Resumen probabilidades

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Cuaderno resumen
PROBABILIDADES
① Definiciones importantes
- Exp determinista : ocurre con certeza
- Exp aleatorio : no ocurre con certeza Chay azar)
-
Espacio muestral : posibles resultados de exp aleatorio 5-{ }
- Evento del espacio muestra : subconjunto de S , A
=:{ }
- Operaciones :
• AC : todo lo que no está en A
• A UB : -todo lo que está en A o en B
• AAB : todo lo que está en A y en B
↳ si AAB =
,
A y B son disjuntos
- Muestra , parte de la población Coletodos que la representa
- Variable: Característica que puede cambiar en poblaciones
a- Estadística inferencial : Información que saco una vez estudiada la población
- Probabilidad : pregunta sobre la población dada
= Estudio enumerativa : Interés en un conjunto finito y no cambiante
- Estudio analítico : con el finde mejorar algo Ldatos obtenidos de
un proceso existente)
- Variable discreta : Conjunto finito [no hay números entremedio)
- Variable continua : conjunto infinito (00 Nomenos entre uno y otro]
② Cosas importantes
- Gráfica de tallo y hoja
↳ Primer lo primeros) dígitos son el tallo , después la hoja
Eji 4,5J 6,3J 7,8
4
%
⑨
- Da información de distribución de datos.
- Gráfica de puntos
↳ Recta numérica y los puntos indican el valor dado
EÜ
:
. . .
: : :
. .
i
. . .
i
. . .
| l l l
' Da información sobre extremos
,
brechas
- Histogramas
rnrr
Unimodal simétrico bimodal positivamente asimétrico negativamente asimétrico
-N° de clases= UN° observaciones
④ Anchos de clase iguales ② Anchos de clase distintos
Altura rectángulo Altura rectángulo
11 11
Frecuencia relativa frecuencia relativa de dase
ancho de clase
③ Comandos en R .
A- comentario
+ suma
- resta
* multiplicación
/ división
V. % resto
* * potencia
1.1% aociente entero
T pi
Xetn X. 10h
Xe-n X. 10
"
print Lyn) n cifras significativas de ×
roundLyn) redondea × a n cifras decimales LR trabaja solo con 16)
Hoorlx) redondea hacia abajo (al entero)
Ceilinglx) redondea hacia arriba lalentero)
trvnclxl trunca Calentura)
Sqrtlx) raiz cuadrada de ×
togcx) lnlx)
loglnix ) hogxn
expcx) E
abslx) absoluto
función = defino algo
mean (función) promedio
median ( función) mediana
sortl función) orden ascendente
tengthlfuncion) contar largo
Histograma
histrfuncien) ela histograma
histl función
, freq -_ False) da freqrelat.
Tallo- hoja
Stem (función) la entrega
Conjuntos .
[ (numeras) conjunto formato numérico
CL "palabras") Conjunto formato alfabético
CLX :D conjunto de Xan
Probabilidad
- Forma de cuantificar Incertidumbre de un experimento aleatorio
• OEIP(A) El
• IP(5)= 1
• IPCAIUAZU . . . An) con Ai - An disjuntos = IPLA ,) + IPCA2)+ . . . + PCAN)
o IP (Ac) = 1- IPCA)
• IP / 1=0
• Principio de inclusión - exclusión
Sumo probabilidades de intersecciones impares IP(Ain Az A Az)
Resto probabilidades de intersecciones pares IPLAIAAZ) PLANAS ) PLAZAAs)
Sumo probabilidades individuales IPCA , ) IPCA2) IPCA3)
• Si todos los elementos del espacio muestras tienen la misma
probabilidad de ocurrir → elementos equiprobables y su
probabilidad es µ¥
• Leyes de Morgan :
- LAUBJE A' n B '
- (AnB)< = ACUBC
- LAMAzn . . . MAN)% AY UAZCU . . . UANC
- (AIUAZU . . . UAN)' = Aín Azcn . . . n An'
Métodos de conteo 12.3)
- Estrategias para determinar el número de elementos en un
espacio muestral cuando un conteo es inviable .
• Principio aditivo
Supongo que
→ 1ra actividad la puedo hacer de nn formas diferentes
→
:
→ K-ésima actividad la puedo hacer de nk formas diferentes.
Si las actividades NO se pueden hacer simultáneamente , hay lnnt . . . tnk )
formas de hacer las actividades
• principio multiplicativo
Supongo que un proceso se descompone de K etapas.
→ 1ra etapa tiene ni resultados diferentes
→
:
→ K-ésima etapa tiene nr resultados diferentes.
El proceso puede completarse de mi . nz . . . . . nk Formas diferentes .
• Permutación lineal
si tengo n objetos diferentes , el número de formas diferentes
de elegir K de ellos para ordenarlos en fila es
PK
, n
= * 0 ! = 1
(AK) !
• Permutación lineal con objetos repetidos .
Si tengo n objetos y n, es la cantidad del objeto 1 y asi hasta nk, el
número de formas diferentes de ordenarlos en fila es
nini! . nz! .
. . .
. nk!
• Combinaciones de objetos no ordenados
si tengo un conjunto de n objetos diferentes , el número de
formas diferentes de elegir un grupo de tamaño K es :
Ckin = ( ? ) --NK! (n-K) ! con K En
En R :
CK
, n
: Cheese (n , K)
n ! i factorial ( n )
Probabilidades condicionales 12.4)
- Probabilidad de un evento dada la previa ocurrencia del
otro
- ES una versión actualizada del evento que estamos viendo
Teniendo los eventos A y 13
ELALBI-IPYYp.BR# , si IPCB) > 0
Probabilidad de
A dado que ocurrió
B
Interpretaciones
• PCAIB) > p (A) → B tiene influencia positiva sobre A
• PCAIB) < PCA) → B tiene influencia negativa sobre A
• PCAI B) = PCA) → B no influye en A
• Regla del producto
sirve cuando un suceso ocurre en etapas
PLAA B) = IPLA /B) . IP (B) o PLAN B) =P (B /A) • IPIA)
→ P (Aznar ) = PLAZIAI) - PLAI)
→ PCA 3nA2hAM= PLASIEAZNA ,} ) - PLAZMAI)
= PLASI TAMMY) - PLANA ,) - PLA ,)
→ PLAGAAz AAZAAN = PCAAI 14AMAZAAII) - PCASAAZAAD
= PCACIKASNAZAAI }) . PLAZI TANIA , }) - PLANA ,) . PCA,)
Ley de probabilidad total
- Teniendo A1
,
. . .
,
An una partición de S ( 5- Anu . . - VAN con
Ari . . .
, Andiguntos acapares ) [Air Aj =D]
- Teniendo B ES entonces :
PIB) = PCBNS)
= PCB ACA, UA 2.U . . . UAN) por f-AIUAZ . . - UAN
=P ( ( BAAIIULBA Az) U . . . (Bran)) por prop. distributiva
= PCBAA ,) t PCBAAZ) t. . . TPCBMAN) por AirAj
= PLBIA,) . PCAI) t . . . + PLBIAN) . Plan) por ley del producto
8tú
*
• Teorema de Bayes .
Siendo Ai
. , . . . , An , B ES donde AI , . . . , An son una partición de S :
ley
→ productoPCAIIB) Plant = PCBIAI) . PCAI)
PLB) PCBIAI) . PLANT . . . t PCBIAN) - PCAN)yiey
• prob . total
:
PLANIB) = Planilla = PCBIAN) . plan)
PCB) PCBIAI) . PCANT . . . t PCBIAN) - PCAN)
Observaciones :
① PLAD + PLA2) +
. . .
+ P(An)=\ → distribución apriori de A, . . , An
② PCA, /B) + PCAZ/B) t . . . + PLAN /B) = 1 → distribución aposteriori de Ai , . . . , An↳
Porque B es mi nuevo espacio muestral .
① ②
µ
ti
#
Independencia entre eventos 12.51
Eventos A y B Son independientes si PCA/ B) =PLA)
Regla multiplicación
A y B son independientes si y solo si
PLAA B) = PCAI . PCBS
Independencia de 2 o más eventos
P (Ain Aj)= PLAN . PCAJ) , para todo par
P (AirAj AAK) = PCAI) . PCAJ) . PCAK) para toda terna
PCA¡ AAJAAKAAI) = PCAI) - PCAJ) P (AK) - PLAN para toda cuaderna
B
:
PCAINAJAArnAir . . . A An) = PCAI) . PCAJ )P(AK) -PCAD - . . . - P (An)
Y también son independientes
AC y B
A y BC
AC y BC
Variables aleatorias 13.1)
siendo S el espacio muestral asociado a un experimento, una
variable aleatoria es cualquier registro de un experimento
aleatorio
✗ :S→ IR
g → ✗Cs)
El recorrido son los posibles valores que toma la variable
aleatoria .
Clasificacion
Discreta : Si el recorrido es finito o infinito numerable
Continua : Si el recorrido es Infinito no numerable
Variable aleatoria de Bernoulli
Unicos valores posibles son 0 y 1
Función de masa de probabilidad = función de distribución
IP : IR → [O
,
too ) tal que :
P (✗= ×) > O si ✗ C- Reccx)→ va a pasar el suceso
P ( ✗= ×) = O Si ✗ ¢ Reccx) → no va a pasar el suceso
[ P (✗ = ×) =L → la suma de las probabilidades es 1
✗ c- Reclx)
Función de distribución acumulada 13.2)
FX ( x ) = PCXE × ) → sumar las probabilidades bajo
el observado Cej : OE ✗ <3 sumo
prob de O hasta 3 fin
incluir la prob de 3)
Puede ser creciente o constante.
Recorrido se escribe entre {
, , ,
}
Posibles valores es sin { }
Conjunto de posibles valores { , , , , }
* PLX -- × ) = P ( ✗ & ×) - PCX < × )
L & &
probabilidad menor o igual menor al valor
puntual al valor llo considera) (no lo considera)
Valores esperados ( 3. 3)
El×) = [ × . Pci-x)
XERECCX)
Lacuna cada valor del recorrido de la variable aleatoria
y se multiplica por su respectiva probabilistas
Cuando tengo una función hlx ) :
E- (hlx) ) =[hlxl.PL/kx)XERecCx)
Varianza : Desviación estándar :
Varlx) = E ( ( × - ECX) )
' ) = + ✓varianza
• Se conserva la unidad de
medida
Propiedades del valor esperado :
siendo a yb dos constantes y hlx) es función de X .
① Elax +b) = a. ECX) tb
② Varla ✗ + b) = 92 . Var (x)
③ d.est la✗ +b) = tal - d.est (x)
④ Var ( X) = ECXZ) - (ELN) 2
⑤ Ela -hcx) 1-b) = a . Elhlx)) +b
⑥ Var la h (x) + b) = a? Varlhcx))
Distribución de probabilidad binomial 3.4
Condiciones para que tenga distribución binomial
→ Secuencia de n ensayos Bernoulli ( 2 resultados posibles)
→ cada ensayo ofrece i Éxito o Fracaso
→ Los ensayos son independientes entre si
→ En cada ensayo las probabilidades son
"
p
"
y
"
L- P
"
PLX = × ) = ( q ) . p
"
. ( n - p)
"- ×
1 1
d
número de formas probabilidad probabilidad
de elegir ×
en los n ensayos
9W Salga × que no salga ×
Se dice que ✗ ~ Binomial (n ¡ p )
Propiedades
① ECX) = n . p
② Var (x) .- ECX') -(E (x))
'
= npln- p)
③ d.es/-Lx)--Vnpln-pT
En R :
① PLX= ×) = dbinom ( ×
,
size
, prob) ✗ → de qué quiero facar la probabilidad
↳ función masa size→ Á de experimentos
Prob→ probabilidad de Exito
② f-✗ (4) = PCIKX) = pbinomlq , size, Prob) q→ donde evalúo la distr acumulada
↳ función dist. acumulada size→ n
'
de experimentos
prob → probabilidad de Exito
③ FXLXO) =p o = qbinomlp , size , prob) p=po → probabilidad acumulada
↳mínimo valor para obtener size→ ni de experimentos
esa probabilidad acumulada prob → probabilidad de Exito
Distribución hipergeométrica 3.5
Condiciones
→ Población de N objetos distinguibles entre si numerados de La N
→ De los N objetos , hay M que tienen la característica de Interese MEN
→ Se extraen n objetos , con n EN ein reemplazo
→ cada subconjunto de n objetos tiene la misma probabilidad
de aparecer
✗ : n
'
de objetos en la muestra que satisface la característica
de Interes
→
formas de elegir ✗ objetos sobre M lsatisfacen)
P (✗ = × ) = ( Mx ) . ( N
- M )n - ×
(Nn )
↳ formas de elegir los objetos
que no satisfacen
&
formas de extraer los
n elementos de la población
Rec (x) = { a
,
. . . . ,
b-I
,
b } con
a. = máx 40 ; n - (N -M) }
b-- min { n ; M }
✗ ~ Hipergeométrica LN ; M ; n )
d d la
población elementos tamaño de la
que tienen muestra
la característica
Propiedades
• ELYI =
n.MN-varlxt-NN-q-n.MN . / 1- My)
En R :
PLX × ) = dhyper LX , m , n , K) Función masa
L L L b
que
busco
elementos N-M n
'
elementos
con la & en la
característica elementos muestra
sin la
característica
Fxlx) =P (Xex) = phyperlq , mm , E) Función acumulada
L L L Y
donde elementos N-M n
'
elementos
evalúo con la & en la
la característica elementos nuestra
función sin la
característica
Fxlxo) -- Po = qhyper (Pim , n , K) Mínimo valor para obtener
L y b esa pnob acumuladalevantate elementos n -m n' elementos
probabilidad con la µ en la
característica elementos muestraacumulo
sin la
característica
Distribución binomial negativa
• Número ilimitado de ensayos Bernoulli , y en cada ensayo
se observa
"Exito
"
o
" fracaso
"
• P(E)=p , P (F) = 1
-
p y no varía entre ensayos
• Resultados son independientes entre si
• Ud para hasta obtener el r- ésimo Exito , con r dado
L
"
hasta obtener 4
X : n° de fracasos que preceden al pésimo Exito
caras "
¿ Función de masa de probabilidad de X ?
Rec (X) = { 0,1 , 2 , . . . . }
✗ =D significa que los r ensayos fueron todos éxito
✗=L Significa que se ejecutaron rr 1 ensayos , y entre los primeros
r ensayos hay 1 fracaso
Observar ✗= y significa → se ejecutaron xtr ensayos
-
TE
✗ fracasos y lr
- 1) Exitos
P /×- ×) = [ + r
-
1) . pr . ( 1- p) " para todo ✗ c- {0,12 . . . }r-1
&
tu
& Exitos fracasosni de formas
de elegir donde
pongo letras E
✗ ~ Bin Neg Cr ; p)
& ↳
rideexitos probabilidad
que necesito de éxito
para parar
• ELX ) = 111¥
P
• Varley) -
r.G-pp2.de
G) =
prlpt-zpl-Enpi.PH/--
× ) → dnbinom (×
,
size , Prob) Función de masa
L L ↳
ti de fracasos n.de Exitos probabilidad
que preceden al que necesito
de que salga
resimo éxito para parar un éxito.
Fxlx) - PLXEX) → pnbinom Cq , Size , pnob) Función dist acumulada
& L & ↳
Prob. Observada
dónde enano rideexitos probabilidad
ladist acumulada
que necesito de que salga
Cuando tengo a la para parar un éxito.
mas ✗ fracasos
.
Mínimo valor ✗ • tal que Fxlxotpo → qnbinom lp , size , prob)
& L ↳
Cuanta n.de Exitos probabilidad
Prob quiero que necesito de que salga
acumular para parar un éxito.
Distribución geométrica (cuando r = 1)
X : n° de fracasos que preceden al primer éxito
RECLX ) = {0,1 , 2,3 , . . . }
✗~ Bin Neg Ir=L ¡ p ) = Geométrica
• PCX= × ) = (1-p)
"
. p , para todo ✗ C-{0,112,3 , . . . }
L de
hay ✗ último
fracasos Intento es
Exito
• EN -4¥
• Varlx ) = 1pts
• de 1×1 = VET
En R
PLX -- × ) → dgeam (× , pnob )
L t
n
'
fracasos probabilidad
que preceden de Exito
al primer
éxito
Fxlx ) =P (Xex) → pgeomcq , pnob)
donde
K L
evalúo pvobexibo
dist
. awm
Minino valor ✗ o tal que Fxlxo) = po
tgeomcp , probl
la &
cuanto probabilidad
quiero de éxito
.
acumular
lpo)
Videos
① Introducción
Integrar : operación inversa a derivar
•
Ej.
3×2 → Gx
a kfimbolizaf6x.cl#--3x+C
^ deriva
Integro
1.1 de una constante
• ftdx → no va acompañado de variable
= ZSDX = 2- ✗ + C
• Sfax - = ?fdx = } ✗ + c
1-2 de ✗ elevado a n
fxnax.mx?!-+cEjigx3dx--Xq4-tCEj:fx-'dX=lnxtc
I. 3 ✗ elevado a n
f 3×-301 ✗ = [ 3×-34--35×-41=1×2-2-1- C = -2¥, +C
2 definidas
b
jjj
'
'
'
"
""
Y A- = ffcxldxNI a
la
"
b
TFC : Integrar es inverso a derivar
2.1 Area bajo la curva
Ej : [1,4 ] de y = XH b
a
"" """ = %, _% ,
= § (✗+ 1)dxI
i =/¥ " )
-
- (4-+4)-(-2+1)
I
= 12-1,5
= 10,5
2.2 Area bajo la curva
3
• SH - 1) dx = [¥ - ×] /
,
}
= [2,7--3]-[13-1]
I
6+2-3
= 6,67
•
y +211=1/2+2
y = ✗2-2×+2
3
{ 1×2-2×+2) = [ ÍS
- 2.¥ + 2x] µ
=
-1¥ -9+6 ] - [0-3-7+0]
= 6
Funciones de densidad de probabilidad 41
Sea ✗ una variable aleatoria continua
,
la distribución de
probabilidad es : b
IP (a EXE b) = { fcxldx
a
Condiciones :
1. f-(x) 70 Con todas las ×
2. [
•
f-Cindy = 1 → suma de probabilidades tiene que ser 1
-00
Variable aleatoria continua con distribución uniforme
F (x ; A ; B) = {Ía OKXEBO en otro caso
IPCAEXE b) = IP la <✗ < b) = IPCAE ✗ <b) = IPCACXE b)
Distribución uniforme
Una variable aleatoria continua tiene distribución uniforme
en el Intervalo [A
,
B] si la función de densidad de probabilidad
de ✗ es
f- LX
;
A
, B) = {Ja AE ✗
< B
O en otro caso
En Mi
Función densidad → dunifcx
, min , mail
L L b
donde limite
evalúo la límite
función Interior Superior
Función distribución acumulada → puniflq , minimax )
L L L
donde evalúo límite límite
ladistawm Interior Superior
Mínimo valor xp tal que Fxlxp ) =p → quniflp , min , Max)
L L L
Cuanta límite límite
probabilidad interior superior
acumulo
Ejemplo :
YNUniforme 1-5 ¡ no)
10
• [¥ dy = puniflq -10 , min = -5 , max = 10) = 1
-5
4
• S
o
¥ Ay = punif ( 9=4, min = -5 , Max-10J - puniflq -9min =-5 , Max -10)
= 0,2667
• 40,3 = quniflp = 0,3 , min = -5 , max - to ) = -0,5
Función de distribución acumulada y valores esperados 4.2
Distribución acumulada :
Fxlx ) = IPCXEX ) = f
×
f- (4)Ay
-00
Relación entre Fxlx) y fxlx )
Fx ( x) = d- Fx(x) - F ' CX)
Ox
Percentil
( 100 . p>
*
percentil de × se cumple que el valor rylpl tal que
Fx ( y (p)) =p
ejemplo .
p =;] - YEI
→incógnita → incógnita
entonces el primer decil ( o . 1) = (m (o, 1)5- Cinco , 1)Y
2 16
Saco la incógnita con 2- ← CCO . 1 , O , - 1/2 , O , ^/16 )
↳ coeficientes
polyrootlz) , y me sirve el valor
que esté en el recorrido
Esperanza y varianza
El valor esperado de ✗
ELX) = f
"
✗ . f-✗ (x) d ✗
-00
fea h ( x) una función de X
Elhcx ) ) = {
•
hlx) . fx (x) dx
-00
Si hlx) = ( ×- E (A)2 entonces
Elhlx)) = Var (X ) = fan
→
( ✗ - ECX))? fxlx) d ✗
- ECX 2) - (E(×))?
Distribución normal 4.3
→ ✗ es una variable aleatoria con distribución normal con parámetros
µ .yo si la función de densidad es :
fxlxt-j-zn.es/PS-tz.(x-oM-Y } con × c- IR
donde
F- 3,14
E- (X)= M
,
con MGIR
Varlx) = 02
,
con o > 0
Natacion ✗ ~ N (µ ¡ •2)
entonces
&
" ""a- mediana
i i
o
i i l
ÉI ' i
I l l
l
' iii.I I I I
valores de✗
heno constante
-M= 1
- U = 2
I.
con µ constante
0=100
- o - 25
- o= 16
a
Si XNNLNL ; oí ) entonces Fxlxl- IPLX < × )
En R :
Fvnoioñdist acumulada→ pmormcq , mean -U , Sd -o)
k & de
donde media desviación
evaluó tus LRI
Ejemplo : Yn N (m: -2, o 2=4)
FXL-3) = p Norm C-3 , -2, 2)
= 0,309
Ejemplo : XNNLM -- 1 ; 02-9 )
XD
. 6=9Norm C 0.6 , 1 , 3)
= 1,76
i. Fx (1,761--0,6
Si HUNLM ; 04 , entonces 7-Y-Y ~ N lo ; 1)
te dice que 2- tiene distribución normal estándar
Llamando lo 12-1 = IPL 2-< z )
, para todo 2- E IR
→ cuanta probabilidad
acumulo hasta z
Notar que IPLX4)= IP (2- <¥)
En R
OILZ) = pnormlq , o, 1) donde 9=7
ejemplo IOL
- 1) = pnorm C- 1,0 , 1) = 0,159
Distribución exponencial 4.4
✗~ Exponencial ( X) con X > O , si su función de densidad es
fxlx) = X . e-
×?
para todo × > O, mientras que
fxlxt O
, para todo XEO
Si ✗ ~ Exponencial.CH , con × > 0 , entonces
Fx ( x) = O si XEO , mientras que
Fxlxta f × × . e-✗tdt= 1- e-✗×
O
para todo × > o
• E (x) = ^ / ×
• Var (x) = 11×2
En R
f- ✗ (x) : deXp (× , rate) con ✗ = X , rate -_×
Fxcx) : pexp lq , rate) con q = × , rate- A
( loop» percentil = qexp ( p , rate) con p- p , rate =✗
Integración en R
Definir una función :
g
← function (x) {
retorno )→ aquí escribo lo
} que hace la
función
Integración
Integral ← integrarte l
f- = función
Lower = limite interior cuando quiero escribir 00
Upper= límite superior pongo
"
Inf "
)
lfemplo , f-(x) = × . e-
+4200
función ← function (x) {
relvrn ( ✗ * exp (- ✗
^ 21200 ) )
}
Integral ← inkqratel
f- = función
,
Lower = O
,
Upper Inf
)