determinar la cantidad óptima de prendas que debe solicit
a
r el importador a su 
proveedor (utilice la tabla normal adjunta)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo Semestre 2015
 
 
Tiempo: 2 horas
 
60 puntos 
 
Universidad de los Andes
 
Facultad de Ciencias Económicas y E
mpresariales
 
Ingeniería Comercial
 
 
 
 
Examen 
Optimización 
 
Profesores: José Manuel Izquierdo & Matías Rojas 
 
Ponga nombre a todas las hojas. 
No separe las hojas del cuadernillo. 
No tendrán derecho a recorrección pruebas hechas con lápiz mina, ni siquiera si el puntaje está mal contado. 
 
 
Problema 1 (20 puntos) 
 
Problema 1.1 (5 puntos) 
 
Una empresa dedicada a la importación de ropa femenina enfrenta el dilema de que por un lado parte de 
su nueva colección puede quedar obsoleta al fin de la temporada y tendrá que salir a liquidar a un precio 
equivalente al 30% del valor de lista, y por otro lado la demanda por prendas de vestir es incierta y estima 
que se comportará Normal (μ = 3.140, σ = 522). El precio de compra promedio por prenda es de $18.700 
mientras que la empresa tiene como precio de lista promedio por prenda $24.500 y un vendedor promedio 
obtiene como bono por desempeño un 5,2% del precio de lista. De acuerdo a lo anterior se solicita: 
 
a) (5 puntos) Determinar la cantidad óptima de prendas que debe solicitar el importador a su 
proveedor (utilice la tabla normal adjunta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo Semestre 2015 
 
Tiempo: 2 horas 
60 puntos 
Universidad de los Andes 
Facultad de Ciencias Económicasy Empresariales 
Ingeniería Comercial