Ejercicios Clase KKT

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Ejercicios de Clase KKT (Versión 0.3) 
 
Ejercicio 1 
 
Considere el siguiente problema de optimización: 
 * + 
 
 
 
 
 
a) Escriba las condiciones necesarias de primer orden para este problema. 
b) Encuentre todos los puntos que satisfacen las condiciones anteriores y el óptimo del 
problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad de los Andes 
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales 
Optimización 
2 
 
Solución: 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
4 
 
 
 
La solución (1) no satisface la restricción de no-negatividad, por lo tanto se descarta. 
La solución (2) es el óptimo del problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Ejercicio 2 
 
Una panadería ofrece, entre otros productos, empanadas de queso y dulce de membrillo. El 
panadero desea programar su producción dominical de ambos productos. 
La experiencia le ha enseñado que las demandas por ambos bienes se ajustan bastante bien a las 
relaciones: 
 
 
 
Donde el es el precio unitario de la empanada de queso, es el precio unitario del dulce de 
membrillo, y son las unidades demandadas en domingo, para empanadas de queso y dulce de 
membrillo respectivamente. 
Dentro de sus posibilidades de producción, el panadero sabe que el costo de producir una empanada 
de queso es $10 pesos y que puede comprar el dulce de membrillo a su proveedor a un precio de 
$15 pesos por unidad. Además, no puede vender diariamente más de 100 unidades de dulce de 
membrillo, por limitaciones del proveedor. 
a) Formule un modelo de optimización que permita al panadero programar su producción 
maximizando su beneficio derivado de la venta de ambos bienes. 
b) Sin exigir que las cantidades de los bienes sean enteras, resuelva el modelo y determine la 
producción óptima. 
c) ¿Qué desventaja tiene el no considerar los otros bienes que vende la panadería en el 
modelamiento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Solución: 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Ejercicio 3 
 
Suponga que una empresa distribuidora cuenta con 250 unidades de un cierto producto en 
Concepción, 100 unidades en Los Ángeles y 325 unidades en Valparaíso. Por otra parte, debe 
abastecer con 140 unidades a Santiago, 220 unidades a Rancagua y 185 unidades a Teno. 
Los costos del flete entre las distintas ciudades, en miles de pesos por unidad, se presentan a 
continuación. 
 
Desde/Hacia Santiago Rancagua Teno 
Concepción 14 6 5 
Los Ángeles 30 12 11 
Valparaíso 5 7 8 
 
 
Por convenios sindicales en Concepción, la empresa ha decidido que lo que se envía desde dicha 
ciudad a Santiago debe ser al menos el doble de lo que se envía desde dicha ciudad a Rancagua. 
Asimismo, en Santiago se exige que como máximo el 30% de lo que llegue provenga de 
Concepción. 
a) Plantee el problema de optimización correspondiente. 
b) ¿Cuántas restricciones pueden estar activas como máximo? 
c) ¿Qué representan los multiplicadores de KKT en cada restricción? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Ejercicio 4
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
13 
 
 
14 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Ejercicio 5 
 
Una empresa de lácteos quiere lanzar un nuevo tipo de leche al mercado. Dicho producto está dirigido a 
niños de entre 1 y 3 años de edad. Para la compañía no es tan complejo fabricar el nuevo tipo de leche ya 
que ésta se pueden elaborar a partir de la mezcla de cuatro tipos de leche que actualmente fabrica la 
compañía, estos tipos de leche son: Súper Calcio, Huesillos, Entera y Descremada. 
 
Los costos de elaboración, por litro de leche, para Súper Calcio, Huesillos, Entera y Descremada son de 
$95, $90, $60 y $77 respectivamente. Asuma que no hay costos adicionales en mezclar las leches. 
 
El nuevo tipo de leche, dado que está dirigido a niños pequeños, debe satisfacer exigentes requerimientos 
del Ministerio de Salud, donde se debe cumplir que en cada litro de leche debe haber al menos 1,15 gr de 
Calcio y 0,88 gr de Fósforo, así también, un litro de su mezcla no puede superar los 0,7 gr de Sodio ni los 
15 gr de Grasa. Así también se le pide que por cada gramo de grasa haya al menos 0,02 gr de Calcio para 
que la leche esté más equilibrada. 
 
La cantidad de nutrientes que contiene cada tipo de leche se muestran en la tabla adjunta. 
 
 
Insumo 
Tipo de Leche 
Súper 
Calcio 
Huesillos Entera Descremada 
Calcio (g/litro) 1,28 1,00 1,18 1,12 
Fósforo (g/litro) 1,03 0,90 0,85 0,68 
Sodio (g/litro) 0,48 0,90 0,61 0,52 
Grasa (g/litro) 20 17 31 1 
 
a) Plantee el modelo que minimice el costo por litro. 
 
b) Plantee el Lagrangiano del problema. 
 
c) Escriba las condiciones que debe cumplir el óptimo (no es necesario que desarrolle las derivadas) 
Al resolver el problema se obtuvo lo siguiente: 
 
 
 
 
d) ¿Cuál es el costo de un litro de leche nueva? 
 
e) ¿Qué restricciones están activas? 
 
f) Interprete el significado económico de según el contexto del problema. 
 
g) Señale cómo cambiaría su costo por litro de leche nueva si el límite de cada uno de los nutrientes 
(Calcio, Fósforo, Sodio o Grasa), por separado, fuera 0,1 grs más que el actual (señale el cambio en el 
costo para esos cuatro escenarios mostrando si éste aumenta, disminuye o se mantiene y en cuánto lo 
hace). 
 
h) Si el Ministerio de Salud le permitiera modificar en 5% (en el sentido que usted quiera) cualquiera de 
los límites (Calcio, Fósforo, Sodio o Grasa). ¿Cuál escogería y por qué?¿En cuánto mejoraría el costo 
por litro de la leche nueva con esta situación? 
 
i) A usted que el Ministerio de Salud le ha dicho que por cada gramo de grasa debe haber al menos 0,02 
gr de Calcio, suponga que le dicen que puede elegir si cumple con ese criterio o con otro que diga que 
por cada 0,85 gr de Sodio debe haber al menos 1 gr de Fósforo, al menos uno de esos dos criterios debe 
cumplirse. 
 
 Señale los cambios que habría que hacerle al modelo de optimización del enunciado para que 
incorpore este nuevo cambio. 
 El modelo matemático de este problema es el siguiente: 
 
 
17 
 
Solución: 
 
Sea la cantidad de leche tipo i en litros para hacer un litro de leche nueva, con i={1= Súper Calcio, 
2=Huesillos, 3=Entera y 4=Descremada}. 
 Función Objetivo 
 R1: Calcio 
 R2: Fósforo 
 R3: Sodio 
 R4: Grasa 
 R5: Mezcla igual a 1 lt 
 R6: Razón Calcio / Grasa1 
 No negatividad 
 
 
 
 Tendremos: 
 ( )
 ( )
 ( ) ( 
 ) ( ) ( )
 ( ) 
 
 Las condiciones de primer orden serán: 
 
 
 
 * + 
 
 
 
 * + 
 
 
 * + 
 
 
 * + 
 
 
 
 * + 
 
 
 
 
 
 
 
 El costo por litro es de $83,45. 
 
 Están activas las restricciones 2, 4, 5 y la no negatividad de . 
 
 Corresponde a la tasa de cambio del costo nuevo de leche dada la situación óptima, si se aumenta el 
nivel exigido de Fósforo en una unidad, asumiendo el resto constante.1 La restricción 6 viene de la relación 
 
 
 
 
18 
 
 
 Si aumenta 0,1 gr el nivel de un nutriente, el costo por litro cambia en: 
Calcio: no cambia 
Fósforo: aumenta en $11,87 
Sodio: no cambia 
Grasa: disminuye en $0,12 
 
 Sabemos que no hay mejoras si movemos levemente los límites de Calcio y Sodio. 
Si bajamos el límite de Fósforo en 5% tendríamos un cambio en el costo por litro de: 
 ( ) 
El costo disminuiría en $5,22. 
Si subimos el límite de Grasa en 5% tendríamos un cambio en el costo por litro de: 
 ( ) 
El costo disminuiría en $0,93. 
Luego prefiero mover el nivel de fósforo ya que el costo mejora en $5,22 por litro. 
 
 Sabemos que el criterio “Por cada gramo de grasa debe haber al menos 0,02 gr de Calcio” es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la misma forma, el criterio “Por cada 0,85 gr de Sodio debe haber al menos 1 gr de Fósforo” es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así agregamos dos variables binarias: 
 
Sea si se cumple el criterio Calcio/Grasa y 0 en caso contrario. 
Sea si se cumple el criterio Fósforo/Sodio y 0 en caso contrario. 
 
 
La función objetivo no cambia, la restricción 6 la cambiamos por: 
 
 ( ) 
 
 
Y agregamos otra restricción: 
 
 ( ) 
 
 
Finalmente para que al menos uno de los criterios se cumpla, agregamos la restricción: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Ejercicio 6 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Ejercicio 7 
 
Usted se encuentra trabajando en el departamento de desarrollo rural en el Ministerio de 
Desarrollo Social (MDS) y le han encargado el estudio para asignar presupuesto de una cartera 
de proyectos que incluye las siguientes dos iniciativas: Programa “Profesores para el Campo” 
que busca dar fomento en la capacitación de profesores de escuelas rulares y programa “Más 
libros para mi escuela” que busca fomentar la compra de libros para escuelas rurales. Luego de 
realizar una evaluación social de proyectos se ha determinado que el beneficio social para 
comunidades rurales de implementar estas dos iniciativas queda determinado por la siguiente 
expresión: 
 ( ) 
Debido a que este programa espera postular a fondos concursables del Banco Mundial, esta 
entidad exige que para iniciativas de este tamaño que se concentran en la capacitación de 
profesores y compra de material educativo su índice de Herselov sea igual o superior a 80.000 
puntos. Este índice se obtiene al multiplicar por un coeficiente ( ) el cuadrado del 
dinero en dólares por concepto de capacitación más la multiplicación lineal de la cantidad 
destinada a compra de material educativo por un coeficiente ( ). Por otra parte, estos 
programas están inmersos dentro de las políticas de desarrollo rural del MDS donde se 
establece que se debe invertir en programas relacionados a capacitar profesores una cantidad 
en dinero igual o superior a la que se invierte en programas de compra de material educativo. 
Finalmente, el Ministerio de Hacienda ha asignado un presupuesto total de US$ 2.000 (que ya 
incluye el financiamiento del Banco Mundial) a este conjunto de iniciativas y dado que se le ha 
asignado la categoría de alto impacto social, se establece que la totalidad del presupuesto 
asignado para estas dos iniciativas debe ejecutarse completamente y que cada una de las 2 
iniciativas debe ser desarrollada. En base a lo anterior se pide lo siguiente: 
a. (2 puntos) Desarrolle un modelo de optimización que le permita maximizar el beneficio social 
de implementar estas 2 iniciativas cumpliendo con los requisitos tanto del Banco Mundial 
como del MDS y del Ministerio de Hacienda. 
b. (3 puntos) Grafique el dominio del problema de solución e identifique el punto de solución 
óptima. Considere en el eje horizontal la variable asociada al programa Profesores para el 
campo y en el eje vertical la variable asociada al programa Más libros para mi escuela. 
c. (1 punto) Escriba el Lagrangeano del Modelo de Solución 
d. (5 puntos) Escriba las Ecuaciones de Kuhn-Tucker del modelo de solución (Desarrolle las 
derivadas). 
e. (1 puntos) Determine los casos posibles del modelo de solución. 
f. (5 puntos) Analice los casos factibles Mediante análisis de KKT. 
g. (1 punto) Determine la solución óptima del problema en base al análisis de KKT elaborado 
en el punto anterior y evalúela función objetivo en el punto de solución óptima. 
23 
 
h. (2 puntos) Dado que se trata de un proyecto con alto impacto social determine cuál de las 
condiciones impuestas ya sea por el Banco Mundial, el MDS o el Ministerio de Hacienda 
tiene un mayor impacto en la función objetivo si es modificada, justifique matemáticamente 
su respuesta. 
Solución 
a. (2 puntos) Desarrolle un modelo de optimización que le permita maximizar el beneficio social 
de implementar estas 2 iniciativas cumpliendo con los requisitos tanto del Banco Mundial como 
del MDS y del Ministerio de Hacienda. 
Función Objetivo (0,25 ptos) 
 , ( ) + 
Restricciones 
i) (0,5 pts) Índice de Herselov 
ii) (0,5 pts) Presupuesto MDS 
iii) (0,5 pts) Presupuesto de Hacienda 
iv) (0,25 pts) Ejecución de proyectos 
 
 
b. (3 puntos) Grafique el Dominio de la solución del problema (1 punto por cada restricción 
correctamente graficada 
 
 
El Dominio queda comprendido por el segmento punteado en Negro que va desde el punto A 
al punto B 
 
 
24 
 
c. (1 punto) Escriba el Lagrangeano del Modelo de Solución 
 ( ) ( 
 ) ( ) ( ) 
 
d. (5 puntos) Escriba las Ecuaciones de Kuhn-Tucker del modelo de solución (Desarrolle las 
derivadas). 
(0,5 puntos por cada ecuación de Kuhn-Tucker correcta) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( 
 ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
d. (1 puntos) Determine los casos posibles del modelo de solución. 
Debido a que se exige que tanto x como y sean ambos mayores que 0 por la condición de tener 
que realizar si o si cada una de las dos iniciativas, se descartan del análisis aquellos puntos don 
x e y son iguales a 0. 
(0,25 puntos por cada caso) 
Caso x y 
1 >0 >0 <0 <0 
2 >0 >0 <0 =0 
3 >0 >0 =0 <0 
4 >0 >0 =0 =0 
 
 
e. (5 puntos) Analice los casos factibles. 
(1,25 puntos por cada caso bien analizado y bien verificado o rechazado) 
25 
 
Caso 1 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Dado que se tiene una contradicción en el análisis y que no es posible despejar los valores de 
 por tener más variables que ecuaciones el caso N 1se considera indeterminado y se 
rechaza como candidato a solución óptima. 
También se acepta representación gráfica que muestre que las condiciones descritas en las 
EQ(7,8,9) no presentan punto de intersección único (Asignar 1,25 pts si un alumno demuestra 
eso y lo justifica con el gráfico). 
 
 
Caso 2 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
26 
 
 ( ) 
 
Verificación Caso 2 
 ( ) 
Debido a que el Caso 2 No Cumple con la condición de KKT , ya que se rechaza el 
caso 2 
 
Caso 3 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )( ) 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Verificación Caso 3 
 ( ) 
Dado que se exige y el Caso 3 no cumple con todas las condiciones de Kuhn-Tucker 
y por ende se procede a rechazarlo. 
Caso 4 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Verificación Caso 4 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
Debido a que el Caso 4 cumple con todas las condiciones de KKT, se propone como candidato a 
solución óptima 
 
f. (1 punto) Determine la solución óptima del problema en base al análisis de KKT elaborado en 
el punto anterior y evalúela función objetivo en el punto de solución óptima. 
Debido a que el Caso 4 fue el único que satisfizo todas las 
condiciones de Kuhn-Tucker es el punto de solución óptima. 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
 
 
g. (2 puntos) Dado que se trata de un proyecto con alto impacto social determine cuál de las 
condiciones impuestas ya sea por el Banco Mundial, el MDS o el Ministerio de Hacienda 
tiene un mayor impacto en la función objetivo si es modificada, justifique matemáticamente 
su respuesta. 
28 
 
Debido a que en el Caso 4 los valores correspondientes a los 
precios sombra, es decir, las variaciones marginales de la función objetivo con respecto a los valores fijos 
80.000, 0, 2.000 alcanzaron los valores de , se concluye que la mayor variación 
marginal de la función objetivo en el punto de solución óptima se logra al variar 
marginalmente la restricción asociada a presupuesto máximo del Ministerio de Hacienda, 
ya que el aumentar en 1 unidad marginal este presupuesto se espera una aumento de 23 
unidades marginales en la función objetivo (1 punto). 
La variación marginal asociada a la restricción , Índice de Herselov presenta un valor de 0 lo cual 
hace insensible la variación de la función objetivo en el punto de optimalidad a cambios en el valor 
mínimo asignado puesto que no se encuentra en condición activa (0,5 puntos) 
Finalmente, la restricción asociada a , asignación de recursos de MDS, no presenta variación la Función 
Objetivo en el punto óptimo puesto que el valor de fue nulo, o bien la restricción no se encuentra en 
condición activa (0,5 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Problema 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Problema 9 
 
Considere el siguiente problema de optimización: 
 
 ( ) 
 
 
 
a) (1 punto) Señale el Largangiano y las condiciones de primer orden de este problema. 
 
b) (1 punto) Señale y enumere los posibles casos de solución de este problema. 
 
c) (6 puntos) Usted sabe que está activa la no negatividad de x (x=0), ¿cuántos casos 
posibles hay en este escenario? Resuelva el problema (encuentre ) verificando 
cada uno de los casos. 
 
Suponga que la función ( ) corresponde a la función de costos de una empresa donde 
es la cantidad producida de un producto e la cantidad de otro, así también considere que 
la restricción significa que para la producción, el producto usa 3 unidades de materia 
prima y el sólo 2; siendo la disponibilidad máxima de materia prima de 20 unidades. 
 
d) (2 puntos) A la luz de lo anterior explique el significado económico de y señale cómo 
calcularía el valor de la función objetivo (sin resolver el problema nuevamente) si se 
dispusiera de un 5% menos de unidades de materia prima. 
 
 
Solución 
a) Tendremos: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
33 
 
b) Tendremos 8 casos: 
 
Caso i) 
Caso ii) 
Caso iii) 
Caso iv) 
Caso v) 
Caso vi) 
Caso vii) 
Caso viii) 
 
 
c) Si está activa la no negatividad de x, nos quedan 4 casos. 
Revisamos los casos v), vi), vii) y viii) 
 
Vemos el caso v) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Resolviendo: 
 
 
 
 
Lo descartamos porque debe sernegativo. 
 
Vemos el caso vi) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Vemos que cumple con 
 
 
 ( ) 
Y también con 
 
 
 ( ) 
 
Luego tenemos un candidato a óptimo. 
 
Revisamos el caso vii) 
 
No cumple con la condición 
 
 
 
 ( ) 
Puesto que tendría que ocurrir que con . 
 
34 
 
Finalmente vemos el caso viii) 
 
Ese caso no cumple con 
 
 
 ( ) 
 
 
Luego, el óptimo (mínimo) está en el punto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) corresponde a la tasa de cambio de la función de costos en el óptimo si se dispone de 
una unidad más de materia prima, asumiendo el resto constante. 
 
 
Considerando que el óptimo está en ( ) si se dispusiera de un 5% más de materia 
prima, tendríamos que el valor de la función objetivo en este caso sería de: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Problema 10 
 
Usted es dueño de ICOM Foods, que se dedica a la producción de chocolates artesanales. Se 
producen dos tipos: Regular y Extra Cacao; los cuales difieren principalmente en el contenido 
de cacao líquido de la mezcla. Los chocolates de tipo Regular requieren de 1ml de Cacao líquido 
por kilo de chocolate, mientras que los Extra Cacao requieren de 3ml por kilo de chocolate, la 
fábrica puede disponer de 200 ml de cacao líquido por día. 
ICOM Foods tiene contrato con un par de tiendas y en total debe venderles al día al menos 20 
kilos de chocolate Regular y 10 kilos de chocolate Extra Cacao; donde cada kilo de chocolate 
requiere de 1 hora hombre para su fabricación independiente del tipo, y la fábrica cuenta con 
20 trabajadores que pueden trabajar hasta 5 horas al día. 
Considerando que el kilo de chocolate Regular tiene un beneficio unitario de $3.000 y que un 
kilo de chocolate Extra Cacao tiene un beneficio unitario de $5.000, se pide determinar la 
cantidad óptima a producir y vender para maximizar las utilidades diarias. 
El modelo de este problema es el siguiente: 
 
Variables 
 : Cantidad de kilos de chocolate Regular a producir y vender. 
 : Cantidad de kilos de chocolate Extra Cacao a producir y vender. 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
a) (2 puntos) Grafique el dominio de este problema. 
 
b) (4 puntos) Resuelva el problema y señale cuántos kilos de cada tipo de chocolate se 
deben vender diariamente para maximizar la utilidad y señale también la utilidad 
diaria obtenida por la fábrica. 
 
c) (1 punto) ¿Qué restricciones están activas? 
 
d) (1 puntos) Escriba el Lagrangiano y las condiciones de optimalidad de KKT de este 
problema (no es necesario desarrollar las derivadas, sólo expresarlas). 
 
e) (1 punto) ¿Cuánto está dispuesto a pagar por disponer de una hora hombre adicional al 
día? 
 
f) (1 punto) ¿Cuánto está dispuesto a pagar por disponer de 1 ml de cacao líquido adicional 
al día? 
 
 
36 
 
Solución 
a) Tendremos: 
 
 
b) Dado que el problema es completamente lineal, sabemos que el óptimo estará en uno de 
los vértices, puesto que como las curvas de nivel son rectas, no puede haber una 
solución interior. 
 
f(20,10) =3.000 · 20 + 5.000 · 10 = $110.000 
f(90,10) = 3.000 · 90 + 5.000 · 10 = $320.000 
f(20,60) = 3.000 · 20 + 5.000 · 60 = $360.000 
f(50,50) = 3.000 · 50 + 5.000 · 50 = $400.000 
 
El óptimo está en vender 50 kilos de cada tipo de chocolate, lográndose una utilidad 
diaria de $400.000. 
4 ptos (3 por procedimiento + 1 por resultado correcto; si se hizo con curvas 
de nivel también se considera correcto) 
 
c) Están activas R1 y R2. 
 
d) 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
𝑥 𝑥 
𝑥 
𝑥 𝑥 
𝑥 
37 
 
Condiciones de KKT: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Ya sabemos, de la solución gráfica, que = y que 
Luego, 
 
 
 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
( ) 
 Luego, = 1.000 y =2.000. 
 Por un ml adicional de cacao líquido pagaría como máximo $1.000 
f) Por una hora hombre adicional pagaría como máximo $2.000. 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Problema 11 
IC Sports se dedica a la confección de ropa deportiva, considere que la empresa fabrica poleras 
y shorts, y que el precio de las poleras es de $10.000 por unidad, mientras que el precio de los 
shorts es de $7.000 por unidad. 
La compañía puede comprar un máximo de 500 m2 de tela a la semana para fabricar sus 
productos, considere que para hacer una polera se necesitan 3m2 de tela y que para hacer un 
short, se necesitan 2 m2. Asuma que el costo de la tela por m2 es de $1.000 
Considere que la fábrica cuenta también con otros costos semanales de producción, los que 
quedan representados por la siguiente función (en pesos): 
 ( ) 
 
 
Donde y son las cantidades producidas (en unidades semanales) de poleras y shorts 
respectivamente. 
a) (2 puntos) Elabore el modelo de optimización que le permita a la compañía maximizar 
sus utilidades diarias. 
 
b) (1 puntos) Determine el Lagrangiano, las condiciones de primer orden (no desarrolle las 
derivadas) y los casos posibles para este problema.2 
 
c) (5 puntos) Usted sabe que la restricción de tela está activa ( ). Resuelva el modelo y 
señale los valores de y . Señale también ( 
 ) (Su punto debe cumplir las 
condiciones de b)).3 
 
d) (2 puntos) Sin resolver el modelo nuevamente, estime cómo quedaría el valor de la 
función objetivo en el óptimo si se dispusiera de 1 m2 adicional. 
 
e) (1 puntos) Sin resolver el modelo nuevamente, estime cómo quedaría el valor de la 
función objetivo en el óptimo si se dispusiera de 2 m2 de tela menos que el nivel 
original. 
 
 
 
 
 
 
 
2
 Las condiciones de primer orden para un problema de optimización con restricciones de desigualdad se 
conocen como condiciones de Karush Khun y Tucker (KKT), revise el apunte de optimización con 
restricciones de desigualdad y Apunte de KKT Generalizado para ver las condiciones de este problema. Se 
tendrán 8 casos, donde tanto como pueden ser iguales a cero o distintos de cero. 
3
 Use variables continuas. 
39 
 
Solución 
a) Tendremos que restar los costos unitarios de tela, luego 10.000-3.000=7.000 y del 
mismo modo, 7.000-2.000=5.000. 
 
Luego: 
 
 ( 
 
 ) 
 
 
 
(El enunciado originalmente decía maximizar utilidades diarias, en este caso 
se consideró semanal, si se toma diario la función objetivo se divide por 7, 
considerar también correcto ese caso) 
 
b) Tendremos 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 * + 
 
 
 
 * + 
 
 
 
 
 
 
 
 * + 
 
 
Habrán8 casos posibles, 2 por cada variable ( ) y 2 por el ( ). 
 
Caso i) 
Caso ii) 
Caso iii) 
Caso iv) 
Caso v) 
Caso vi) 
Caso vii) 
Caso viii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
c) Como la restricción está activa, tenemos 4 casos a verificar, estos son los casos i), iii), v) 
y vii) 
Veamos el caso i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvemos y obtenemos 
 
 
 
 
 
 Ahora bien, la función objetivo es cuadrática y continua en todo su dominio, y como la 
solución encontrada cumple con no negatividad, sabemos que estamos en el óptimo, ya que si el 
problema no hubiese tenido restricción de no negatividad, hubiésemos llegado a la misma 
solución. 
La utilidad obtenida será de ( ) 
d) Mejoraría en $ , luego tendríamos $2.310.115,55. 
 
 
e) Hacemos .